專題03 利用相似測高及相似的性質(zhì)應(yīng)用6大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末好題分類匯編（河南專用）

PAGE1PAGE2專題03利用相似測高及相似的性質(zhì)應(yīng)用6大題型題型一利用相似測高1．（22-23九年級上·河南周口·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AH是高，AM是中線，那么在結(jié)論①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中錯誤的個數(shù)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAM，根據(jù)已知條件判斷∠B＝∠MAH不一定成立；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及余角的性質(zhì)得出∠B＝∠CAH．【詳解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中線，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正確；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②錯誤；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正確．故選：B．2．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，在A時測得旗桿的影長是4米，B時測得旗桿的影長是16米，若兩次的日照光線恰好垂直，則旗桿的高度是（

）米．

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用等角的余角相等得到，則可判斷，然后利用相似比可計算出．【詳解】解：如圖，，，，

∵，∴，∴，而，∴，∴，∴，即，∴，即旗桿的高度為．故選：D3．（23-24九年級上·河南信陽·期末）如圖，利用標(biāo)桿測量樓高，點C，A，B在同一直線上，，，垂足分別為A，B.若測得影長米，米，影長米，則樓高為（

）A．10米 B．12米 C．15米 D．20米【答案】B【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，根據(jù)同一時刻物體與影長成比例得到對應(yīng)線段成比例解題即可．【詳解】解：∵同一時刻物體與影長成比例，∴，即：，解得：；故選B．4．（23-24九年級上·河南商丘·期末）圖1是裝滿了液體的高腳杯（數(shù)據(jù)如圖），用去部分液體后，放在水平的桌面上如圖2所示，此時液體．【答案】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．高腳杯前后的兩個三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖：，，即相似比為,，,故答案為：．5．（23-24九年級上·河南開封·期末）如圖，是一塊銳角三角形余料，邊，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點，分別在，上，則這個正方形零件的邊長是mm．【答案】24【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)與交點為E，正方形的邊長為x，得到，根據(jù)正方形性質(zhì)得到，得到，推出，解得．【詳解】解：設(shè)與交點為E，正方形的邊長為x，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，即，解得，∴這個正方形零件的邊長是．故答案為：24．6．（19-20九年級上·河南鄭州·期末）已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h．（1）若點P在一邊BC上，如圖①，此時h3＝0，求證：h1+h2+h3＝h；（2）當(dāng)點P在△ABC內(nèi)，如圖②，以及點P在△ABC外，如圖③，這兩種情況時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關(guān)系，請說出你的猜想，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）點P在△ABC內(nèi)時成立，點P在△ABC外時不成立，理由見解析.【分析】(1)連接AP,將△ABC面積分成△ABP和△APC的面積,利用面積公式代入即可證明.(2)連接AP、BP、CP,將△ABC的面積分裂成幾個小三角形的面積之和,代入面積公式計算即可.【詳解】（1）如圖1，連接AP，則S△ABC＝S△ABP+S△APC∴BC?AM＝AB?PD+AC?PF即BC?h＝AB?h1+AC?h2又∵△ABC是等邊三角形∴BC＝AB＝AC，∴h＝h1+h2；（2）點P在△ABC內(nèi)時，h＝h1+h2+h3，理由如下：如圖2，連接AP、BP、CP，則S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP∴BC?AM＝AB?PD+AC?PF+BC?PE即BC?h＝AB?h1+AC?h2+BC?h3又∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC．∴h＝h1+h2+h3；點P在△ABC外時，h＝h1+h2﹣h3．理由如下：如圖3，連接PB，PC，PA由三角形的面積公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，即BC?AM＝AB?PD+AC?PE﹣BC?PF，∵AB＝BC＝AC，∴h1+h2﹣h3＝h，即h1+h2﹣h3＝h．7．（19-20九年級下·河南焦作·期末）如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測量校園內(nèi)一棵小樹的高度，用長為的竹竿作測量工具，移動竹竿，使竹竿影子的頂端、樹影子的頂端落在水平地面上的同一點，且點，，在同一直線上．已知，，求這棵樹的高度．【答案】這棵樹的高度為【分析】利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴．答：這棵樹的高度為．8．（18-19九年級下·河南駐馬店·期末）如圖所示，在離某建筑物處有一棵樹，在某時刻，長的竹竿垂直地面，影長為，此時，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為，那么這棵樹高約有多少米？【答案】這棵樹高．【分析】因為在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同，利用竹竿這個參照物就可以求出圖中的，是的影子，然后加上CD就是樹高．【詳解】過點作交于點則，，即答：這棵樹高．題型二相似三角形的應(yīng)用舉例9．（23-24九年級上·河南許昌·期末）學(xué)完《相似》一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實踐小組決定利用所學(xué)知識去測量河的寬度．如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即米）的點處懶北岸，小軍、小強(qiáng)站在南岸邊，調(diào)整小軍、小強(qiáng)兩人的位置，當(dāng)小軍、小強(qiáng)兩人分別站在兩點處時，小麗發(fā)現(xiàn)河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強(qiáng)遮擋（即三點共線，三點共線）．已知電線桿之間的距離為75米，小軍、小強(qiáng)兩人之間的距離為30米，求這條河的寬度．【答案】這條河的寬度為30米【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，延長交于點，設(shè)這條河的寬度為x米．由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)列方程求解方程，即可得到河的寬度．【詳解】解：延長交于點，如解圖所示．依題意，米，米．設(shè)這條河的寬度為米．，．，即，解得．答：這條河的寬度為30米．10．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點在同一直線上，已知紙板的兩條邊，，測得邊離地面的高度，，求樹高．【答案】【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．首先利用勾股定理計算出長，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，求出長，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：在中，，即，，由題意得：，，，，，，，，解得，，11．（23-24九年級上·河南駐馬店·期末）寶嚴(yán)寺塔（圖1），俗稱“東關(guān)塔”，位于西平縣城東關(guān)，故名．該塔造型古樸，2006年6月被批準(zhǔn)為國家級文物保護(hù)單位．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板來測量寶嚴(yán)寺塔的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊與地面保持平行，并使邊與寶嚴(yán)寺塔頂點在同一直線上，已知米，米，目測點與地面的距離米，到寶嚴(yán)寺塔的水平距離米，求寶嚴(yán)寺塔的高度．

