2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5.1.1兩角差的余弦公式課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE9-兩角差的余弦公式(15分鐘30分)1.cos(45°-α)cos(15°-α)+sin(45°-α)sin(15°-α)= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.cos(45°-α)cos(15°-α)+sin(45°-α)sin(15°-α)=cosQUOTE=cos30°=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】cosQUOTEcosQUOTE+sinQUOTEsinQUOTE的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選C.原式=cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE.2.若cosα=QUOTE，cos(α+β)=-QUOTE，且α，β都是銳角，則cosβ的值為()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.因?yàn)棣?(α+β)-α，又因?yàn)閏osα=QUOTE，cos(α+β)=-QUOTE，α，β都是銳角，所以α+β是鈍角，所以sinα=QUOTE，sin(α+β)=QUOTE.因?yàn)閏osβ=cosQUOTE=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)sinα，所以cosβ=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sinα=QUOTE，α∈QUOTE，則cosQUOTE的值為_(kāi)______.

【解析】因?yàn)閟inα=QUOTE，α∈QUOTE，所以cosα=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE，所以cosQUOTE=cosQUOTEcosα+sinQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE3.滿(mǎn)意cosαcosβ=QUOTE-sinαsinβ的一組α，β的值是 ()A.α=QUOTE，β=QUOTE B.α=QUOTE，β=QUOTEC.α=QUOTE，β=QUOTE D.α=QUOTE，β=QUOTE【解析】選B.cosαcosβ=QUOTE-sinαsinβ，所以cosαcosβ+sinαsinβ=QUOTE，即cos(α-β)=QUOTE，閱歷證可知選項(xiàng)B滿(mǎn)意.4.cos555°的值是_______.

【解析】cos555°=cos195°=-cos15°=-cos(45°-30°)=-QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.答案：-QUOTE5.若x∈QUOTE，且sinx=QUOTE，求2cosQUOTE+2cosx的值.【解析】因?yàn)閤∈QUOTE，sinx=QUOTE，所以cosx=-QUOTE.所以2cosQUOTE+2cosx=2QUOTE+2cosx=2QUOTE+2cosx=QUOTEsinx+cosx=QUOTE-QUOTE=QUOTE.(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分，共15分)1.已知α∈QUOTE，且cosQUOTE=-QUOTE，則cosα= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)棣痢蔘UOTE，所以α+QUOTE∈QUOTE，所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以cosα=cosQUOTE=cosQUOTEcosQUOTE+sinQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.若cos(α-β)=QUOTE，cos2α=QUOTE，并且α，β均為銳角且α<β，則α+β的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)棣?，β∈QUOTE，α<β，所以α-β∈QUOTE，2α∈(0，π)，sin(α-β)=-QUOTE，sin2α=QUOTE，所以cos(α+β)=cosQUOTE=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE，因?yàn)棣?β∈(0，π)，所以α+β=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若cos(α+β)=QUOTE，sinQUOTE=QUOTE，α，β∈QUOTE，則cosα+QUOTE的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)棣?，β∈QUOTE，所以α+β∈(0，π)，β-QUOTE∈QUOTE.又因?yàn)閏os(α+β)=QUOTE，sinQUOTE=QUOTE，所以sin(α+β)=QUOTE=QUOTE，cosQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以cosQUOTE=cosQUOTE=cos(α+β)cosQUOTE+sin(α+β)sinβ-QUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知sinα+sinβ+sinγ=0和cosα+cosβ+cosγ=0，則cos(α-β)的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.由已知得，-sinγ=sinα+sinβ，①-cosγ=cosα+cosβ，②①2+②2得，1=1+1+2sinαsinβ+2cosαcosβ，化簡(jiǎn)得cosαcosβ+sinαsinβ=-QUOTE，即cos(α-β)=-QUOTE.二、多選題(共5分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)4.若QUOTEsinx+QUOTEcosx=cos(x+φ)，則φ的一個(gè)可能值是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選AC.對(duì)比公式特征知，cosφ=QUOTE，sinφ=-QUOTE，故φ=-QUOTE，QUOTE合適.三、填空題(每小題5分，共10分)5.已知sinα=QUOTE，α是其次象限角，則tanα=_______，cos(α-60°)=_______.

【解析】因?yàn)閟inα=QUOTE，α是其次象限角，所以cosα=-QUOTE，所以tanα=QUOTE=-QUOTE，故cos(α-60°)=cosαcos60°+sinαsin60°=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：-QUOTEQUOTE6.(2024·棗莊高一檢測(cè))如圖，實(shí)線(xiàn)是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線(xiàn)C，各段弧所在的圓經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)P(點(diǎn)P不在C上)且半徑相等，設(shè)第i段弧所對(duì)的圓心角為αi(i=1，2，3)，則cosQUOTEcos-QUOTE+sinQUOTE·sinQUOTE=_______.

【解析】設(shè)三段圓弧交于A，B，D三點(diǎn)，連接PA，PB，PD，則∠APB+∠APD+∠BPD=2π，從而α1+α2+α3=4π，所以cosQUOTEcosQUOTE+sinQUOTEsin-QUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=-QUOTE.答案：-QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知α，β均為銳角，且cosα=QUOTE，sinβ=QUOTE，則β-α的值為_(kāi)______.

【解析】因?yàn)棣?，β∈QUOTE，cosα=QUOTE，sinβ=QUOTE，所以sinα=QUOTE，cosβ=QUOTE，因?yàn)閟inα<sinβ，所以β-α∈QUOTE.所以cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以β-α=QUOTE.答案：QUOTE四、解答題7.(10分)已知函數(shù)f(x)=-cos2xcosQUOTE+sin2xsinQUOTE.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若QUOTE<α<β<QUOTE，f(α)=QUOTE，且f(β)=QUOTE，求角2β-2α的大小.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=-cos2xcosQUOTE+sin2xsinQUOTE=cos2xcosQUOTE+sin2xsinQUOTE=cosQUOTE，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=QUOTE=π.(2)因?yàn)閒(α)=QUOTE，且f(β)=QUOTE，所以cosQUOTE=QUOTE，cosQUOTE=QUOTE.又QUOTE<α<β<QUOTE，所以2α-QUOTE∈QUOTE，2β-QUOTE∈QUOTE，所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE，sinQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以cos(2β-2α)=cosQUOTE=cosQUOTEcosQUOTE+sin2β-QUOTEsin2α-QUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.又QUOTE<α<β<QUOTE，所以0<2β-2α<QUOTE，所以2β-2α=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知cosQUOTE=-QUOTE，sinQUOTE=QUOTE，且α∈QUOTE，β∈QUOTE，求cosQUOTE的值.【解析】因?yàn)镼UOTE<α<π，0<β<QUOTE，所以QUOTE<QUOTE<QUOTE，0<QUOTE<QUOTE，QUOTE<α+β<QUOTE.所以QUOTE<α-QUOTE<π，-QUOTE<QUOTE-β<QUOTE，