北京四中入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

北京四中入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.在下列各數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}$

2.已知方程$2x^2-4x+2=0$，其判別式$\Delta$等于（）

A.$-4$

B.$0$

C.$4$

D.$8$

3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，則$S_{2n}-S_n$等于（）

A.$n\timesa_1$

B.$n\timesa_n$

C.$n\times(a_1+a_n)$

D.$n\times(a_1+a_2)$

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.$(-3,2)$

B.$(3,-2)$

C.$(-2,3)$

D.$(2,-3)$

5.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=x^4$

6.在下列各對(duì)數(shù)式中，正確的是（）

A.$log_28=3$

B.$log_216=2$

C.$log_24=3$

D.$log_22=1$

7.已知$a^2+b^2=10$，則$a^4+b^4$的最大值為（）

A.$30$

B.$40$

C.$50$

D.$60$

8.在三角形ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若$a^2+b^2=c^2$，則角A的度數(shù)為（）

A.$30^\circ$

B.$45^\circ$

C.$60^\circ$

D.$90^\circ$

9.在下列各數(shù)中，屬于實(shí)數(shù)的是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}$

10.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=x^4$

二、判斷題

1.按照勾股定理，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。（）

2.若一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)必須恒等于0。（）

3.在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)的差都等于首項(xiàng)和末項(xiàng)的差除以項(xiàng)數(shù)減1。（）

4.在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)之間的距離可以用兩點(diǎn)坐標(biāo)差的平方和的平方根表示。（）

5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口方向只與系數(shù)a的正負(fù)有關(guān)。（）

三、填空題

1.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n-2$，則該數(shù)列的第5項(xiàng)$a_5$等于__________。

2.如果直角三角形的兩個(gè)銳角分別為$30^\circ$和$60^\circ$，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長度是底邊長度的__________倍。

3.函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$等于__________。

4.在復(fù)數(shù)域中，如果$z^2=1$，則復(fù)數(shù)$z$的可能取值為__________。

5.對(duì)于不等式$x^2-5x+6<0$，不等式的解集為__________。

四、簡答題

1.簡述二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)的開口方向、系數(shù)之間的關(guān)系。

2.請(qǐng)說明等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并給出一個(gè)例子說明。

3.如何判斷一個(gè)有理數(shù)是無理數(shù)？請(qǐng)舉例說明。

4.在平面直角坐標(biāo)系中，如何根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩點(diǎn)之間的距離？

5.簡要介紹解一元二次方程的幾種方法，并說明各自適用的條件。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列表達(dá)式的值：$\frac{3x^2-2x+1}{x-1}+\frac{2x^2+x-1}{x+1}$，其中$x=2$。

2.解一元二次方程$x^2-6x+9=0$，并寫出解的過程。

3.求等差數(shù)列$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和，已知$a_1=3$，公差$d=2$。

4.計(jì)算復(fù)數(shù)$z=3+4i$的模，并寫出計(jì)算過程。

5.一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為$30^\circ$和$60^\circ$，求這個(gè)三角形的周長，并寫出計(jì)算過程。

六、案例分析題

1.案例分析題：某學(xué)校組織了一次數(shù)學(xué)競賽，共有100名學(xué)生參加。已知參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?0分，方差為100。請(qǐng)分析以下情況：

（1）請(qǐng)計(jì)算參賽學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）假設(shè)該校有一名學(xué)生成績?yōu)?0分，他是否是這次競賽中的高分選手？請(qǐng)根據(jù)平均成績和方差進(jìn)行分析。

2.案例分析題：某班級(jí)有30名學(xué)生，其中男女生比例約為3:2。在一次數(shù)學(xué)考試中，男生平均分為85分，女生平均分為75分。請(qǐng)分析以下情況：

（1）請(qǐng)計(jì)算該班級(jí)數(shù)學(xué)考試的平均分。

（2）若該校計(jì)劃選拔優(yōu)秀學(xué)生參加全市數(shù)學(xué)競賽，選拔標(biāo)準(zhǔn)為平均分達(dá)到80分。請(qǐng)根據(jù)現(xiàn)有情況，分析該班級(jí)有多少名學(xué)生有資格參加競賽。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，計(jì)劃每天生產(chǎn)20件。已知生產(chǎn)第一批產(chǎn)品時(shí)，由于技術(shù)問題，實(shí)際每天只能生產(chǎn)18件。后來技術(shù)改進(jìn)，每天可以穩(wěn)定生產(chǎn)22件。如果要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，請(qǐng)問需要多少天才能完成生產(chǎn)？

2.應(yīng)用題：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為10cm、8cm和6cm。請(qǐng)計(jì)算這個(gè)長方體的表面積和體積。

3.應(yīng)用題：某市居民用水量按季度收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水量不超過15噸的部分，每噸2.5元；超過15噸的部分，每噸3.5元。一個(gè)居民戶第一季度用水量為40噸，請(qǐng)問該居民戶第一季度應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？

4.應(yīng)用題：一家公司在網(wǎng)上銷售產(chǎn)品，銷售策略是：購買超過10件的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品可享受8折優(yōu)惠。某顧客購買了一種產(chǎn)品，實(shí)際支付了180元。請(qǐng)問該顧客購買了多少件產(chǎn)品？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.C

2.B

3.C

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.D

10.B

二、判斷題

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.$a_5=11$

2.2

3.$f'(x)=6x^2-6x$

4.$z=\pmi$

5.解集為$3<x<4$

四、簡答題

1.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，當(dāng)$a>0$時(shí)，圖像開口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，圖像開口向下。

2.等差數(shù)列是指數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)之差都相等的數(shù)列，例如：1,3,5,7,9...。等比數(shù)列是指數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)之比都相等的數(shù)列，例如：2,4,8,16,32...。

3.有理數(shù)是可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，無理數(shù)是不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。例如：$\sqrt{2}$是無理數(shù)，因?yàn)樗荒鼙硎緸閮蓚€(gè)整數(shù)的比。

4.任意兩點(diǎn)$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之間的距離為$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。

5.解一元二次方程的方法有公式法、配方法和因式分解法。公式法適用于方程形式為$ax^2+bx+c=0$的情況，配方法適用于方程可以化為$(x+p)^2=q$的情況，因式分解法適用于方程可以分解為$(x-p)(x-q)=0$的情況。

五、計(jì)算題

1.$\frac{3x^2-2x+1}{x-1}+\frac{2x^2+x-1}{x+1}=\frac{(3x^2-2x+1)(x+1)+(2x^2+x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{5x^2+2}{x^2-1}=5$，當(dāng)$x=2$時(shí)，代入得$5$。

2.方程$x^2-6x+9=0$可以因式分解為$(x-3)^2=0$，所以$x=3$。

3.等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為$S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+(10-1)d)=5(2\times3+9\times2)=5\times24=120$。

4.復(fù)數(shù)$z=3+4i$的模為$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。

5.30°角的直角三角形中，斜邊是直角邊的$\sqrt{3}$倍，60°角的直角三角形中，斜邊是直角邊的2倍。設(shè)30°角的直角三角形的斜邊為2c，60°角的直角三角形的斜邊為c，則周長為$2c+c+c=4c$。

六、案例分析題

1.（1）標(biāo)準(zhǔn)差為$\sqrt{\frac{100}{100}}=1$。

（2）90分高于平均成績80分，但考慮到方差較大，不能簡單地判斷該學(xué)生是高分選手。

2.（1）班級(jí)平均分為$\frac{30\times85+60\times75}{30}=80$。

（2）80分以上的學(xué)生有$30\times\frac{80-75}{85-75}+60=12$，所以有12名學(xué)生