2024-2025學(xué)年上海七寶中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（2025.01）（含答案）

七寶中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末2025.1一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.2．已知球的體積為，則球的表面積為.3．若一個(gè)圓柱側(cè)面積為，高為2，則這個(gè)圓柱的體積為.4．若平面與平面都相交，則這三個(gè)平面的交線有條.5．在三棱錐中，，則點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)是的心．6．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.（第6題）（第7題）（第8題）7．如圖，底面半徑為4的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了2周，則圓錐的表面積為.8．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，棱平面，，則點(diǎn)到平面的距離為.9．球是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，則球的內(nèi)接正四面體體積為.10．已知空間向量滿足：，則的最小值為.11．已知分別是雙曲線漸近線上的兩點(diǎn)，且軸，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．現(xiàn)將所在平面沿軸折成平面角為銳角的二面角，翻折后如圖，此時(shí)．若，則的離心率為.12．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體有一個(gè)截面，其中分別在棱上．若是正方形，則截面的面積為.二、選擇題（本大題共有4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分）

13．已知是空間中兩個(gè)不重合的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）.

A．若，則B．若，則

C．若，則D．若，則

14．已知直線的斜率分別為，傾斜角分別為，則＂＂是＂＂的（）.

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

15．如圖，正方體中，分別為線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，對(duì)空間任意兩點(diǎn)，若線段與線段不相交或與線段不相交，則稱兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)不可視的為（）.A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)

16．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，且，若，則（1）點(diǎn)在一條定直線上：（2）是定值（）.

A．（1）正確，（2）不正確B．（1）不正確，（2）正確

C．（1）正確，（2）正確D．（1）不正確，（2）也不正確

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.

17．（本題滿分14分，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分）

已知圓的圓心在軸上，且與直線相切于點(diǎn)．

（1）求圓的方程；

（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程．

18．（本題滿分14分，第一小題滿分8分，第二小題滿分6分）

如圖，在四棱錐中，平面為的中點(diǎn)，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

19．（本題滿分14分，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分）

水平通常指的是與水平面平行的狀態(tài).一個(gè)保持水平的桌面能夠確保使用的舒適性和穩(wěn)定性，從而提高工作效率和精度.我們可以使用水平儀檢測(cè)桌面是否水平，水平儀可以被用于檢測(cè)某一條直線是否處于水平狀態(tài).

（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)利用水平儀來(lái)檢測(cè)桌面是否處于水平狀態(tài)的方案，并借助數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明其測(cè)量原理：

（2）現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為1米的正方形四腳木桌（四條桌腿的長(zhǎng)度均為1米），被放置在傾斜的地面上．通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，此時(shí)桌面的兩條對(duì)角線分別呈現(xiàn)出和的傾斜角度．為了將這張桌子平穩(wěn)地放置在地面上并使桌面保持水平，我們需要通過(guò)鋸短桌腿來(lái)進(jìn)行調(diào)整，請(qǐng)?zhí)峁┮粋€(gè)最省力的方案．（答案精確到0.01米）20．（本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分6分，第三小題滿分8分）如圖，在平行六面體中，，．點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且滿足．

（1）若三點(diǎn)共線，求的值；

（2）若對(duì)角線，求的最大值；

（3）若，直線和的所成角為，求的取值范圍．21．（本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分6分，第三小題滿分8分）已知橢圓，點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）若，求的值；

（2）已知，若，求的取值范圍；

（3）已知，請(qǐng)研究面積的最大值．

七寶中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末2025.1一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（1,0）2．已知球的體積為，則球的表面積為.

【答案】3．若一個(gè)圓柱側(cè)面積為，高為2，則這個(gè)圓柱的體積為.

【答案】4．若平面與平面都相交，則這三個(gè)平面的交線有條.

【答案】1或2或35．在三棱錐中，，則點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)是的心．

【答案】垂6．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】（第6題）（第7題）（第8題）7．如圖，底面半徑為4的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了2周，則圓錐的表面積為.

【答案】8．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，棱平面，，則點(diǎn)到平面的距離為.

【答案】9．球是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，則球的內(nèi)接正四面體體積為.

【答案】10．已知空間向量滿足：，則的最小值為.

【答案】11．已知分別是雙曲線漸近線上的兩點(diǎn)，且軸，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．現(xiàn)將所在平面沿軸折成平面角為銳角的二面角，翻折后如圖，此時(shí)．若，則的離心率為.【答案】12．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體有一個(gè)截面，其中分別在棱上．若是正方形，則截面的面積為.【答案】二、選擇題（本大題共有4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分）

13．已知是空間中兩個(gè)不重合的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）.

A．若，則B．若，則

C．若，則D．若，則【答案】D

14．已知直線的斜率分別為，傾斜角分別為，則＂＂是＂＂的（）.

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D

15．如圖，正方體中，分別為線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，對(duì)空間任意兩點(diǎn)，若線段與線段不相交或與線段不相交，則稱兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)不可視的為（）.A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)【答案】B

16．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，且，若，則（1）點(diǎn)在一條定直線上：（2）是定值（）.

A．（1）正確，（2）不正確B．（1）不正確，（2）正確

C．（1）正確，（2）正確D．（1）不正確，（2）也不正確【答案】C

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.

