廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高二期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19小題，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合并集的定義直接得到結(jié)果.【詳解】.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義得出對(duì)應(yīng)不等式即可得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，解得．故選：A3.在梯形中，滿足，則（）A.4 B.6 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算得，然后由計(jì)算．【詳解】∵，∴，，故選：C．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)兩角和的余弦公式求出，再將平方結(jié)合平方關(guān)系化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，即，即，即，所以.故選：C.5.圓臺(tái)的高為2，體積為，兩底面圓的半徑比為，則母線和軸的夾角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求出圓臺(tái)的上下底半徑，再求母線和軸的夾角的正切值.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，則下底半徑為，由題意：.所以圓臺(tái)母線和軸的夾角的正切值為：.故選：B6.已知球的半徑為，是球表面上的定點(diǎn)，是球表面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題設(shè)可得，在線段取點(diǎn)，使，從而得線段軌跡為圓錐的側(cè)面，即可求解.【詳解】如圖，以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榍虻陌霃綖?，則，設(shè)，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線段取點(diǎn)，使，所以線段軌跡為圓錐的側(cè)面，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，所以線段軌跡的面積為，故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，則在上的投影向量為.故選：C8.已知兩個(gè)不同的圓，均過定點(diǎn)，且圓，均與軸、軸相切，則圓與圓的半徑之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按點(diǎn)的位置分不在坐標(biāo)軸與在坐標(biāo)軸上兩種情況討論，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)在圓上，以及方程根的情況綜合分析的值即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，圓，的方程為的形式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于的方程，圓，的半徑，是該方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以，同理，當(dāng)點(diǎn)在第二、三、四象限時(shí)也可得．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，此時(shí)圓，的圓心分別位于第一、二象限（或第三、四象限），兩圓在點(diǎn)處相切，且，滿足．同理，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，同樣滿足．故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中圓心為，半徑為.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法不正確的是（）A.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使B.若定義域?yàn)?，則的定義域是C.命題p：，，則，D.“集合中只有一個(gè)元素”是“”的必要不充分條件【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)求解范圍判斷A，根據(jù)抽象函數(shù)定義域法則求解判斷B，根據(jù)全稱量詞命題的否定求解判斷C，根據(jù)集合只有一個(gè)元素得只有一根，分類討論求解其充要條件即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，則，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，即，所以?duì)于，，解得，所以的定義域是，故B不正確；對(duì)于C，命題p：，，則，，故C不正確；對(duì)于D，若集合中只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，即，綜上或，所以必要性成立，故D正確；故選：ABC10.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，設(shè)隨機(jī)變量．記A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，則（）A.和互為對(duì)立事件 B.事件和不互斥C.事件和相互獨(dú)立 D.事件和相互獨(dú)立【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由對(duì)立事件的定義分析A，由互斥事件的定義分析B，由相互獨(dú)立事件的定義分析CD，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，表示事件“”，即前兩次拋擲中，一次正面，一次反面，則，表示事件“”，即第二次拋擲中，正面向上，則，表示事件“”，即前三次拋擲中，一次正面，兩次反面，，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，事件、可能同時(shí)發(fā)生，則事件、不是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件、可能同時(shí)發(fā)生，則事件和不互斥，B正確；對(duì)于C，事件，即前兩次拋擲中，第一次反面，第二次正面，，由于，則事件和相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D，事件，即三次拋擲中，第一次和第三次反面，第二次正面，，，事件、不是相互獨(dú)立事件，D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.取值范圍是B.當(dāng)點(diǎn)A，B，P，Q不共線時(shí)，面積的最大值為6C.當(dāng)直線l斜率時(shí)，AB平分D.最大值為【答案】ACD【解析】【分析】分析可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對(duì)于A：根據(jù)圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于B：設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，即可得面積最大值；對(duì)于C：利用韋達(dá)定理可得，進(jìn)而分析角度關(guān)系即可；對(duì)于D：根據(jù)AB平分，結(jié)合切線分析求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，即，整理可得，可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋芍c(diǎn)B在曲線C內(nèi)，且直線l與曲線C必相交，且，則的最大值為，最小值為，所以取值范圍是，故A正確；設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則.對(duì)于選項(xiàng)B：可得，令，則，可得，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，即，則，可得的面積，所以面積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，又因?yàn)?，則，即，可知，所以AB平分，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)锳B平分，則，可知當(dāng)與曲線C相切時(shí)，取到最大值，此時(shí)，且為銳角，則，即的最大值為，則的最大值為，所以最大值為，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式分析可知曲線C是以為圓心，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，若，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】由同角的三角函數(shù)，二倍角的正余弦、兩角差的正弦展開式計(jì)算即可；【詳解】，若，，，，，．故答案為：.13.已知三棱臺(tái)上、下底面均為正三角形，且平面平面，，為的中點(diǎn)，則直線與夾角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】因?yàn)椋灾本€與的夾角即為直線與的夾角，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，確定的大小，結(jié)合余弦定理即可得夾角余弦值.【詳解】如圖所示，因?yàn)椋灾本€與的夾角即為直線與的夾角，取的中點(diǎn)為，由題知和為等邊三角形，則，又，則也是等邊三角形，故，設(shè)為在平面上的投影，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又平面，所以平面，則，且，故四邊形為矩形，故，且，則，又，所以，則，又，所以，又，則，所以在中，由余弦定理得，所以直線與夾角的余弦值為．故答案為：．14.點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得過點(diǎn)的切線斜率，即可得到直線方程，再由兩平行直線間的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得圓的圓心，半徑為，則，所以過的切線斜率為，所以直線的方程為，即，又直線與直線平行，所以，則與之間的距離是.故答案為：.15.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合已知求出之間的關(guān)系，再利用余弦定理即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】，由余弦定理可得，，又，，，，即，.16.已知圓過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先設(shè)圓的一般方程為，結(jié)合題意有，解出D，E，F(xiàn)值，代入即可求得圓的一般方程；（2）根據(jù)題意，分類討論，斜率存在和斜率不存在兩種情況：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式求得的值，即可得到直線的方程，再綜合在這兩種情況即可．【小問1詳解】設(shè)圓的一般方程為，圓心，根據(jù)題意有，解得，故所求圓的一般方程為，【小問2詳解】如圖所示，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，則，，又，∴在中，得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意，此時(shí)方程為．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，此時(shí)直線的方程為．綜上，所求直線的方程為或．17.課外閱讀對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣、拓寬知識(shí)視野、提高閱讀能力具有重要作用．某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生，調(diào)查他們?cè)诤倨陂g每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)均不超過100分鐘．時(shí)長(zhǎng)學(xué)生人數(shù)5010020012525（1）估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在和的兩組中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在的概率．【答案】（1）49；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布表估算平均數(shù)即可得解.（2）求出兩個(gè)指定區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用列舉法求出概率.【小問1詳解】依題意，樣本中500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)，所以估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為49．【小問2詳解】抽取的6人中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)有：人，在內(nèi)有4人，記內(nèi)的2人為A，B，記內(nèi)的4人為，從這6人中隨機(jī)選2人基本事件有：，共15種，其中至少有一人每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在的基本事件有，共9種，設(shè)“選取的2人中至少有一人每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在”，則．18.如圖，三棱錐中，平面，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連，利用三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.（2）根據(jù)給定條件，作出三棱錐底面上的高，利用幾何法求出線面角的正弦.【小問1詳解】連，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】設(shè)，由平面，平面，得，則，取中點(diǎn)，則，又平面，則平面，又平面，于是平面平面，又平面面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，于是平面，連，則為直線與平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值.19.已知為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直