【教無(wú)憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第04講 5.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（3知識(shí)點(diǎn) 8題型 強(qiáng)化訓(xùn)練）【KS5U 高考】

.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；（2）理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系；（3）能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最值。（1）經(jīng)歷等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；（2）通過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，達(dá)成邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；（3）在利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；知識(shí)點(diǎn)01等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)選用公式2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，①②由①＋②得n個(gè)＝，由此得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，代入通項(xiàng)公式得.【即學(xué)即練1】（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）（多選）數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，已知，則（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由可得，解得，，故A正確，B錯(cuò)誤，，C正確，，D錯(cuò)誤，故選：AC知識(shí)點(diǎn)02等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)1、片段和性質(zhì)：設(shè)等差數(shù)列的公差為，為其前n項(xiàng)和，等差數(shù)列的依次項(xiàng)之和，，，…組成公差為的等差數(shù)列；2、前n項(xiàng)和與n的比值：數(shù)列是等差數(shù)列?(a，b為常數(shù))?數(shù)列為等差數(shù)列，公差為；3、奇偶項(xiàng)和性質(zhì)：若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d；①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，，，；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，，.4、兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和比值：在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為，則【即學(xué)即練2】（2023秋·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，，則（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以成等差數(shù)列，，，故，.故選：D知識(shí)點(diǎn)03等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，整理成關(guān)于n的函數(shù)可得.當(dāng)時(shí)，關(guān)于n的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說(shuō)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．2、求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值的解題策略（1）將配方，若，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值．當(dāng)n取最接近對(duì)稱(chēng)軸的正整數(shù)時(shí)，取到最值．（2）鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)，時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)n使取最大值；當(dāng)，時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)n使取最小值。【即學(xué)即練3】（2024·重慶·高二巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的最大項(xiàng)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知對(duì)于等差數(shù)列，，所以，又因?yàn)?，所以，故?shù)列是遞減數(shù)列，前項(xiàng)5為正，從第6項(xiàng)起均為負(fù)數(shù)，所以數(shù)列的最大項(xiàng)是，故選：B.【題型一：等差數(shù)列前n項(xiàng)和與基本量】例1．（2023·全國(guó)·高二期末）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公差為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榍遥傻茫獾?故選：C.變式1-1．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州一中期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，①，②聯(lián)立①②可得，，因此，.故選：B．變式1-2．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列中，（1）已知，，，求和；（2）已知，，求；（3）已知，，，求．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由題意得，解得．又，∴，∴，．（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，則．（3），，，．變式1-3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）求的通項(xiàng)公式（2）記的前項(xiàng)的和為，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）數(shù)列的前項(xiàng)和由，化簡(jiǎn)得即，所以或（舍），所以的值是.【方法技巧與總結(jié)】，，，，知三求二（1）在等差數(shù)列中，，或，兩個(gè)公式共涉及，，，及五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)和前項(xiàng)和；、（2）依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”?！绢}型二：等差數(shù)列的片段和性質(zhì)】例2．（2023·江蘇·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為40，前項(xiàng)和為420，則前項(xiàng)和為（）A．140B．180C．220D．380【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列，所以，又所以，解得.所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：B.變式2-1．（2024·廣東深圳·高二深圳市高級(jí)中學(xué)校考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，所以，故構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，即.故選：C變式2-2．（2023·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則．【答案】100【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以仍然是等差數(shù)列，所以也是等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以?變式2-3．（2024·河北邢臺(tái)·高二博野中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】46【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知成等差數(shù)列，即1，8，成等差數(shù)列，且公差為，所以，得.【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．【題型三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值】例3．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．B．C．2022D．2023【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即，由，則，即，由，則，即，將代入，解得，.故選：A.變式3-1．（2023·四川眉山·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則（）A．2023B．-2023C．-2024D．2024【答案】C【解析】由是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則所以，（常數(shù)），則也為等差數(shù)列.由，則數(shù)列的公差為1.所以所以，所以故選：C變式3-2．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：；，，解得：，即的取值范圍為.變式3-3．（2023·全國(guó)·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．18B．36C．40D．42【答案】B【解析】，故為等差數(shù)列，故，故，解得.故選：B【方法技巧與總結(jié)】由數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，重新構(gòu)造新的等差數(shù)列?！绢}型四：兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值】例4．