專題06 規(guī)律探索及整式在幾何中的應(yīng)用（解析版）

專題06整式在幾何中的題型及規(guī)律探索考點(diǎn)：利用整式加減解決幾何問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確地列出表示相關(guān)量之間關(guān)系的整式，然后再進(jìn)行計(jì)算．題型1：利用整式加減求周長(zhǎng)1．已知三角形的第一條邊長(zhǎng)是a＋2b，第二條邊長(zhǎng)比第一條邊長(zhǎng)大b－2，第三條邊長(zhǎng)比第二條邊長(zhǎng)小5.(1)求三角形的周長(zhǎng)；(2)當(dāng)a＝2，b＝3時(shí)，求三角形的周長(zhǎng)．【答案】解：(1)由題意可得第二條邊長(zhǎng)為a＋3b－2，第三條邊長(zhǎng)為a＋3b－7.所以三角形的周長(zhǎng)為(a＋2b)＋(a＋3b－2)＋(a＋3b－7)＝3a＋8b－9.(2)當(dāng)a＝2，b＝3時(shí)，三角形的周長(zhǎng)＝3×2＋8×3－9＝21.題型2：利用整式加減求面積2．如圖是一個(gè)工件的橫截面及其尺寸(單位：cm)．(1)用含a，b的式子表示它的面積S；(2)當(dāng)a＝15，b＝8時(shí)，求S的值(π≈3.14，結(jié)果精確到0.01)．(第2題)【答案】解：(1)S＝eq\f(2,3)ab＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,3)ab＋eq\f(π,8)a2(cm2)．(2)當(dāng)a＝15，b＝8時(shí)，S≈eq\f(2,3)×15×8＋eq\f(3.14,8)×152≈168.31(cm2)．3．某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為40m、寬為30m的長(zhǎng)方形空地，現(xiàn)要美化這塊空地，在上面修建如圖所示的十字形花圃，在花圃內(nèi)種花，其余部分種草．(1)求花圃的面積；(2)若建造花圃及種花的費(fèi)用為每平方米100元，種草的費(fèi)用為每平方米50元，則美化這塊空地共需多少元？(第3題)【答案】解：(1)花圃的面積為40x＋30x－x2＝70x－x2(m2)．(2)美化這塊空地共需100(70x－x2)＋50[30×40－(70x－x2)]＝7000x－100x2＋60000－3500x＋50x2＝－50x2＋3500x＋60000(元)．題型3：利用整式加減解決計(jì)數(shù)問(wèn)題4．按如圖所示的規(guī)律擺放三角形：(第4題)(1)第4個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為________；(2)求第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．【答案】解：(1)14(2)觀察圖形可得擺放規(guī)律：中間一列三角形的個(gè)數(shù)比序號(hào)數(shù)大2，這一列兩側(cè)的三角形的個(gè)數(shù)分別與序號(hào)數(shù)相同，則第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為n＋2＋2n＝3n＋2.考點(diǎn)：規(guī)律探索1、數(shù)列型數(shù)字問(wèn)題例1、有一組數(shù)：1，2，5，10，17，26，……，請(qǐng)觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個(gè)數(shù)為_________．【答案】：50【解析】：仔細(xì)觀察這一數(shù)列中的各個(gè)數(shù)字的構(gòu)成特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)如下；第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)數(shù)1+1，第三個(gè)數(shù)是1+1+3，第四個(gè)數(shù)是1+1+3+5，第五個(gè)數(shù)是1+1+3+5+7，第六個(gè)數(shù)是1+1+3+5+7+9，為了使規(guī)律凸顯的明顯，我們不妨把第一個(gè)數(shù)1也寫成兩個(gè)數(shù)的和的形式，為1+0，這樣，就發(fā)現(xiàn)數(shù)字1是固定不變的，規(guī)律就蘊(yùn)藏在新數(shù)列0，1，4，9，16中，而0，1，4，9，16這些數(shù)都是完全平方數(shù)，并且底數(shù)恰好等于這個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的序號(hào)與1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，26=1+（5-1）2，這樣，第n個(gè)數(shù)為1+（n-1）2，找到數(shù)列變化的一般規(guī)律后，就很容易求得任何一個(gè)序號(hào)的數(shù)字了。因此，第八個(gè)數(shù)就是當(dāng)n=8時(shí)，代數(shù)式1+（n-1）2的值，此時(shí)，代數(shù)式1+（n-1）2的值為1+（8-1）2=50。所以，本空填50。古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個(gè)三角形數(shù)與第98個(gè)三角形數(shù)的差為_________.【答案】：199【解析】：本題中數(shù)列的數(shù)字，不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律。我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試。當(dāng)序號(hào)為1時(shí)，對(duì)應(yīng)的值是1，有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A，則A（1，1）；當(dāng)序號(hào)為2時(shí)，對(duì)應(yīng)的值是3，有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B，則B（2，3）；當(dāng)序號(hào)為3時(shí)，對(duì)應(yīng)的值是6，有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C，則C（3，6）；因?yàn)椋?，，所以有：成立，所以，?duì)應(yīng)的數(shù)值y是序號(hào)n的二次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=an2+bn+c，把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分別代入y=an2+bn+c中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0，所以，y=n2+n，因此，當(dāng)n=100時(shí)，y=×1002+×100，當(dāng)n=98時(shí)，y=×982+×98，因此（×1002+×100）-（×982+×98）=199，所以該空應(yīng)該填199。2、圖示型數(shù)字問(wèn)題例3、為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺個(gè)“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（）A．B．C．