圖1

圖2【答案】塔的高度為．【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．證明即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵米，米，米，∴，解得：，∵∴．答：塔的高度為．12．（23-24九年級上·河南安陽·期末）二七紀(jì)念塔位于河南省鄭州市二七廣場，是鄭州市的地標(biāo)性建筑之一．某數(shù)學(xué)活動小組欲測量其高度，如圖，在距紀(jì)念塔水平距離為的點B處豎立一根長為的直桿，恰好使得觀測點E，直桿頂點A和塔頂點N在同一條直線上．若，，，求塔高．【答案】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，構(gòu)造相似三角形建立模型解決問題．根據(jù)題意得出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而得出．【詳解】解：，，∴，∵，，．由題意知，，，，，，解得：，，即二七紀(jì)念塔的高度為．13．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實踐小組決定利用所學(xué)知識去測量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面上取兩點，分別豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且古建筑，標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿后退到處，從處觀察點，三點成一線；從標(biāo)桿后退到處，從處觀察點，三點也成一線．請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實踐小組求出該古建筑的高度．【答案】該古建筑的高度為米【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由題意可得：，，，從而得到，進(jìn)而得到，，由相似三角形的性質(zhì)可得，，由得出，求出的長，即可得解，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，，，，，，，，解得：，，，該古建筑的高度為米．14．（21-22九年級上·河南平頂山·期末）閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動：測量樹的高度．在物理學(xué)中我們學(xué)過光的反射定律，數(shù)學(xué)綜合實踐小組想利用光的反射定律測量池塘對岸一棵樹的高度AB，測量和計算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點處放置了一塊平面鏡，小華站在的延長線上，當(dāng)小華從平面鏡中剛好看到樹的頂點時，測得小華到平面鏡的距離，小華的眼睛到地面的距離；②將平面鏡從點沿的延長線移動到點處，小華向后移動到點處時，小華的眼睛又剛好在平面鏡中看到樹的頂點，這時測得小華到平面鏡的距離；③計算樹的高度AB：設(shè)，．，，．任務(wù)：請你根據(jù)材料中得到的測量數(shù)據(jù)和計算步驟，將剩余的計算部分補(bǔ)充完整．【答案】米，見解析【分析】根據(jù)題意得出，利用相似三角形的性質(zhì)得出AB，的長進(jìn)而得出答案．【詳解】解：設(shè)米，米．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∴，∴．∴，解得．把代入，得，解得．答：樹的高度AB為．15．（21-22九年級上·河南鶴壁·期末）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為，選取與塔底在同一水平地面上的、兩點，分別垂直地面豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且東塔、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點，、、在一直線上；從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察A點，A、、三點也在一直線上，且、、、、在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔的高度．