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二統(tǒng)考期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A變式4-1．（2024·天津·高二天津市薊州區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則.【答案】【解析】由，即.變式4-2．（2023·重慶·高三巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，.若則.【答案】2【解析】等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，，所以.變式4-3．（2023·福建南平·高二南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，若，則【答案】【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，所以，由得，得，所以.【方法技巧與總結(jié)】在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為，則，注意結(jié)合公式來(lái)解決問(wèn)題?！绢}型五：等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和】例5．（2022·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有2n項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和分別為24和30，且末項(xiàng)比首項(xiàng)大10.5，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（）A．4B．8C．12D．20【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，解得：，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.故選：B變式5-1．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為其中奇數(shù)項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和為則()A．B．C．D．【答案】A【解析】項(xiàng)數(shù)為的中奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),其和為項(xiàng)數(shù)為的中偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),其和為所以解得故選:A.變式5-2．（2022·河南·高二校考期末）在等差數(shù)列中，已知公差，且，則.【答案】145【解析】等差數(shù)列中，已知公差，.變式5-3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32∶27，求公差d．【答案】【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則由題意可得，解得又，．【方法技巧與總結(jié)】解題過(guò)程中要注意確定等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)項(xiàng)數(shù)選擇合適的公式。若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【題型六：含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和】例6．（2023·福建三明·高二校考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與；（2）求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，可得，又由，聯(lián)立方程組，解得，所以，.（2）由，解得，所以，則.變式6-1．（2022·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，為整數(shù)，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，則，可得，即，解得，因?yàn)?，則，，因此，.此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，合乎題意，所以，.（2）由（1）知，所以，因此，.變式6-2．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二校考期末）已知為等差數(shù)列,,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，，所以，；所以，?（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為的前n項(xiàng)和為.因?yàn)?；令，得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，故.變式6-3．（2023·湖北·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)單調(diào)遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，又，解得，或，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，所以，所以，所以，解得，所以.（2）由，解得，，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上.【方法技巧與總結(jié)】已知{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和的步驟第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)．第二步，求和：①若an各項(xiàng)均為正數(shù)(或均為負(fù)數(shù))，則{|an|}各項(xiàng)的和等于{an}的各項(xiàng)的和(或其相反數(shù))；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時(shí)數(shù)列{an}只有前面有限項(xiàng)為正數(shù)(或負(fù)數(shù))，可分段求和再相加．【題型七：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值】例7．（2024·甘肅蘭州·高二西北師大附中?？计谀┰O(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則使得取最小值時(shí)的為（）A．6B．7C．6或7D．8【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，又，，則①，②，由①②解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值為，故選：A.變式7-1．（2024·天津?qū)幒印じ叨y(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題設(shè)，令，可得，又，故時(shí)，時(shí)，所以時(shí)最小，即最小為.故選：C變式7-2．（2023·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則取得最大值時(shí)，n的值是（）A．23B．13C．14D．12【答案】D【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，，即，所以，，因?yàn)?，所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：D.變式7-3．（2023·江蘇蘇州·高二張家港市沙洲中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）（多選）已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，僅得最大值.記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，（）A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值D．若，，則當(dāng)或14時(shí)，取得最大值【答案】BD【解析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對(duì)于A，且時(shí)取最大值，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則時(shí)，，時(shí)，.，則，，，，前14項(xiàng)和最大，B項(xiàng)正確；對(duì)于C，，則，同理，，，前13項(xiàng)和最大，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，得，由題等差數(shù)列在時(shí)，，時(shí)，，所以，，，所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，D項(xiàng)正確；故選：BD.【方法技巧與總結(jié)】1、二次函數(shù)法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定n的值，更加直觀．2、鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時(shí)，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．【題型八：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用】例8．（2024·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《解析九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)之差成等差數(shù)列．現(xiàn)有一高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（）A．4951B．4953C．4955D．4957【答案】A【解析】設(shè)該高階等差數(shù)列為，因?yàn)榍?項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，所以所以所以，故選：A.變式8-1．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某中學(xué)的募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了（）A．20天B．25天C．30天D．