D．【答案】：A【解析】：第一個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是8，有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A，則A（1，8）；第二個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是14，有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B，則B（2，14）；第三個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是20，有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C，則C（3，20）；因?yàn)?，，，所以有：成立，所以，每個(gè)圖形中所需要的火柴的總根數(shù)y是這個(gè)圖形的序號(hào)n的一次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=kn+b，把A（1，8），B（2，14）分別代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，所以，y=6n+2。因此選A。例4、下列圖案是由邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度的小正方形按一定的規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律，第5個(gè)圖案中小正方形的個(gè)數(shù)為_______________?！敬鸢浮浚?0【解析】：仔細(xì)觀察第一個(gè)圖，正方形的個(gè)數(shù)為1，第二個(gè)圖形中正方形的特點(diǎn)是中間是3個(gè)，左右兩邊各一個(gè)，即為1+3+1個(gè)，第三個(gè)圖形中正方形的特點(diǎn)是中間是5個(gè)，左右分別是1+3個(gè)，即為1+3+5+3+1，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1+3+5++（2n-1）++5+3+1=2n2-2n+1，這樣，第5個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)，也就是當(dāng)n=5時(shí)，代數(shù)式2n2-2n+1的值，所以，代數(shù)式的值為：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41個(gè)。所以，本空填50。例5、按如下規(guī)律擺放三角形：則第（4）堆三角形的個(gè)數(shù)為_____________；第(n)堆三角形的個(gè)數(shù)為_____________.【答案】：14,3n+2【解析】：仔細(xì)觀察第一個(gè)圖形，三角形排列的特點(diǎn)是中間3=(1+2)個(gè),左右各1個(gè),即圖1中三角形的總數(shù)為1+(1+2)+1,第二個(gè)圖形中三角形形的特點(diǎn)是中間是4=(2+2)個(gè)，左右兩邊各2個(gè)，即為2+(2+2)+2個(gè)，第三個(gè)圖形中三角形的特點(diǎn)是中間是5=(3+2)個(gè)，左右分別是3個(gè)，即為3+(3+2)+3，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為n+（n+2）+n=3n+2，這樣，第4個(gè)圖形中三角形正方形的個(gè)數(shù)，也就是當(dāng)n=4時(shí)，代數(shù)式3n+2的值，所以，代數(shù)式的值為：3n+2=3×4+2=14個(gè)。所以，本題的兩個(gè)空分別填14和3n+2。例6、柜臺(tái)上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀見右圖：

第一層有2×3聽罐頭，第二層有3×4聽罐頭，第三層有4×5聽罐頭，……根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）層有