【答案】36m【分析】設(shè)，則，通過證明，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，則∵，，∴，∴，∴，即，同理可證，∴，即，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴，∴，∴該古建筑AB的高度為36m．16．（19-20九年級上·河南鄭州·期末）《鐵血紅安》在中央一臺熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面1.6米，涼亭頂端離地面2米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度．【答案】城樓的高度為米【分析】過點作于點，交于點，構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】過點作于點，交于點，由題意可得：，，，，，，，解得：，，故城樓的高度為：（米，答：城樓的高度為米．17．（21-22九年級上·河南商丘·期末）位于沱河南岸的永城沱南生態(tài)廣場，有座雕塑《漢韻南風(fēng)裊裊歌》，雕塑由主體和書著《永城賦》的基座兩部分構(gòu)成（如圖），其立意是“這里是漢興腹地，這里是豫東江南……”九·1班數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們想利用學(xué)過的測量旗桿高度的方法測量這座雕塑（含基座，下同）的高度（從雕塑周圍地平面算起），已知負(fù)責(zé)測量的小永身高為h米（眼睛以上的高度忽略不計），測量時小永的影長為a米，雕塑的影長為b米；利用小鏡測量時，小永離鏡子的距離為c米，鏡子離雕塑的最高點所在直線的距離為d米．請你幫助小永選擇其中一個方案，畫出圖形并計算出雕塑的高度（結(jié)果用含字母的式子表示），【答案】；圖像見解析．【分析】根據(jù)同一時刻，用物體與影子構(gòu)成相似三角形，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】圖像如下：如圖分別為雕塑與小永的實物與影子圖兩物與地面垂直都在同一時間點的陽光照射下，~則雕塑高為18．（21-22九年級上·河南許昌·期末）如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量水平地面上樹AB的高度，已知兩直角邊，他調(diào)整自己的姿勢和三角形紙板的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，DM垂直于地面，測得，邊DF離地面的距離為，求樹高AB．【答案】15.6米【分析】證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．答：樹高15.6m．題型三利用相似三角形的性質(zhì)求解19．（23-24九年級上·河南安陽·期末）在中，，現(xiàn)有動點P從點C出發(fā)，沿向點A方向運動，動點Q從點B出發(fā)，沿向點C方向運動，如果點P的速度是，點Q的速度是，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，點P，Q就停止運動，設(shè)運動時間為t秒，求：

(1)用含t的代數(shù)式表示，；(2)當(dāng)t為多少時，的長度等于？(3)當(dāng)t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似？【答案】(1)，(2)為0．2或3秒(3)為2或【分析】此題是相似形綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可．（2）利用勾股定理求解即可．（3）分情況討論，和，代入求解即可．【詳解】（1）解：用含的代數(shù)式表示，；故答案為，．（2）解：在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得：或，當(dāng)為0．2或3秒時，的長度等于．（3）解：以點為頂點的三角形與相似，且，①，，，，②，，，，即當(dāng)為2或時，以點為頂點的三角形與相似．20．（22-23九年級上·河南商丘·期末）如圖，點在一條直線上，與相交于點

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先證明出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到，即可證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵==，∴；∴，∴，即；（2）∵，∴．∵，，∴．21．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形．若的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，且．(1)＝，＝；(2)連接，若點E為x軸負(fù)半軸上的點，若與相似，則此時點E的坐標(biāo)．【答案】(1)8，6(2)或【分析】（1）解一元二次方程即可求解；（2）分類討論，根據(jù)不同的對應(yīng)關(guān)系列出比例式，求出坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：因為的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，解方程得，，因為，所以，故答案為：8，6；（2）解：設(shè)點E的坐標(biāo)為，則，因為，所以，因為四邊形是菱形，所以當(dāng)時，∴＝，∴，∴，∴，∵點E為x軸負(fù)半軸上的點，∴點E的坐標(biāo)為：；當(dāng)時，∴＝，∴，∴，∴，∵點E為x軸負(fù)半軸上的點，∴點E的坐標(biāo)為：；綜上，點E的坐標(biāo)為：或．22．（21-22九年級上·河南洛陽·期末）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，∠DAC＝∠B．點E在AD邊上，CD＝CE．(1)求證：△ABD∽△CAE；(2)若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的長．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】(1)根據(jù)已知條件可得，∠DAC=∠B，即可證明△ABD~△CAE；(2)根據(jù)△ABD~△CAE，對應(yīng)邊成比例即可求出AE的長．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）由（1）得，∴，，，，∴．23．（21-22九年級上·河南南陽·期末）（1）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上．在方格紙內(nèi)畫，使，相似比為，且頂點都在格點上．（2）的面積是______．【答案】（1）答案見解析；（2）12【分析】（1）根據(jù)相似比為先確定對應(yīng)點的位置，再連接即可得到答案；（2）先求出根據(jù)△ABC的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的面積．【詳解】（1）如圖，為所求作圖形；（答案不唯一）（2）由題意得，，相似比為故答案為：12．24．（19-20九年級上·河南南陽·期末）已知在中，，，，為邊上的一點．過點作射線，分別交邊、于點、．（1）當(dāng)為的中點，且、時，如圖1，_______：（2）若為的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，_______；（3）若改變點到圖3的位置，且時，求的值．【答案】（1）2；（2）2；（3）【分析】（1）由為的中點，結(jié)合三角形的中位線的性質(zhì)得到從而可得答案；（2）如圖，過作于過作于結(jié)合（1）求解再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）過點分別作于點，于點，證明,可得再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解同法求解從而可得答案．【詳解】解：（1）為的中點，故答案為：（2）如圖，過作于過作于由（1）同理可得：故答案為：（3）過點分別作于點，于點，∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴∴．∵，∴．∵，∴．∴．同理可得：．∴．25．（19-20九年級上·河南信陽·期末）將一副直角三角板按右圖疊放．(1)證明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB與△DOC的面積之比．【答案】(1)見解析；(2)1：3【分析】（1）推出∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，就可得△AOB∽△COD；（2）設(shè)BC=a，則AB=a，BD=2a，由勾股定理知：CD=a，得AB：CD=1：，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得面積比.【詳解】解：(1)∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD(2)設(shè)BC=a，則AB=a，BD=2a由勾股定理知：CD=a∴AB：CD=1：

