材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定性的概念講義教材

1第九章壓桿穩(wěn)定§9-1

壓桿穩(wěn)定性的概念§9-2

細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式§9-3

不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式·壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)§9-4

歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖§9-5

實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)§9-6

壓桿的穩(wěn)定計(jì)算·壓桿的合理截面2§9-1

壓桿穩(wěn)定性的概念實(shí)際的受壓桿件

實(shí)際的受壓桿件由于:其軸線并非理想的直線而存在初彎曲，2.作用于桿上的軸向壓力有“偶然”偏心，3.材料性質(zhì)并非絕對(duì)均勻，因此在軸向壓力作用下會(huì)發(fā)生彎曲變形，且由此引起的側(cè)向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。第九章壓桿穩(wěn)定3

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的壓桿(大柔度壓桿)，最終會(huì)因?yàn)閺椥缘膫?cè)向位移過大而喪失承載能力；對(duì)于中等細(xì)長(zhǎng)的壓桿(中等柔度壓桿)則當(dāng)側(cè)向位移增大到一定程度時(shí)會(huì)在彎－壓組合變形下發(fā)生強(qiáng)度破壞(壓潰)。

對(duì)于實(shí)際細(xì)長(zhǎng)壓桿的上述力學(xué)行為，如果把初彎曲和材質(zhì)不均勻的影響都?xì)w入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿受偏心壓力作用這一力學(xué)模型來研究。第九章壓桿穩(wěn)定5

按照這一思路求得的細(xì)長(zhǎng)壓桿在不同偏心距e時(shí)偏心壓力F與最大側(cè)向位移d的關(guān)系曲線如圖b所示。第九章壓桿穩(wěn)定(b)

由圖可見雖然偶然偏心的程度不同(e3>e2>e1)，但該細(xì)長(zhǎng)壓桿喪失承載能力時(shí)偏心壓力Fcr卻相同。其它桿端約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的F－d關(guān)系曲線其特點(diǎn)與圖b相同。6抽象的細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿

由圖b可知，當(dāng)偶然偏心的偏心距e→0時(shí)，細(xì)長(zhǎng)壓桿的F-d關(guān)系曲線就逼近折線OAB，而如果把細(xì)長(zhǎng)壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料絕對(duì)均勻的理想中心壓桿，則它的F-d關(guān)系曲線將是折線OAB。第九章壓桿穩(wěn)定7

由此引出了關(guān)于壓桿失穩(wěn)(buckling)這一抽象的概念：當(dāng)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時(shí)，桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)F＝Fcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡(d＝0)，也可以在微彎狀態(tài)下保持平衡，也就是說F＝Fcr時(shí)理想中心壓桿的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，壓桿在軸向壓力Fcr作用下會(huì)喪失原有的直線平衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)。Fcr則是壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的臨界力(criticalforce)。第九章壓桿穩(wěn)定8

從另一個(gè)角度來看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力。

顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實(shí)際壓桿的一種抽象。第九章壓桿穩(wěn)定9細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿失穩(wěn)現(xiàn)象第九章壓桿穩(wěn)定10壓桿的截面形式及支端約束

壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關(guān)，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應(yīng)盡可能大；圖a為鋼桁架橋上弦桿(壓桿)的橫截面，圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止桿端轉(zhuǎn)動(dòng)。第九章壓桿穩(wěn)定11§9-2細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式

本節(jié)以兩端球形鉸支(簡(jiǎn)稱兩端鉸支)的細(xì)長(zhǎng)中心受壓桿件(圖a)為例，按照對(duì)于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力這一概念，來導(dǎo)出求臨界力的歐拉(L.Euler)公式。第九章壓桿穩(wěn)定(a)12

在圖a所示微彎狀態(tài)下，兩端鉸支壓桿任意x截面的撓度(側(cè)向位移)為w，該截面上的彎矩為M(x)=Fcrw（圖b）。桿的撓曲線近似微分方程為第九章壓桿穩(wěn)定(b)(a)上式中負(fù)號(hào)是由于在圖示坐標(biāo)中，對(duì)應(yīng)于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率為負(fù)的緣故。13令k2=Fcr

