2024-2025學年新教材高中數學第七章復數7.2.2復數的乘除運算習題含解析新人教A版必修第二冊

.2.2復數的乘、除運算課后篇鞏固提升基礎達標練1.(2024全國Ⅱ高考)設z=i(2+i),則=()A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i解析z=2i+i2=-1+2i,則=-1-2i.故選D.答案D2.若z=1+2i,則=()A.1 B.-1 C.i D.-i解析=i,故選C.答案C3.(2024全國Ⅲ高考)若z(1+i)=2i,則z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i解析z==1+i.故選D.答案D4.已知復數z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數,則實數a等于()A. B. C.- D.-解析z1=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因為z1是實數,所以4a-3=0,即a=.答案A5.(2024黑龍江哈爾濱高三模擬)設z=+2i,則|z|=()A.0 B. C.1 D.解析z=+2i=+2i=-i+2i=i,則|z|=1,故選C.答案C6.已知復數z滿意=1+i,則在復平面內,復數z對應的點在()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析∵=1+i,∴z-2==-i,∴z=2-i,∴z的對應點為(2,-1).故選D.答案D7.已知復數z=(i是虛數單位),則z2=;|z|=.

解析z==-1-i,∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=.答案2i8.計算:(1)(2-i)(3+i);(2).解(1)(2-i)(3+i)=(7-i)=i.(2)=-2-2i.9.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一個根(b,c為實數).(1)求b,c的值;(2)試推斷x=1-i是否為方程的根.解(1)因為1+i是方程x2+bx+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,于是解得故b的值為-2,c的值為2.(2)由(1)方程可化為x2-2x+2=0,把x=1-i代入方程左邊得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,明顯方程成立,所以x=1-i也是方程的根.實力提升練1.(多選題)設z1,z2是復數,則下列命題中是真命題的是()A.若|z1-z2|=0,則B.若z1=,則=z2C.若|z1|=|z2|,則z1=z2D.若|z1|=|z2|,則解析A,|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?,真命題;B,z1==z2,真命題;C,|z1|=|z2|?|z1|2=|z2|2?z1=z2,真命題;D,當|z1|=|z2|時,可取z1=1,z2=i,明顯=1,=-1,即,假命題.答案ABC2.(2024河南開封測試)若復數z=,其中i為虛數單位,則下列結論正確的是()A.z的虛部為-i B.|z|=2C.z的共軛復數為-1-i D.z2為純虛數解析z==1-i.z的虛部為-1,A錯誤;|z|=,B錯誤;=1+i,C錯誤;z2=(1-i)2=-2i,為純虛數,D正確.答案D3.若復數z=為純虛數(a∈R,i為虛數單位),則復數z+1+i的虛部為()A.2i B.2 C.3i D.3解析∵為純虛數,∴=0且≠0,解得a=1,∴z=i,∴z+1+i=1+2i,其虛部為2.故選B.答案B4.關于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有實數根,則實數a的值等于.

解析設方程的實數根為x=m,則原方程可變?yōu)?m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得a=11或-.答案11或-5.已知復數z滿意(1+2i)=4+3i.(1)求復數z;(2)若復數(z+ai)2在復平面上對應的點在第一象限,求實數a的取值范圍.解∵(1+2i)=4+3i,∴=2-i.∴z=2+i.(2)(z+ai)2=(2+i+ai)2=4-(a+1)2+4(a+1)i,∵復數(z+ai)2在復平面上對應的點在第一象限,∴解得-1<a<1,即實數a的取值范圍為(-1,1).6.已知復數z=2+i(i是虛數單位)是關于x的實系數方程x2+px+q=0的根.(1)求p+q的值;(2)復數w滿意zw是實數,且|w|=2,求復數w的值.解(1)關于x的實系數方程x2+px+q=0的虛根是互為共軛復數的,所以它的另一根是2-i,依據根與系數的關系可得p=-4,q=5,p+q=1.(2)設w=a+bi(a,b∈R).由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0.又|w|=2,則a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.素養(yǎng)培優(yōu)練設z是虛數,ω=z+是實數,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;(2)設u=,證明u為純虛數.(1)解因為z是虛數,所以可設z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x+i.因為ω是實數且y≠0,所以y-=0,所以x2+y2=1,即|z|=1.此時ω=2x