∴△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．26．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）已知，如圖，A（0．8），B（4，0），D是AB的中點，過D點作直線與△AOB的一邊交于點E，直線DE截△ABO得到的小三角形與△ABO相似，求滿足題意的所有E點的坐標(biāo)．【答案】（0，4），（2，0），（0，3）．【詳解】試題分析：分別從①當(dāng)DE∥OB時，△AED∽△AOB，②當(dāng)DE∥OA時，△BDE∽△BAD，③過D作DE⊥AB交OA于E，去分析求解即可求得答案．試題解析：（1）當(dāng)DE∥OB時，△AED∽△AOB此時E（0，4），（2）當(dāng)DE∥OA時，△BDE∽△BAD此時E（2，0），

（3）過D作DE⊥AB交OA于E，則△ADE∽△AOB則∵∴8AE=∴AE=5∴E（0，3）

綜上可得：E點的坐標(biāo)為：（0，4），（2，0），（0，3）．題型四在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形27．（21-22九年級上·河南洛陽·期末）如圖，在5×5的邊長為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點三角形（即三角形的各頂點都在小正方形的頂點上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫出與△DEF相似且面積最大的格點三角形，并直接寫出其面積．【答案】(1)相似，見解析(2)圖見解析，面積為5【分析】（1）相似，分別求出每個三角形的三條邊長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似判斷即可；（2）根據(jù)勾股定理得出三角形各邊長，利用邊長之比相等，作出面積最大的格點三角形即可．【詳解】（1）△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；（2）如圖，△MNP即為所求，．28．（21-22九年級上·河南南陽·期末）（1）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上．在方格紙內(nèi)畫，使，相似比為，且頂點都在格點上．（2）的面積是______．【答案】（1）答案見解析；（2）12【分析】（1）根據(jù)相似比為先確定對應(yīng)點的位置，再連接即可得到答案；（2）先求出根據(jù)△ABC的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的面積．【詳解】（1）如圖，為所求作圖形；（答案不唯一）（2）由題意得，，相似比為故答案為：12．29．（20-21九年級上·河南商丘·期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點、頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．求面積最大的三角形的斜邊長．【答案】5【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定兩直角邊的比值為1：2，以及6×6網(wǎng)格圖形中，最長線段為6，進(jìn)行嘗試，可確定、、為邊的這樣一組三角形滿足條件．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，AC：BC＝1∶2，∴與Rt△ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1∶2，若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網(wǎng)格圖形中，最長線段為6，但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應(yīng)小于4，在圖中嘗試，可畫出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，∵＝＝＝，∴△ACB∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此時△DEF的面積為：×2÷2＝10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為5．30．（23-24九年級·河南安陽·期末）如圖，圖①、圖②、圖③均為4×2的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點均在格點上．按要求在圖②、圖③中各畫一個頂點在格點上的三角形．要求：（1）所畫的兩個三角形都與△ABC相似但都不與△ABC全等．（2）圖②和圖③中新畫的三角形不全等．【答案】作圖見解析.【分析】將原三角形的三邊分別擴(kuò)大和2倍即可得．【詳解】如圖，△A1B1C1和△A2B2C2即為所求作三角形．題型五相似三角形中的動點問題31．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖，在鈍角三角形中，，，動點D從點A出發(fā)到點B停止，動點E從點C出發(fā)到點A停止，點D的運動速度為，動點E的運動速度為，如果兩點同時出發(fā)，那么以點A、D、E為頂點的三角形與相似時，運動的時間為（