/EI，將撓曲線近似微分方程(a)改寫成該二階常系數(shù)線性微分方程(b)的通解為(b)(c)第九章壓桿穩(wěn)定此式中有未知量A和B以及隱含有Fcr的k，但現(xiàn)在能夠利用的邊界條件只有兩個(gè)，即x=0，w=0和x=l，w=0，顯然這不可能求出全部三個(gè)未知量。這種不確定性是由F=Fcr時(shí)桿可在任意微彎狀態(tài)下(d可為任意微小值)保持平衡這個(gè)抽象概念所決定的。事實(shí)上，對(duì)于所研究的問題來說只要能從(c)式求出與臨界力相關(guān)的未知常數(shù)k就可以了。14

將邊界條件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根據(jù)(c)式并利用邊界條件x=l，w=0得到第九章壓桿穩(wěn)定(c)(a)注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否則(c)式將成為w≡0而壓桿不能保持微彎狀態(tài)，也就是桿并未達(dá)到臨界狀態(tài)。由此可知，欲使(c)成立，則必須sinkl=015滿足此條件的kl為或即

由于意味著臨界力Fcr

＝0，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實(shí)情況。在kl≠0的解中，最小解kl＝p相應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的臨界力。第九章壓桿穩(wěn)定由kl＝p有亦即16從而得到求兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式：

此時(shí)桿的撓曲線方程可如下導(dǎo)出。前已求得B=0，且取kl＝p，以此代入式(c)得第九章壓桿穩(wěn)定注意到當(dāng)x=l/2時(shí)w=d，故有A=d。從而知，對(duì)應(yīng)于kl＝p，亦即對(duì)應(yīng)于Fcr=p2EI/l2，撓曲線方程為可見此時(shí)的撓曲線為半波正弦曲線。17

思考：在上述推導(dǎo)中若取kl＝2p，試問相應(yīng)的臨界力是取kl＝p時(shí)的多少倍？該臨界力所對(duì)應(yīng)的撓曲線方程和撓曲線形狀又是怎樣的？第九章壓桿穩(wěn)定

壓桿除兩端鉸支外，還有其它各種不同支座情況，可由撓曲線近似微分方程及邊界條件求得，也可利用撓曲線相似的特點(diǎn)，以兩端鉸支為基本形式推廣而得。一端固定一端自由壓桿§9-3不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式·壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)由變形圖其臨界壓力為

可見，一端固定一端自由且長(zhǎng)為l的壓桿的撓曲線與兩端鉸支、長(zhǎng)為2l的壓桿的撓曲線的上半部分完全相同。一端固定一端鉸支壓桿撓曲線有一拐點(diǎn)C，且拐點(diǎn)在距鉸支端約為0.7l處，故有兩端固支壓桿距上、下兩端各為l/4處各有一個(gè)拐點(diǎn)，這兩點(diǎn)處的彎矩等于零。故有0.50.721.0臨界壓力公式壓桿簡(jiǎn)圖兩端固定一端固定一端鉸支一端固定一端自由兩端鉸支支座情況22

表9-1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式：式中，m稱為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)，它與桿端約束情況有關(guān)；ml稱為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度(equivalentlength)，它表示某種桿端約束情況下幾何長(zhǎng)度為l的壓桿，其臨界力相當(dāng)于長(zhǎng)度為ml的兩端鉸支壓桿的臨界力。表9-1的圖中從幾何意義上標(biāo)出了各種桿端約束情況下的相當(dāng)長(zhǎng)度ml。第九章壓桿穩(wěn)定23

運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意：當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)相同時(shí)(例如球形鉸)，歐拉公式中的

I應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩

Imin。當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面相對(duì)應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷第九章壓桿穩(wěn)定24對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者。第九章壓桿穩(wěn)定xyz軸銷25

思考：圖a，b所示細(xì)長(zhǎng)中心壓桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但圖a所示桿的基礎(chǔ)置于彈性地基上，圖b所示桿的基礎(chǔ)則置于剛性地基上。試問兩壓桿的臨界力是否均為？為什么？并由此判斷壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)m是否可能大于2。第九章壓桿穩(wěn)定26

例題9-1

試推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面，亦即桿最容易發(fā)生彎曲的平面。第九章壓桿穩(wěn)定27