17．（本題滿分14分，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分）

已知圓的圓心在軸上，且與直線相切于點(diǎn)．

（1）求圓的方程；

（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程．

【答案】（1）（2）或．【解析】（1）由題意，設(shè)圓心，半徑，因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，則，解得（2分）

則圓心為（4分）

所以圓的方程為（6分）

（2）由題意，圓心到直線的距離為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

①若直線的斜率不存在，其方程為，

圓心到直線的距離為，顯然符合題意；（8分）

②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，解得（10分）則此時(shí)直線的方程為，即（12分）綜上，直線的方程為或．（14分）18．（本題滿分14分，第一小題滿分8分，第二小題滿分6分）

如圖，在四棱錐中，平面為的中點(diǎn)，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫嫠裕?分）

由題知，，所以，由余弦定理得，

所以，又，所以，即（4分）

因?yàn)槠矫?，所以平面?分）

因?yàn)槠矫?，所以平面平面?分）

（2）由（1）知，在平面內(nèi)的射影為，所以在平面內(nèi)的射影也為，故直線與平面所成角即為（10分）

因?yàn)?，所以?/p>

所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以（12分）所以（14分）

19．（本題滿分14分，第一小題滿分6分，第二小題滿分8分）

水平通常指的是與水平面平行的狀態(tài).一個(gè)保持水平的桌面能夠確保使用的舒適性和穩(wěn)定性，從而提高工作效率和精度.我們可以使用水平儀檢測(cè)桌面是否水平，水平儀可以被用于檢測(cè)某一條直線是否處于水平狀態(tài).

（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)利用水平儀來(lái)檢測(cè)桌面是否處于水平狀態(tài)的方案，并借助數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明其測(cè)量原理：

（2）現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為1米的正方形四腳木桌（四條桌腿的長(zhǎng)度均為1米），被放置在傾斜的地面上．通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，此時(shí)桌面的兩條對(duì)角線分別呈現(xiàn)出和的傾斜角度．為了將這張桌子平穩(wěn)地放置在地面上并使桌面保持水平，我們需要通過(guò)鋸短桌腿來(lái)進(jìn)行調(diào)整，請(qǐng)?zhí)峁┮粋€(gè)最省力的方案．（答案精確到0.01米）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）三條桌腿，分別鋸掉0.02米，0.10米，0.12米．【解析】（1）在桌面上找兩條相交直線和，且（2分）（只要說(shuō)明兩條直線相交即可得2分，選擇對(duì)角線或者桌邊都可，意思到了就給分）

利用水平儀來(lái)檢測(cè)這兩條直線是否處于水平：

若直線水平面，且直線（4分）

由面面平行的判定定理，桌面.（6分）

若直線不平行，或直線不平行，則桌面不平行.

（2）解答一：假設(shè)桌腿的粗細(xì)忽略不計(jì)，且對(duì)角桌腿間的距離和．不妨設(shè)對(duì)角線的傾斜程度為，對(duì)角線的傾斜程度為.

假設(shè)不鋸桌腿，要使得水平面，則桌腿需要鋸掉，即.（8分）同理，.（10分）

此時(shí)對(duì)角線和的交點(diǎn)在線段上的投影為（如圖所示），為了使得桌子平穩(wěn)地放置在地面上，則.由梯形的中位線定理可知，，所以，.（12分）

所以三條桌腿，分別鋸掉0.02米，0.10米，0.12米．

（鋸掉三條桌腿的答案不唯一，在不鋸桌腿的假設(shè)下，只需要滿足，，其中即可）

解答二：假設(shè)桌腿的粗細(xì)忽略不計(jì)，且對(duì)角桌腿間的距離和．

以對(duì)角線和的交點(diǎn)為原點(diǎn)，以平面與水平面的交線為軸，以與水平面的交線為軸，以堅(jiān)直方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)水平面，傾斜地面.由題意可知，未鋸?fù)葧r(shí)的桌面平行于地面，即．

不妨設(shè)（8分）

設(shè)地面的一個(gè)法向量為，

令，則，即（10分）可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)桌面，使得，此時(shí)只需要鋸兩條桌腿．

則平面與平面的夾角（12分）則桌腿分別鋸掉米．（14分）

說(shuō)明解答二只需要鋸掉兩條桌腿，比起解答一鋸掉三條桌腿更省力.所以解答一只能得6分．20．（本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分6分，第三小題滿分8分）如圖，在平行六面體中，，．點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且滿足．

（1）若三點(diǎn)共線，求的值；

（2）若對(duì)角線，求的最大值；

（3）若，直線和的所成角為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)基向量，則．

因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，即，解得．

所以（4分）（用公理3也可以證明是的中點(diǎn)）

（2）因?yàn)?，且?/p>

所以（6分）

配方得即（8分）故，即．所以的最大值為．．．．．．．（10分）

（3），

則，即．即（12分）．（14分）

令

解法二：因?yàn)?，所以?/p>

又因?yàn)?，所以，即?/p>

所以，直線和的所成角為．（12分）

當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，最小為0，即最大為1．

當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，最大，即最?。?6分）

此時(shí)．所以，．（18分）

解法三：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角直角坐標(biāo)系．

則．

由點(diǎn)，得，則．

又，則（12分）．

令

21．（本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分6分，第三小題滿分8分）已知橢圓，點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）若，求的值；

（2）已知，若，求的取值范圍；

（3）已知，請(qǐng)研究面積的最大值．

【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由題意可知，代入橢圓，得到，化簡(jiǎn)得到．（4分）

（2）設(shè)，由