聽罐頭（用含n的式子表示）。【答案】：n2+3n+2【解析】：仔細(xì)觀察圖形，第一層有2×3聽罐頭，對(duì)應(yīng)的序號(hào)為1，第一個(gè)數(shù)字2與序號(hào)1的關(guān)系是序號(hào)+1，第二個(gè)數(shù)字是3，它與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+2；第二層有3×4聽罐頭，對(duì)應(yīng)的序號(hào)為2，第一個(gè)數(shù)字3與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+1，第二個(gè)數(shù)字是4，它與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+2；第三層有4×5聽罐頭，對(duì)應(yīng)的序號(hào)為3，第一個(gè)數(shù)字4與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+1，第二個(gè)數(shù)字是5，它與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+2；分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n層中有（n+1）（n+2）聽罐頭，即n2+3n+2。所以，本題的空填n2+3n+2。例7、下列圖中有大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)，第2幅圖中有3個(gè)，第3幅圖中有5個(gè)，則第幅圖中共有個(gè)。1123……【答案】：2n+1【解析】：仔細(xì)觀察第一個(gè)圖形，有一個(gè)菱形，第二個(gè)圖形中有3個(gè)菱形，第三個(gè)圖形中有5個(gè)菱形，………仔細(xì)觀察這些數(shù)的特點(diǎn)，恰好是奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，由此，就清楚了變化的規(guī)律了。所以，第n個(gè)圖形中有2n+1個(gè)菱形。3、恒等式型數(shù)字問(wèn)題例8、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空：……則_______________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚阂胝业绞阶拥淖兓?guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)觀察式子的特點(diǎn)，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對(duì)解題很關(guān)鍵。仔細(xì)觀察式子，不難發(fā)現(xiàn)等式左邊中的（x-1）是個(gè)固定不變的量。左邊式子中第二個(gè)括號(hào)中多項(xiàng)式的次數(shù)是不斷變化的，且多項(xiàng)式的次數(shù)等于對(duì)應(yīng)等式的序號(hào)數(shù)，即第一個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)是1，第二個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)為2，所以，第n個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)為n，這是等式左邊的變化規(guī)律；等式右邊的規(guī)律，容易找些，多項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)是保持不變的，字母x的指數(shù)隨等式的序號(hào)變化而變化，且滿足字母x的指數(shù)等于等式的序號(hào)加1。所以，第10個(gè)等式的結(jié)果為。例9、觀察下列各式：……依此規(guī)律，第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）為

?！敬鸢浮浚海?0n+5）2=n（n+1）×100+52?！窘馕觥浚阂胝业绞阶拥淖兓?guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)觀察式子的特點(diǎn)，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對(duì)解題很關(guān)鍵。等式左邊底數(shù)的特點(diǎn)是，個(gè)位數(shù)字都5，是個(gè)不變的量，十位數(shù)字與對(duì)應(yīng)的序號(hào)一致，分別是1、2、3、4…………；等式右邊的特點(diǎn)是：第一個(gè)數(shù)字與對(duì)應(yīng)的序號(hào)是一致的，括號(hào)里的數(shù)字的特點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的序號(hào)與常數(shù)1的和；第三個(gè)數(shù)字又是一個(gè)固定的常數(shù)100；第四個(gè)數(shù)字是常數(shù)5的平方，也是固定不變的。通過(guò)分析，我們知道在這里對(duì)應(yīng)的序號(hào)是問(wèn)題的根本。而第n個(gè)等式的序號(hào)為n，所以第n個(gè)等式應(yīng)該是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。例10、觀察下列等式：第一行