解：根據(jù)該壓桿失穩(wěn)后符合桿端約束條件的撓曲線的大致形狀可知，任意x橫截面上的彎矩為桿的撓曲線近似微分方程則為這里，等號(hào)右邊取正號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于正值的(d-w)，亦為正。將上式改寫為第九章壓桿穩(wěn)定28并令有此微分方程的通解為從而亦有

根據(jù)邊界條件x=0，w

=0得Ak=0；注意到不會(huì)等于零，故知A＝0，從而有w＝Bcoskx+d。再利用邊界條件x=0，w=0得B=-d。于是此壓桿的撓曲線方程成為第九章壓桿穩(wěn)定29至此仍未得到可以確定隱含F(xiàn)cr的未知量k的條件。為此，利用x=l時(shí)w=d這一關(guān)系，從而得出從式(a)可知d不可能等于零，否則w將恒等于零，故上式中只能coskl=0。滿足此條件的kl的最小值為kl=p/2，亦即從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：(b)亦即第九章壓桿穩(wěn)定30

以kl=p/2亦即k=p/(2l)代入式(a)便得到此壓桿對(duì)應(yīng)于式(b)所示臨界力的撓曲線方程：第九章壓桿穩(wěn)定31

例題9-2

試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求該壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。第九章壓桿穩(wěn)定(a)32

解：1.在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)需要注意，在符合桿端約束條件的微彎狀態(tài)下，支座處除軸向約束力外還有無橫向約束力和約束力偶矩。

在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)這是很重要的一步，如果在這一步中發(fā)生錯(cuò)誤，那么得到的結(jié)果將必定是錯(cuò)誤的。第九章壓桿穩(wěn)定(b)

圖b示出了該壓桿可能的微彎狀態(tài)，與此相對(duì)應(yīng)，B處應(yīng)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的約束力偶矩MB，并且根據(jù)整個(gè)桿的平衡條件ΣMB

＝0可知，桿的上端必有向右的水平約束力Fy；從而亦知桿的下端有向左的水平約束力Fy

。332.桿的任意x截面上的彎矩為從而有撓曲線近似微分方程：上式等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于正值的w，為負(fù)而加的。第九章壓桿穩(wěn)定(b)34令k2=Fcr

/EI，將上式改寫為亦即第九章壓桿穩(wěn)定此微分方程的通解為從而亦有式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。35

對(duì)于此桿共有三個(gè)邊界條件。由邊界條件x=0，w

=0得A=Fy/(kFcr)。又由邊界條件x=0，w=0得B=-Fyl/Fcr。將以上A和B的表達(dá)式代入式(a)有第九章壓桿穩(wěn)定(a)再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得36由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得

滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即，從而得到此壓桿求臨界力的歐拉公式：亦即第九章壓桿穩(wěn)定373.將kl=4.49，亦即k=4.49/l代入式(c)即得此壓桿對(duì)應(yīng)于上列臨界力的撓曲線方程：利用此方程還可以進(jìn)一步求得該壓桿在上列臨界力作用下?lián)锨€上的拐點(diǎn)在x=0.3l處(圖b)。第九章壓桿穩(wěn)定(b)1臨界應(yīng)力

壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，近似認(rèn)為壓桿橫截面上的軸向正應(yīng)力臨界壓力Fcr與壓桿的橫截面面積A之比，該正應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力，以表示。即式中，i為截面的慣性半徑，是一個(gè)與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量?！?-4

歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖則令則稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比

。為歐拉公式的另一種形式，

2歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是根據(jù)壓桿撓曲線的近似微分方程

導(dǎo)出的。所以，歐拉公式只能在應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)才適用，即

或

令

則歐拉公式的適用范圍可表示為

滿足

的壓桿稱為大柔度桿。

3臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式

工程中除細(xì)長(zhǎng)壓桿外，還有很多柔度小于的壓桿，它們受壓時(shí)也會(huì)發(fā)生失穩(wěn)。式中，a和b是與材料性質(zhì)相關(guān)的常數(shù)。時(shí)，一般采用經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)其中若是脆性材料通常把柔度的壓桿稱為小柔度桿，的壓桿稱為中柔度桿。如圖，對(duì)于小柔度壓桿，按強(qiáng)度問題計(jì)算，圖中為水平線AB；對(duì)于大柔度壓桿，按歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力，圖中為曲線CD；對(duì)于中柔度桿，按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力，圖中為斜直線BC。例題分析例8.1試求圖示三種不同桿端約束壓桿的臨界壓力。材料為Q235鋼，E=200GPa，l=300mm，b=12mm，h=20mm。先求橫截面的最小慣性半徑