）A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s【答案】B【分析】本題考查相似三角形中的動點問題，分和兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：設(shè)運動時間為，由題意，得：，∴，當(dāng)時：則，即，解得：；當(dāng)時：則，即，解得：；綜上：或；故選B．32．（23-24九年級上·河南開封·期末）如圖，已知點P是邊長為10的正方形內(nèi)的一點，且，若在射線上有一點M，使以點B，M，C為頂點的三角形與相似，那么．【答案】8或【分析】本題考查相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．由余角的性質(zhì)推出，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩種情況下，分別求出的長，即可得到答案．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，．當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，以點，，為頂點的三角形與相似，那么的長是8或．故答案為：8或．33．（23-24九年級上·河南開封·期末）在中，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、兩點分別從、兩點同時出發(fā)，那么當(dāng)與相似時，的面積是．【答案】或【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)．根據(jù)題意分情況討論并列式即可得到本題答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：設(shè)、兩點的運動時間是s，∴，，∴，∵，①當(dāng)時，，∵，，∴，解得：，∴，，∴的面積是：；②當(dāng)時，，∴，解得：，∴，，∴的面積是：；故答案為∶或．34．（23-24九年級上·河南南陽·期末）在菱形中，，點是對角線BD的中點，點從點出發(fā)沿著邊按由的路徑運動，到達(dá)終點停止，當(dāng)以點、、為頂點的三角形與相似時，則線段的長為．【答案】或【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可計算出的長度，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合，分類討論：當(dāng)點在AD上時；當(dāng)點在CD上時；結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，連接，

∵四邊形是菱形，，∴，，∴，∵點是BD的中點，∴，即，在中，，，則，①如圖所示，當(dāng)點在AD上時，當(dāng)時，∴，則，∴；②如圖所示，當(dāng)點在CD上時，當(dāng)時，

連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，，可得是等邊三角形，∴根據(jù)上述證明可得，點P1是AD的中點，且，∴當(dāng)時，點關(guān)于點P1對稱，∴，∴點為CD的中點，且，∴，即，∴，∴；綜上所述，的長為或，故答案為：或．35．（22-23九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在中，，動點P從點A開始沿著邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿著邊向點C以的速度移動．若P，Q兩點同時開始運動，當(dāng)點P運動到終點B時，點Q也停止運動．在運動過程中，若以B，P，Q為頂點的三角形與相似，則運動時間為．【答案】或【分析】設(shè)點P運動的時間為，則，，再分兩種情況求t的值，一是，則，可列方程；二是，則，可列方程，解方程求出相應(yīng)的t的值即可．【詳解】解：設(shè)點P運動的時間為，則，∴，∵，∴當(dāng)時，，∴，∴，解得；∵，∴當(dāng)時，，∴，∴，解得．綜上所述，運動時間為或．故答案為：或．36．（22-23九年級上·河南開封·期末）如圖，的兩條直角邊，，點D沿從A向B運動，速度是/秒，同時，點E沿從B向C運動，速度為/秒．動點E到達(dá)點C時運動終止連接、、．

(1)若與相似，求動點的運動時間；(2)在運動過程中，當(dāng)時，求動點的運動時間；(3)在運動的過程中，能否為的中位線？說明理由．【答案】(1)秒或秒(2)秒(3)不能，理由見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，熟練掌握知識點，找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）已知是直角三角形，要與其相似，圖中已有一個公共角，所以只需的另外兩個角有一個角是直角，那么與相似．由此對應(yīng)兩種情況：或，需分情況討論分析．然后兩個三角形相似，對應(yīng)邊成比例即可求出運動時間；（2）當(dāng)時，過點作于，證明，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出時間；（3）若若為的中位線，則，則，求出，此時，，故，故不能為的中位線．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得設(shè)經(jīng)過運動時間為t秒時，與相似．則，，，；①當(dāng)，即時，；，即，．②當(dāng)，即時，，，即，．和都符合，

