2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營第1節(jié)-平面向量的概念及線性運(yùn)算

第五單元第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算2023屆1《高考特訓(xùn)營》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.理解平面向量的意義與兩個(gè)向量相等的含義及向量的幾何表示和基本要素.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義1.平面向量的有關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2.平面向量的線性運(yùn)算3.共線向量定理的應(yīng)用0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

方向長度模00

1個(gè)單位相同相反平行相等相同相等相反

b＋aa＋(b＋c)

(－b)(λμ)a

λa＋μaλa＋λb[思考]

向量加法與減法的運(yùn)算法則如何快速記憶？(1)加法三角形法則：首尾接，首尾連．(2)加法平行四邊形法則：共起點(diǎn)，對(duì)角線．(3)減法三角形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減．[探究]

三角形加法法則的推論是什么？提示：多個(gè)向量相加，利用三角形法則，應(yīng)首尾順次連接，a＋b＋c表示從始點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量，只關(guān)心始點(diǎn)、終點(diǎn)．

1．[知識(shí)外延]向量加、減法的幾何意義(1)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)(a，b不共線)的幾何意義是“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于它的四條邊的平方和”．(2)已知共起點(diǎn)的向量a，b，若|a－b|＝|a＋b|，則以向量a，b為鄰邊形成的四邊形為矩形．【例1】設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(

)A．a(chǎn)⊥b

B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|A法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0，∴a⊥b.(3)向量模的三角不等式：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|【例2】若非零向量a和b滿足|a＋b|＝|b|＝2，則|a|的取值范圍是________，

|a－b|的取值范圍是________．答案：(0，4]

[2，6]解析：(1)因?yàn)閨|a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又a≠0，所以|a|的取值范圍是(0，4]．(2)因?yàn)閨a－b|＋|a＋b|≥2|b|＝|(a＋b)－(a－b)|≥||a－b|－|a＋b||，所以－4≤|a－b|－|a＋b|≤4，|a－b|＋|a＋b|≥4，又|a＋b|＝2，解得|a－b|的取值范是[2，6]．

答案：100

A1．[易錯(cuò)診斷](1)對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要條件．【易錯(cuò)點(diǎn)撥】對(duì)向量共線定理的條件把握不準(zhǔn)確致誤．A(2)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的取值范圍為________．答案：[2，6]解析：當(dāng)a與b方向相同時(shí)，|a－b|＝2；當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a－b|＝6；當(dāng)a與b不共線時(shí)，2＜|a－b|<6.所以|a－b|的取值范圍為[2，6]．此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種情況．【易錯(cuò)點(diǎn)撥】對(duì)于向量加減法的幾何意義(向量三角不等式)認(rèn)識(shí)不清致誤．

ABD

C4．[真題體驗(yàn)](2020·全國Ⅰ卷)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝________．解析：由單位向量概念及向量加法、減法的幾何意義可得，向量a，b，a＋b構(gòu)成等邊三角形，又a－b與a＋b互相垂直且平分(如圖)，02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3

特訓(xùn)點(diǎn)1平面向量的有關(guān)概念【自主沖關(guān)類】C

2．(多選題)給出下列命題，不正確的有(

)A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線ACD解析：A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；C錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；D錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．故選ACD.3．設(shè)a0為單位向量，下列命題中為假命題的是________．①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0同向平行且|a|＝1，則a＝a0.答案：①②解析：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②也是假命題．[錦囊·妙法]平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．

特訓(xùn)點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算【多維考向類】A

向量線性運(yùn)算的技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解，共起點(diǎn)的向量求和一般用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．

B

利用向量線性運(yùn)算求解參數(shù)的思路：(1)先利用向量的線性運(yùn)算得到相關(guān)的線性表示；(2)對(duì)比向量等式求出參數(shù)或建立方程(組)求解．典例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解題指導(dǎo)]特訓(xùn)點(diǎn)3共線向量定理的應(yīng)用【師生共研類】

(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，

2．(變條件)若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則實(shí)數(shù)k為何值？解：因?yàn)閗a＋b與a＋k