解：（1）一端固定、一端自由的壓桿，Q235鋼，故長(zhǎng)度系數(shù)（2）兩端鉸支的壓桿，Q235鋼，故長(zhǎng)度系數(shù)（3）兩端固定的壓桿，屬小柔度桿，應(yīng)按強(qiáng)度問題計(jì)算，即長(zhǎng)度系數(shù)例8.2工字型發(fā)動(dòng)機(jī)連桿，尺寸如圖，材料為45號(hào)優(yōu)質(zhì)碳鋼，求連桿的臨界壓力。解：在xy平面，即運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)，簡(jiǎn)化如圖，

長(zhǎng)度系數(shù)在xz平面，簡(jiǎn)化如圖，

長(zhǎng)度系數(shù)（1）計(jì)算連桿的柔度連桿在xy平面內(nèi)的柔度連桿在xz平面內(nèi)的柔度故連桿在xy平面內(nèi)容易失穩(wěn)。（2）計(jì)算連桿材料的查表得優(yōu)質(zhì)碳鋼的a=461MPa,b=2.58MPa,于是故例8.3圖示結(jié)構(gòu)，AB為圓截面桿，直徑d=80mm，BC為正方形截面桿，邊長(zhǎng)a=80mm?？筛髯元?dú)立變形，材料均為Q235鋼，E=210GPa。已知l=2m，若規(guī)定工作載荷不得超過臨界壓力的一半，求該結(jié)構(gòu)所能承受的最大載荷。（1）AB桿，一端固定、一端鉸支，（2）BC桿，兩端鉸支，解：可見AB桿的柔度大，AB桿的臨界壓力就是整個(gè)結(jié)構(gòu)的臨界壓力，由歐拉公式計(jì)算AB桿的臨界壓力，有故AB桿最大工作載荷為結(jié)構(gòu)的最大工作載荷即55§9-4

歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖Ⅰ.歐拉公式應(yīng)用范圍

在推導(dǎo)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式時(shí)，應(yīng)用了材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應(yīng)用于壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過材料的比例極限sp的情況。

按照抽象的概念，細(xì)長(zhǎng)中心壓桿在臨界力Fcr作用時(shí)可在直線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡，故其時(shí)橫截面上的應(yīng)力可按scr＝Fcr/A來計(jì)算，亦即第九章壓桿穩(wěn)定56式中，scr稱為臨界應(yīng)力；為壓桿橫截面對(duì)于失穩(wěn)時(shí)繞以轉(zhuǎn)動(dòng)的形心主慣性軸的慣性半徑；ml/i為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比(slenderness)或柔度，記作l，即

根據(jù)歐拉公式只可應(yīng)用于scr≤sp的條件，由式(a)知該應(yīng)用條件就是亦即或?qū)懽鞯诰耪聣簵U穩(wěn)定57可見就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔度。對(duì)于Q235鋼，按照

E＝206GPa，sp

＝200MPa，有

通常把l≥lp的壓桿，亦即能夠應(yīng)用歐拉公式求臨界力Fcr的壓桿，稱為大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿，而把l<lp的壓桿，亦即不能應(yīng)用歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓桿。第九章壓桿穩(wěn)定58

圖中用實(shí)線示出了歐拉公式應(yīng)用范圍內(nèi)(l≥lp)的scr-l曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲線，簡(jiǎn)稱歐拉曲線。需要指出的是，由于實(shí)際壓桿都有初彎曲，偶然偏心和材質(zhì)不勻，所以從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來分析，可以應(yīng)用歐拉公式求臨界力的最小柔度比這里算得的lp要大一些。第九章壓桿穩(wěn)定59*Ⅱ.研究小柔度壓桿臨界力的折減彈性模量理論

工程中的絕大部分壓桿為小柔度壓桿，不能應(yīng)用歐拉公式。研究小柔度壓桿（l<lp）臨界應(yīng)力的理論很多，此處介紹的折減彈性模量理論是其中之一。

現(xiàn)先以矩形截面小柔度鋼壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)為例來探討。第九章壓桿穩(wěn)定60第九章壓桿穩(wěn)定(a)