35天【答案】B【解析】由題意可知，每一天收到的捐款成等差數(shù)列，首項(xiàng)為20，公差為15，設(shè)這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了n天，則，得（負(fù)值舍去）.故選：B.變式8-2．（2023·陜西西安·高二西安市黃河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知從冬至日起，小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)減等寸（減等寸：以相等的尺寸減少）.若雨水的日影長(zhǎng)為95寸，冬至?小寒?大寒?立春的日影長(zhǎng)之和為480寸，則冬至的日影長(zhǎng)為（）A．135寸B．130寸C．125寸D．120寸【答案】A【解析】由題意得十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以冬至的日影長(zhǎng)為135寸.故選：A.變式8-3．（2023·河南濮陽(yáng)·高二范縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有12個(gè)砝碼，總質(zhì)量為，它們的質(zhì)量從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列，且最重的3個(gè)砝碼質(zhì)量之和是最輕的3個(gè)砝碼質(zhì)量之和的4倍．用這些砝碼稱(chēng)一個(gè)質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個(gè)數(shù)至少為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】將12個(gè)砝碼的質(zhì)量從小到大依次設(shè)為，由題可知，，，所以，化簡(jiǎn)得，，所以，由得，，，化簡(jiǎn)得，，解方程得，所以，，，，，，滿足，，又因?yàn)?，滿足，所以這些砝碼稱(chēng)一個(gè)質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個(gè)數(shù)至少為6個(gè).故選：C.【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列在實(shí)際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用，將實(shí)際問(wèn)題抽象為等差數(shù)列問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)列的問(wèn)題，再把問(wèn)題的解回歸到實(shí)際問(wèn)題中去，是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程。需要注意一下兩點(diǎn)：（1）抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類(lèi)型的數(shù)列模型；（2）深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式，或是求前項(xiàng)和，還是求項(xiàng)數(shù)。一、單選題1．（2022·高二單元測(cè)試）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，則，解得或，又，所以，故選：B.2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差，，那么（）A．80B．120C．135D．160【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，公差，，所以,所以，故選：C3．（2023·河南·高三安陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，.故選：D.4．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．578B．579C．580D．581【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，不成立.故得到.令，則，解得，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故：，.故選：B.5．（2023·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）小方是一名文學(xué)愛(ài)好者，他想利用業(yè)余時(shí)間閱讀《紅樓夢(mèng)》和《三國(guó)演義》，假設(shè)他讀完這兩本書(shū)共需40個(gè)小時(shí)，第1天他讀了10分鐘，從第2天起，他閱讀的時(shí)間比前一天增加10分鐘，恰好閱讀完這兩本書(shū)的時(shí)間為（）A．第20天B．第21天C．第22天D．第23天【答案】C【解析】由題設(shè)，每天閱讀時(shí)間是首項(xiàng)、公差都為10的等差數(shù)列，所以前n天閱讀總時(shí)間為分鐘，令，則，，又開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，即上遞增，，，，所以恰好閱讀完這兩本書(shū)的時(shí)間為第22天.故選：C6．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，都有，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，且，所以.故選：D.7．（2024·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，數(shù)列、都是等差數(shù)列，顯然兩個(gè)數(shù)列都不是常數(shù)列，，因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和公式為，所以不妨令為常數(shù)，且，所以時(shí)，，．，，，.故選：A8．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)n的值為（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以又，所以所以等差?shù)列的前5項(xiàng)為正數(shù)，從第6項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：A二、多選題9．（2024·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的最大值為B．是等差數(shù)列C．是遞減數(shù)列D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為，所以，當(dāng)或時(shí)，有最大值20，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)知，是遞減數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2024·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知均是公差不為0的等差數(shù)列，且，記的前項(xiàng)和分別為，則（）A．B．C．為遞增數(shù)列D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，得，故A正確；對(duì)于B，設(shè)的公差分別為，均不為0，所以，即，所以，所以，所以無(wú)法確定的通項(xiàng)公式，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B，不妨取，因此，則為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD11．（2023·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則（）A．B．C．或?yàn)榈淖畲笾礑．【答案】BCD【解析】根據(jù)題意可知，由可得，即，又，所以可得公差；所以A錯(cuò)誤，B正確；易知是關(guān)于的一元二次函數(shù)，且二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，開(kāi)口向下，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以當(dāng)且時(shí)，是單調(diào)遞增的，當(dāng)且時(shí)，是單調(diào)遞減的；又和關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，所以可得，且為的最大值，即C正確；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，距離對(duì)稱(chēng)軸越近的值越大，易知，即距離對(duì)稱(chēng)軸比距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)，所以可得，即D正確.12．（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，若，則下列命題正確的是（）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．是數(shù)列中的最小項(xiàng)C．和是中的最小項(xiàng)D．滿足的的最大值為25【答案】AC【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，?shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對(duì)于B：因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以最小項(xiàng)是首項(xiàng)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以?dāng)或時(shí)，取最小值，C正確；對(duì)于D：由不等式，可得，又因?yàn)椋詽M足的的最大值為24，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于．【答案】【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列共有項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，所以，，解得.14．（2023·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為100，其前項(xiàng)和為500，則其前項(xiàng)和為．【答案】1200【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，即，解得.15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，故對(duì)任意的，，因此，數(shù)列為等差數(shù)列