當(dāng)動點運動秒或秒時，與相似；（2）解：如圖，過點E作于F，

設(shè)經(jīng)過運動時間為t秒時，，則，，，；，即，，，，，，，，，，，，，即，（秒）．（3）解：不能，理由如下：如圖，

若為的中位線，則，則，∴，解得：，此時，，∴，∴不可能為的中位線．37．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）如圖1，在中，，點D是上一定點．動點P從C出發(fā)，以的速度沿方向運動，動點Q從D出發(fā)，以的速度沿方向運動．點P出發(fā)后，點Q才開始出發(fā)，且當(dāng)一個點達(dá)到B時，另一個點隨之停止．圖2是當(dāng)時的面積與點P的運動時間的函數(shù)圖象．(1)_______，________；(2)當(dāng)點P在邊上時，t為何值時，使得與為相似？【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了相似的綜合題：熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)；會從函數(shù)圖象中獲取信息；會根據(jù)勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算；提高運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題的能力．（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到當(dāng)點運動到點時，的面積為18，利用三角形面積公式可計算出，則，當(dāng)時，，點在點，作于，在中根據(jù)勾股定理計算出，再證明，利用相似比計算出，然后根據(jù)三角形面積公式得到，即；（2）分類討論：當(dāng)，點在點，，若得到，利用相似比得值；當(dāng)，，當(dāng)時，，利用相似比得值；當(dāng)時，，利用相似比得值；【詳解】（1）解：當(dāng)點運動到點時，的面積為18，∴，解得，，當(dāng)時，，點在點，點在上，如圖1，作于，在中，，，∵，，∴，即，解得，∴，即；故答案為：；（2）解：點在邊上，當(dāng)，點在點，，若，∴，即，解得；當(dāng)，則，當(dāng)時，，如圖2，∵，∴，即，解得，不合題意舍去；當(dāng)時，，如圖3，∵，∴，即，解得，綜上所述，當(dāng)為或時，與為相似．38．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，的兩條直角邊，，點D沿從A向B運動，速度是/秒，同時，點E沿從B向C運動，速度為/秒．動點E到達(dá)點C時運動終止．連接、、．(1)當(dāng)動點運動時間秒時，與相似．(2)在運動過程中，當(dāng)時，為何值？請說明理由．【答案】(1)或(2)當(dāng)時，秒．理由見解析．【分析】（1）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，判斷何時與相似是解決問題的關(guān)鍵．已知是直角三角形，要與其相似，圖中已有一個公共角，所以只需的另外兩個角有一個角是直角，那么與相似．由此對應(yīng)兩種情況：或，需分情況討論分析．然后兩個三角形相似，對應(yīng)邊成比例即可求出運動時間．（2）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，構(gòu)造輔助線，找到三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．當(dāng)時，過點作于，證明，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出時間．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過運動時間為t秒時，與相似．則，，，；1）當(dāng)，即時，；，即，．２）當(dāng)，即時，，，即，．和都符合，當(dāng)動點運動秒或秒時，與相似．故答案為：或．（2）如圖，過點E作于F，設(shè)經(jīng)過運動時間為t秒時，，則，，，；，即，，，，，，，，，，，，，即，（秒）．39．（2024·河南洛陽·一模）如圖，正方形的邊與矩形的邊重合，將正方形以1cm/秒的速度沿方向移動，移動開始前點A與點F重合．已知正方形的邊長為1cm，，，設(shè)正方形移動的時間為x秒，且．

(1)直接填空：cm（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若以G、D、C為頂點的三角形同相似，求x的值；(3)連接，過點A作交于點P，連接．若的面積記為，的面積記為，則的值會發(fā)生變化嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)不會發(fā)生變化，理由見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：（1）根據(jù)，正方形的邊長為1cm，結(jié)合題意，列出式子即可；（2）分兩種情況討論：當(dāng)時和當(dāng)時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可；（3）證明，推出，分別求得和，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，正方形的邊長為1cm，正方形以1cm/秒的速度沿方向移動，移動開始前點A與點F重合．，故答案為：；（2）解：由題意得，，，，當(dāng)時，，，解得：；當(dāng)時，，，解得：，當(dāng)或時，以、、為頂點的三角形同相似．（3）解：結(jié)論：的值不會發(fā)生變化．理由如下：，，又，，，，，，，的值不會發(fā)生變化．40．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖,在矩形ABCD中，，，動點M以的速度從A點出發(fā),沿向點B運動,同時動點N以的速度從點D出發(fā),沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為秒（）．(1)當(dāng)為何值時，的面積等于矩形面積的？(2)是否存在某一時刻,使得以A、M、N為頂點的三角形與相似?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由的面積等于矩形面積的，可得，即可求得或（2）與相似，分為兩種情況討論即可得到或【詳解】（1）由題意可知:，∴∵的面積等于矩形面積的∴解之得:，∴或時，的面積等于矩形面積的（2）存在．理由如下：∵與相似∴分為兩種情況：①當(dāng)時∴，即解得：②當(dāng)時∴，即解得：