圖a所示為鋼在壓縮時(shí)的s－e曲線。當(dāng)加載過程中應(yīng)力s超過比例極限時(shí)，材料在某一應(yīng)力水平下的彈性模量可應(yīng)用切線模量Es；而卸載時(shí)，材料的彈性模量由卸載規(guī)律可知，它與初始加載時(shí)的彈性模量E相同。61(1)

橫截面上應(yīng)力的變化情況

按抽象的概念，小柔度中心壓桿與大柔度中心壓桿一樣，當(dāng)F=Fcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡，也可在微彎狀態(tài)下保持平衡。小柔度壓桿在直線狀態(tài)下保持平衡時(shí)其橫截面上的應(yīng)力是均勻的，其值為scr=Fcr/A（圖b）。第九章壓桿穩(wěn)定(b)62

當(dāng)壓桿在此應(yīng)力水平下發(fā)生微彎時(shí)，中性軸一側(cè)(圖b中

z軸右側(cè))橫截面上產(chǎn)生附加拉應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力scr減小，故屬于減載，附加彎曲拉應(yīng)力為st=Ey/r(x)；第九章壓桿穩(wěn)定(b)中性軸另一側(cè)橫截面上產(chǎn)生附加應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力scr增大，故屬于加載，附加彎曲壓應(yīng)力為sc=Esy/r(x)。因?yàn)镋≠Es，故微彎時(shí)中性軸不通過橫截面形心，它離左邊緣的距離為h1，離右邊緣的距離為h2。63(2)

中性軸的具體位置

根據(jù)壓桿由于微彎產(chǎn)生的正應(yīng)力在橫截面上不應(yīng)組成合力有即應(yīng)有亦即要求第九章壓桿穩(wěn)定(b)64這就要求注意到h1+h2=h，由上式可解得第九章壓桿穩(wěn)定(b)65(3)

橫截面上彎矩M(x)與曲率r(x)的關(guān)系根據(jù)有第九章壓桿穩(wěn)定(b)上式中，Iz,1=bh13/3和Iz,2=bh23/3都是z軸一側(cè)的矩形對(duì)z軸的慣性矩。66由上式可得為了表達(dá)方便，用I來表示bh3/12，于是有為將上式表達(dá)為一般彎曲問題中的形式，引入折減彈性模量Er：第九章壓桿穩(wěn)定(b)67于是有亦即或者說，撓曲線的近似微分方程為

對(duì)于非矩形截面的小柔度壓桿，其折減彈性模量可類似于上面所述的方法求得，而撓曲線方程的形式仍如式(c)所示。第九章壓桿穩(wěn)定(c)68(4)

小柔度壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力表達(dá)式

小柔度壓桿的撓曲線近似微分方程(c)與大柔度壓桿的

w"＝±M(x)/EI完全一致，可見對(duì)不同桿端約束下各種截面形狀的小柔度壓桿都有如下公式：臨界力臨界應(yīng)力第九章壓桿穩(wěn)定69Ⅲ.

壓桿的臨界應(yīng)力總圖

臨界應(yīng)力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應(yīng)力scr隨柔度l變化的關(guān)系曲線。第九章壓桿穩(wěn)定

在l≥lp的部分，有歐拉公式scr

＝p2E/l2表達(dá)scr－l關(guān)系；但在壓桿柔度l很小時(shí)，由于該理論存在的不足，計(jì)算所得scr可能會(huì)大于材料的屈服極限ss，故取scr

＝ss。

在l<lp的范圍內(nèi)可利用折減彈性模量理論公式scr

＝p2Er/l2表達(dá)scr－l關(guān)系；70此外，該理論公式中有與截面形狀相關(guān)的折減彈性模量Er，故l<lp范圍內(nèi)的scr－l曲線實(shí)際上還因截面形狀而有所不同。第九章壓桿穩(wěn)定71§9-5

實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)

為保證實(shí)際壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定計(jì)算中需納入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件(stabilitycondition)為式中，[s]st=scr/nst為壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。亦即第九章壓桿穩(wěn)定