3=4－1第二行

5=9－4

第三行

7=16－9

第四行

9=25－16…

…按照上述規(guī)律，第n行的等式為____________

【答案】：2n+1=（n+1）2-n2。【解析】：等式的左邊的特點(diǎn)是：奇數(shù)3、5、7、9…，這些奇數(shù)可以用對(duì)應(yīng)的序號(hào)表示，3=2×1+1，5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，其中1、2、3、4等恰好是對(duì)應(yīng)的序號(hào)，所以，第n個(gè)奇數(shù)為2n+1，這樣，我們就把等式左邊的規(guī)律找出來(lái)了；等式右邊的特點(diǎn)是：被減數(shù)為4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等對(duì)應(yīng)的冪，冪的底數(shù)與對(duì)應(yīng)的序號(hào)的關(guān)系是：底數(shù)=對(duì)應(yīng)序號(hào)+1，這樣，我們就又找到了一部分規(guī)律，第n個(gè)被減數(shù)為（n+1）2；減數(shù)分別為1、4、9、16…恰好是12，22，32，42，…等對(duì)應(yīng)的冪，冪的底數(shù)與對(duì)應(yīng)的序號(hào)的關(guān)系是：底數(shù)=對(duì)應(yīng)序號(hào)，這樣，我們就又找到了一部分規(guī)律，第n個(gè)減數(shù)為n2；所以，本題的變化規(guī)律為：2n+1=（n+1）2-n2。例11、觀察下列各式：請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來(lái)?！敬鸢浮浚?(n+1)。【解析】：仔細(xì)觀察我們發(fā)現(xiàn)，等式的左邊的特點(diǎn)是：被開方數(shù)中，第一個(gè)加數(shù)分別是1、2、3、………等的自然數(shù)，第二個(gè)加數(shù)是一個(gè)分?jǐn)?shù)，且分子都是1，是固定不變的，這就是一條規(guī)律；分母分別是3、4、5、6………，這些數(shù)與第一個(gè)加數(shù)的關(guān)系是：分母=第一個(gè)加數(shù)+2，這是第二規(guī)律；等式的右邊的特點(diǎn)是：二次根式的系數(shù)分別是2、3、4、5、………，這些數(shù)與左邊的被開方數(shù)中的第一個(gè)加數(shù)的關(guān)系是：二次根式系數(shù)=左邊的被開方數(shù)中的第一個(gè)加數(shù)+1，這是右邊的第一個(gè)規(guī)律；而被開方數(shù)也是一個(gè)分?jǐn)?shù)，且分子是1，保持不變，這是一條規(guī)律，分?jǐn)?shù)中的分母與左邊分?jǐn)?shù)中分母一樣。這是第二條規(guī)律。這樣的話，因?yàn)?，第n個(gè)等式中的第一個(gè)加數(shù)為n，所以，第n個(gè)等式為：=(n+1)。4、冪指數(shù)型數(shù)字問(wèn)題例12、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…，仔細(xì)觀察，式子的特點(diǎn)，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，則22008的個(gè)位數(shù)字是：A2B4C6D8【答案】：C【解析】：仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)冪的指數(shù)能被4整除時(shí)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，當(dāng)被4除，余數(shù)是3時(shí)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字為8，當(dāng)被4除，余數(shù)是2時(shí)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字為4，當(dāng)被4除，余數(shù)是1時(shí)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字為2，所以，問(wèn)題解決的關(guān)鍵，就是看冪的指數(shù)被4除的情形就可了。我們知道2008是能被4整除的，所以，22008的個(gè)位數(shù)字是6，所以，選C。5、排列型數(shù)字問(wèn)題例13、把正整數(shù)1，2，3，4，5，……，按如下規(guī)律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…

…

…

…

按此規(guī)律，可知第n行有

個(gè)正整數(shù)【答案】：【解析】：仔細(xì)觀察各行數(shù)字的個(gè)數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，第一行有1個(gè)數(shù)字，第二行有2個(gè)數(shù)字，第三行有4個(gè)數(shù)字，第四行有8個(gè)數(shù)字，再用我們前面所用的方法，我們就不容易找到變化的規(guī)律了。我們不妨換一種思路。利用冪指數(shù)的思想試一試。由于第一個(gè)數(shù)字是1，聯(lián)想到任何不是零的數(shù)的任何次冪都是1，所以，指數(shù)0=序號(hào)1-1，又因?yàn)榈诙杏?個(gè)數(shù)字，第三行有4個(gè)數(shù)字，第四行有8個(gè)數(shù)字，這些數(shù)字都是偶數(shù)，所以底數(shù)一定是偶數(shù)，是2、或4或6等等，但是，第二個(gè)數(shù)為2，指數(shù)等于2-1=1，所以，底數(shù)為2，這樣，我們就找到規(guī)律，第n行中的數(shù)字個(gè)數(shù)為。例14、將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去。若用有序?qū)?/p>