綜上所述,當(dāng)或時，以A、M、N為頂點的三角形與相似題型六相似三角形的綜合問題41．（19-20九年級上·河南南陽·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點E是AB邊上一動點，過點E作DE⊥AB交AC邊于點D，將∠A沿直線DE翻折，點A落在線段AB上的F處，連接FC，當(dāng)△BCF為等腰三角形時，AE的長為．【答案】2或或．【分析】由勾股定理求出AB，設(shè)AE=x，則EF=x，BF=10﹣2x；分三種情況討論：①當(dāng)BF=BC時，列出方程，解方程即可；②當(dāng)BF=CF時，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；③當(dāng)CF=BC時，作CG⊥AB于G，則BG=FGBF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【詳解】由翻折變換的性質(zhì)得：AE=EF．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB10．設(shè)AE=x，則EF=x，BF=10﹣2x．分三種情況討論：①當(dāng)BF=BC時，10﹣2x=6，解得：x=2，∴AE=2；②當(dāng)BF=CF時．∵BF=CF，∴∠B=∠FCB．∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，∴∠A=∠FCA，∴AF=FC．∵BF=FC，∴AF=BF，∴x+x=10﹣2x，解得：x，∴AE；③當(dāng)CF=BC時，作CG⊥AB于G，如圖所示：則BG=FGBF．根據(jù)射影定理得：BC2=BG?AB，∴BG，即(10﹣2x)，解得：x，∴AE；綜上所述：當(dāng)△BCF為等腰三角形時，AE的長為：2或或．故答案為：2或或．42．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）在中與中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，點分別是的中點，連接．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點與點重合時，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究當(dāng)點與點不重合時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請說明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的面積的最大值與最小值．【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面積最大值，最小值．【分析】（1）觀察猜想由直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半再結(jié)合30°直角三角形三邊比即可證明；（2）類比探究先證明△BCD∽△ACE，再證明△ACG∽△BCF，可得結(jié)論；（3）問題解決延長BC至H，使BC=CH=1，連接DG，由三角形中位線定理結(jié)合三角形面積公式可求△CFG的面積=，求出DH最小值即可．【詳解】（1）觀察猜想∵在Rt△ABC中與Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，∴BC=1，AB=2，∵點F，G分別是BD，AE的中點，∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，∴∠FCG=90°，∴CF⊥CG，故答案為：CG=CF，CF⊥CG；（2）類比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，∴，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE=∠CBD，∵點F，G分別是BD，AE的中點，∴BF=BD，AG=AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF=∠ACG，∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，∴CF⊥CG；（3）問題解決如圖，延長BC至H，使BC=CH=1，連接DH，∵點F是BD中點，BC=CH=1，∴CF=DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面積=×CF×CG=CF2，∴△CFG的面積=，∴當(dāng)DH取最大值時，△CFG的面積有最大值，當(dāng)DH取最小值時，△CFG的面積有最小值，∵CD=，∴點D在以點C為圓心，為半徑的圓上，∴當(dāng)點D在射線HC的延長線上時，DH有最大值為+1，∴△CFG的面積最大值=，∴當(dāng)點D在射線CH長線上時，DH有最小-1，∴△CFG的面積最小值=．43．（20-21九年級上·河南南陽·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，連接DB，將線段DB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接BE、CE．（1）求的值；（2）求射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)；（3）題設(shè)其它條件不變，若點D是∠BAC平分線上的一個動點，且AB=1，∠DBC=15°，直接寫出線段CE的長．【答案】（1）；（2）射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）CE的長為或【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，證△ABD∽△CBE，求相似比即可；（2）延長AD、CE相交于點F，由相似可知∠BCF=∠BAD=45°，再根據(jù)角平分線和三角形內(nèi)角和求∠F即可；（3）作DF⊥AB，垂足為F，根據(jù)D點在三角形內(nèi)和外分類討論，利用30°角的直角三角形性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論可求EC．【詳解】解：（1）由題意知ΔABC和ΔBDE均為等腰直角三角形．∴，．∠ABC=∠DBE=45°．∴，∵∠ABC=∠DBE=45°．∴∠ABD=∠CBE．∴△ABD∽△CBE．∴．（2）延長AD、CE相交于點F，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵AF平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAF=∠BAC=45°．∵△ABD∽△CBE．∴∠BCF=∠BAD=45°．∠F=180°-∠BCF-∠ACB-∠CAF=45°．射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)為45°．（3）如圖1，作DF⊥AB，垂足為F，∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBA=30°，∴設(shè)DF為x，BD為2x，∴BF=，∵∠BAD=45°，∴DF=AF=x，AD=∵AB=1，∴，解得，，AD=，∵，∴CE=，如圖2，作DF⊥AB，垂足為F，∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBA=60°，∠BDF=30°，∴設(shè)BF為x，BD為2x，∴DF=，∵∠BAD=45°，∴DF=AF=，AD=∵AB=1，∴，解得，，AD=，∵，∴CE=，CE的長為或．44．（20-21九年級上·河南駐馬店·期末）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，在中，，，，點為上一點，且，過點作，填空：________，________；類比探究：（2）如圖2，在（1）的條件下將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，請求出，的值；拓展延伸：（3）如圖3，和同為等邊三角形，且，連接，，將繞（）的中點逆時針自由旋轉(zhuǎn)，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中的最大值．【答案】（1），；（2），；（3）【分析】（1）在中，由勾股定理求出，由，可得，由，截線段成比例，由，分比，即即可（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，由，，可得，由性質(zhì)，，可證，利用性質(zhì)；（3）如圖4，連接，，由點是（）的中點，和同為等邊三角形，可知，可推得，由，，可證，可得，可求，，由三邊關(guān)系可得，，當(dāng)、、三點共線時（如圖5），存在最大值為即可求出．【詳解】解：（1），；解答如下：在中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，故答案為：，；（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）的最大值為；提示如下：如圖4，連接，，∵點是（）的中點，和同為等邊三角形，由三線合一性質(zhì)可知，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴，，在中，由三邊關(guān)系可得，，當(dāng)、、三點共線時（如圖5），存在最大值為，∵，∴當(dāng)存在最大值時，的最大值．45．（20-21九年級上·河南南陽·期末）如圖1，中，，點分別在邊上,,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（），直線相交于點．（1）若，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是_______．（2）若，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．①（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請僅就圖3所示的情況加以證明；否則，請寫出正確結(jié)論，并說明理由．②若,是的中點，當(dāng)以為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出的長．【答案】（1）；（2）①結(jié)論不成立．正確結(jié)論：；理由見解析；②CP的長或.【分析】(1)利用SAS證明△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，由∠CBP+∠ACE+∠ACB=，得到∠BPC=，即BD⊥CE；(2)①根據(jù)DE∥BC，得到，，根據(jù)∠BAD=∠CAE，，證明，得到，利用，得到，證得；②根據(jù)，，，求得AB=，BC=2AB=2，根據(jù)是的中點，DE∥BC，得到AE=，，根據(jù)題意畫出圖形，利用矩形的性質(zhì)及勾股定理計算得出CP的長．【詳解】(1)在中，，，∴∠ACB=，∴AB=AC，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，由旋轉(zhuǎn)得：∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABC+∠ACB=，∴∠CBP+∠ACE+∠ACB=，∴∠BPC=，即BD⊥CE；故答案為：BD=CE，BD⊥CE；(2)結(jié)論不成立.結(jié)論:如圖，∵DE∥BC，∴，∴，，如圖3，∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，，，∴AB=，BC=2AB=2，∵是的中點，DE∥BC，∴AE=，，如圖1，當(dāng)四邊形ADPE是矩形時，則∠ADB=∠ADP=，∵，∴BD=，∵PD=AE=，∴BP=3，∴CP=；如圖2，當(dāng)四邊形ADPE是矩形時，則∠AEP=∠AEC=，∵AE=，∴∠ACE=∠ACB=，∴點E在線段BC上，此時點P與點B重合，∴CP=CB=，綜上，CP的長為或．．46．（20-21九年級上·河南鄭州·期末）在中，，，將繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），得到．（1）如圖①，當(dāng)時，設(shè)與相交于點．求證：是等邊三角形．