由于scr與壓桿的柔度l有關(guān)，而且考慮到不同柔度的壓桿其失穩(wěn)的危險(xiǎn)性也有所不同，故所選用的穩(wěn)定安全因數(shù)nst也隨l變化，因此[s]st是一個(gè)與壓桿柔度的關(guān)系比較復(fù)雜的量。72

為了應(yīng)用方便，將穩(wěn)定許用應(yīng)力[s]st寫為材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]乘以一個(gè)隨壓桿柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)j=j(l)，即

我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范根據(jù)對(duì)常用截面形式、尺寸和加工工藝的96根鋼壓桿，并考慮初曲率和加工產(chǎn)生的殘余應(yīng)力所作數(shù)值計(jì)算結(jié)果，在選取適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)后，給出了鋼壓桿穩(wěn)定因數(shù)j與柔度l的一系列關(guān)系值。該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應(yīng)力對(duì)臨界應(yīng)力的影響從小到大分為a，b，c三類截面。大多數(shù)鋼壓桿可取作b類截面壓桿。表9-3為Q235鋼b類截面中心壓桿隨柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)j。第九章壓桿穩(wěn)定73表9-3

Q235鋼b類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數(shù)j第九章壓桿穩(wěn)定74

思考：

1.

已知Q235鋼的[s]=170MPa，E=206GPa。表9-3中列出有l(wèi)＝120的b類截面中心壓桿的相應(yīng)值j＝0.437。試推算其所采用的穩(wěn)定安全因數(shù)nst的值。

2.

已知Q235鋼的ss＝240MPa，試推算取用[s]=170MPa時(shí)的強(qiáng)度安全因數(shù)n的值。第九章壓桿穩(wěn)定75

例題9-3

圖a，b，c所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓桿，由兩根110mm×70mm×7mm的角鋼用綴條和綴板聯(lián)成整體，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa。試求該壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。第九章壓桿穩(wěn)定76

解：1.

確定組合截面形心和形心主慣性軸

圖c所示組合截面的形心離角鋼短肢的距離顯然就是

y0＝35.7mm，并落在對(duì)稱軸y軸上。根據(jù)y軸為對(duì)稱軸可知，圖c中所示通過組合截面形心的y軸和z軸就是該組合截面的形心主慣性軸。2.

計(jì)算組合截面的形心主慣性矩第九章壓桿穩(wěn)定77可見，在組合截面對(duì)于所有形心軸的慣性矩中，Imax=Iz，Imin=Iy,按通常的說法就是z軸為強(qiáng)軸，而y軸為弱軸。3.計(jì)算壓桿的柔度

此壓桿兩端為球形鉸支座，在各個(gè)縱向平面內(nèi)對(duì)桿端的約束相同，故失穩(wěn)時(shí)橫截面將繞弱軸

y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。壓桿的柔度應(yīng)據(jù)此計(jì)算。第九章壓桿穩(wěn)定784.計(jì)算壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力

按b類截面中心壓桿，由表9－3查得l＝97時(shí)j＝0.575，從而得第九章壓桿穩(wěn)定79§9-6

壓桿的穩(wěn)定計(jì)算·壓桿的合理截面根據(jù)上節(jié)中所述，中心壓桿的穩(wěn)定條件可以表達(dá)為需要注意的是，式中A所表示的橫截面面積，即使當(dāng)壓桿被釘孔等局部削弱時(shí)也還采用不考慮削弱的毛面積，因?yàn)閴簵U的穩(wěn)定性取決于整體的抗彎能力，受局部削弱的影響很小。這與強(qiáng)度計(jì)算中必須以橫截面被釘孔等削弱后的凈面積為依據(jù)是有所不同的。第九章壓桿穩(wěn)定80

在穩(wěn)定計(jì)算中如需按穩(wěn)定條件選擇壓桿的橫截面尺寸，那么由于查表確定穩(wěn)定因數(shù)j時(shí)需要依據(jù)與截面尺寸相關(guān)的柔度l，所以要用試算法。

壓桿的臨界應(yīng)力隨柔度的減小而增大，因而當(dāng)桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同時(shí)，壓桿的合理截面應(yīng)是：Ⅰ.對(duì)兩個(gè)形心主慣性軸的慣性半徑相等的截面，亦即兩個(gè)形心主慣性矩相等(

Imax=Imin)的截面；Ⅱ.在橫截面面積相同的條件下，對(duì)形心主慣性軸的慣性半徑盡可能大的截面，亦即形心主慣性矩盡可能大的截面。第九章壓桿穩(wěn)定81

對(duì)于桿端約束在壓桿各縱向平面內(nèi)不同的情況，其橫截面以使壓桿在各縱向平面內(nèi)的柔度l相同或接近相同為合理。

圖示截面中，對(duì)于桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同的壓桿來說，正方形截面較矩形截面合理；圓截面合理，且空心圓截面較實(shí)心圓截面更合理。圖e所示組合截面其兩個(gè)槽鋼的形心間距離h以能使Iy等于或稍大于Iz者為合理。第九章壓桿穩(wěn)定82

例題9-4

圖示為簡(jiǎn)易起重裝置，其扒桿(圖中的斜桿)為平均直徑d=300mm的紅松，長(zhǎng)度

l＝6m，順紋抗壓強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]＝10MPa。試求該扒桿所能承受的許可壓力值。第九章壓桿穩(wěn)定83解：1.我國(guó)規(guī)范的有關(guān)規(guī)定

我國(guó)木結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)木制壓桿，按樹種的彎曲強(qiáng)度分兩類給出穩(wěn)定因數(shù)j的計(jì)算公式。紅松屬于樹種強(qiáng)度TC13級(jí)(“13”表示彎曲強(qiáng)度為13MPa)，該等級(jí)所屬分類的穩(wěn)定因數(shù)計(jì)算公式為時(shí)時(shí)第九章壓桿穩(wěn)定842.

扒桿的柔度

該扒桿在軸向壓力作用下如果在圖示平面內(nèi)失穩(wěn)，則由于其上端受水平鋼絲繩的約束而基本上不能產(chǎn)生側(cè)向位移而只能轉(zhuǎn)動(dòng)，其下端由于銷釘?shù)募s束也只能轉(zhuǎn)動(dòng)，故扒桿大致相當(dāng)于兩端鉸支壓桿，長(zhǎng)度因數(shù)可取為m＝1。扒桿在垂直于圖示平面的方向，其上端通常沒有任何約束，而下端由于受銷釘約束基本上不能轉(zhuǎn)動(dòng)而可視為固定端，故長(zhǎng)度因數(shù)可取為m＝2。第九章壓桿穩(wěn)定85

比較扒桿在兩個(gè)相互垂直平面內(nèi)的長(zhǎng)度因數(shù)m，并注意到這是圓截面桿可知，決定該扒桿許可壓力的是垂直于圖示平面內(nèi)的穩(wěn)定性。從而有第九章壓桿穩(wěn)定3.

穩(wěn)定因數(shù)及許可壓力因l>91，故按下式計(jì)算穩(wěn)定因數(shù)：從而有許可壓力：86

例題9-5

廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承受軸向壓力F=270kN。根據(jù)桿端約束情況，該鋼柱的長(zhǎng)度因數(shù)取為m＝1.3。鋼柱長(zhǎng)7m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa。該柱屬于b類截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有4個(gè)直徑為d0=30mm的釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼號(hào)碼。第九章壓桿穩(wěn)定87解：1.

按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼

為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內(nèi)和xy平面內(nèi)具有同樣的穩(wěn)定性，應(yīng)根據(jù)ly=lz確定兩槽鋼的合理間距h?，F(xiàn)先按壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定條件通過試算選擇槽鋼號(hào)碼。假設(shè)j＝0.50，得到壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力為因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為第九章壓桿穩(wěn)定88由型鋼表查得，14a號(hào)槽鋼的橫截面面積為A=18.51cm2＝18.51×10-4m2，而它對(duì)z軸的慣性半徑為iz=5.52cm=55.2mm。

下面來檢查采用兩根14a號(hào)槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因數(shù)j是否不小于假設(shè)的j＝0.5。第九章壓桿穩(wěn)定

注意到此組合截面對(duì)于z軸的慣性矩

Iz和面積

A都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的iz值就等于單根槽鋼的iz值。于是有該組合截面壓桿的柔度：89由表9-3查得，Q235鋼b類截面中心壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為j＝0.262。顯然，前面假設(shè)的j＝0.5這