圖①（2）如圖②，連接、，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的值是否發(fā)生變化？如果不變，請求出這個值；如果變化，請說明理由．

圖②（3）如圖③，設(shè)中點為，中點為，，連接，當(dāng)______時，長度最大，最大值為______．

圖③【答案】（1）見解析；（2）的值不變，恒為，理由見解析；（3），．【分析】（1）畫出示意圖，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，繼而由三角形內(nèi)角和180°解得，最后根據(jù)等邊三角形的判定方法解題；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，解得繼而證明，最后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例解題即可；（3）由含30°角直角三角形的性質(zhì)，解得，由中點的性質(zhì)，解得，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半解得，接著由三角形三邊關(guān)系得，由此可知當(dāng)，此時最大，據(jù)此解題．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）的值不變，恒為．理由如下：∵，，∴，，∴，，∵，∴∴；

（3）連接，如圖，是的中點，繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，點為的中點，只有當(dāng)點在的延長線上時，，此時最大，如圖，即的最大值為，點為的中點此時，故答案為：，．47．（19-20九年級上·河南周口·期末）在ΔABC中，，是平面內(nèi)不與點重合的任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接是的中點，是的中點．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時，的值是_________，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．（2）類比探究：如圖2，當(dāng)時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，當(dāng)時，若是的中點，點在直線上，且點在同一條直線上，請直接寫出的值．【答案】（1），；（2），30°，見解析；（3）的值是或【分析】（1）如圖1中，連接PC，BD，延長BD交PC于K，交AC于G．證明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理即可解決問題．（2）如圖2，設(shè)MN交AC于F，延長MN交PC于E．證明△ACP∽△AMN，推出∠ACP=∠AMN，可得結(jié)論；（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用三角形中位線定理即可解決問題．【詳解】解：（1），如圖1，連接并延長交于點，交于點，，均是等邊三角形，，，在△PAC和△DAB中，，，，是的中點，是的中點，是的中位線，