陜西省咸陽市2022屆高三下學期一模文科數(shù)學試題 附解析

咸陽市2022年高考模擬檢測（一）數(shù)學（文科）試題注意事項：1．本試卷共4頁，滿分150分，時間120分鐘；2．答卷前，考生須準確填寫自己的姓名、準考證號，并認真核準條形碼上的姓名、準考證號；3．第Ⅰ卷選擇題必須使用2B鉛筆填涂，第Ⅱ卷非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，涂寫要工整、清晰；4．考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題卷不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的計算法則計算即可.【詳解】，∴z的虛部為.故選：A.2.已知集合，那么集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式解得集合，再利用集合的交運算即可求得結果.【詳解】因為，故.故選：C.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性和奇偶性，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，定義域為，且，故其為奇函數(shù)，不滿足題意；對B：，定義域為，且，故其為偶函數(shù)，又在上單調遞增，滿足題意；對C：，定義域為，是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；對D：，當時，是單調減函數(shù)，不滿足題意；故選：B.4.某校隨機抽取100名學生進行“綠色環(huán)保知識”問卷測試．測試結果發(fā)現(xiàn)這100名學生的得分都在內，按得分情況分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．則下列說法錯誤的是（）A.這100名學生得分的中位數(shù)是72.5B.這100名學生得分的平均數(shù)是72.5C.這100名學生得分小于70分的有50人D.這100名學生得分不小于90分的有5人【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)、頻數(shù)的計算方法即可求解.【詳解】解：對A：根據(jù)頻率分布直方圖，設這100名同學得分的中位數(shù)為，則有，解得，故選項A正確；對B：根據(jù)頻率分布直方圖，可得100名學生得分的平均數(shù)是，故選項B正確；對C：這100名學生得分小于70分的有人，故選項C錯誤；對D：這100名學生得分不小于90分的有人，故選項D正確.故選：C.5.已知向量，的夾角為，且，，則向量與向量的夾角等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，再利用向量的夾角計算公式，即可求解.【詳解】向量，夾角為，且，，故可得，則，，設向量與向量的夾角為，故，又，故.故選：D.6.函數(shù)的大致圖象是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特殊位置的所對應的的值，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】因為所以當時，，故排除A、D選項，而，所以即是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除B項，故選C項.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象，屬于簡單題.7.已知角終邊上一點，那么（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得,再利用二倍角公式求得，接著求得，最后利用兩角和的余弦公式求得答案.【詳解】，，所以角終邊上一點，即，,故，所以，所以，，所以，故選：A.8.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，，，也成等差數(shù)列，結合，根據(jù)等差數(shù)列的性質得到，，代入即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列性質，若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，也成等差數(shù)列；又，則數(shù)列，，，是以為首項，以為公差的等差數(shù)列則，，故選：A．【點睛】本題考查的知識點是等差數(shù)列的性質，其中根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，也成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質，判斷數(shù)列，與的關系，是解答本題的關鍵，屬于基礎題．9.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A.且 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，從集合的角度，以及充分性和必要性的定義，即可選擇.【詳解】因為，故不等式的解集為且，故不等式成立的一個充分不必要條件所構成的集合應是且的真子集，顯然，滿足題意的只有.故選：D.10.如圖所示，已知是雙曲線的右焦點，是坐標原點，是條漸近線，在上分別有點（不同于坐標原點），若四邊形為菱形，且其面積為．則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積可知，再根據(jù)勾股定理可得，即，進而求出，根據(jù)漸近線的斜率，可得，再利用離心率，即可求出結果.【詳解】由四邊形為菱形，則，所以菱形的面積為所以，又，所以，即，又點分別是漸近線上的點，所以漸近線斜率，故雙曲線的離心率為.故選：B.11.已知某圓錐的底面半徑為2，母線長為4，該圓錐有一內接圓柱，要使圓柱的體積最大，則圓柱的底面半徑應為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件列出關于圓柱體積與圓柱底面圓半徑之間的表達式，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調調性，進而求其最值即可.【詳解】下圖為此幾何體的軸截面，設圓柱的底面圓半徑為，母線長為，由已知條件得,∵△∽△,∴,即，其中，∴圓柱的體積為，又∵，∴函數(shù)在上為單調遞增，在上單調遞減，∴函數(shù)在時，圓柱的體積取得最大值.故選：.12.設實數(shù)，，，那么、、的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結合對數(shù)函數(shù)的單調性、對數(shù)運算判斷出三者的大小關系.【詳解】，，所以.故選：A第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與圓相切，則________．【答案】或1【解析】【分析】由題意，圓心到直線的距離等于圓的半徑1即可求解.【詳解】解：因為直線與圓相切，所以，即，所以或1，故答案為：或1.14.若、滿足約束條件，則的最大值為________．【答案】##3.5【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)即可得到答案.【詳解】作出約束條件的可行域如圖所示，，解得，平移直線，由圖可知過點時，目標函數(shù)的最大值為.故答案為：.15.一個空間幾何體的三視圖如下圖所示，該幾何體的表面積為________．

【答案】【解析】【分析】還原該幾何體的直觀圖即可求其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個組合體：一個正方體的左前方挖去了個半徑為1cm，高為1cm的圓柱.其直觀圖如圖所示：故其表面積為：.故答案為：.16.意大利數(shù)學家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列．斐波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù)．人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結構、化學等領域有著直接的應用．設斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個命題：①；②；③；④．其中正確命題的序號是________．【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的知識對四個命題進行分析，從而確定正確答案.【詳解】斐波那契數(shù)列從第項起，每一項都是前項的和，所以，①正確.，②正確.，所以③正確.當時，，，所以④錯誤.故答案為：①②③三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在△中，，，分別是角，，所對邊，已知，，且．（1）求角和邊的大??；（2）求△的內切圓半徑．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將代入式中，利用兩角和、兩角差的正弦公式即可求得，再利用余弦定理即可求得；（2）利用等面積法即可求得.【小問1詳解】由可得，∴，∴，又∵，∴，又∵,∴．由余弦定理可得，∴．【小問2詳解】由（1）知，故△為直角三角形，設△的內切圓半徑為．由等面積法可知，即，解得：.18.根據(jù)國際疫情形勢以及傳染病防控的經驗，加快新冠病毒疫苗接種是當前有力的防控手段，我國正在安全、有序加快推進疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開展疫苗接種社會宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認識到了疫苗接種的重要作用，自宣傳開始后村干部統(tǒng)計了本村名居民（未接種）的一個樣本，天內每天新接種疫苗的情況，如下統(tǒng)計表：第天新接種人數(shù)（1）建立關于的線性回歸方程；（2）假設全村共計名居民（均未接種過疫苗），用樣本估計總體來預測該村居民接種新冠疫苗需要幾天？參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求線性回歸方程即可；（2）根據(jù)線性回歸方程可設，求出，與比較即可求解.【詳解】（1），，則，，故關于的線性回歸方程．（2）設，數(shù)列的前項和為，易知數(shù)列是等差數(shù)列，則，因為，，所以，（人），所以預測該村居民接種新冠疫苗需要天．19.已知直三棱柱中，，為等腰直角三角形，，、分別是和的中點．（1）求證：直線平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易知四邊形為正方形，進而可得，又三棱柱為直三棱柱且為等腰直角三角形，可得平面，進而可得，然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可求解；（2）由（1）根據(jù)即可求解.【小問1詳解】證明：∵為等腰直角三角形，，∴，又，∴四邊形為正方形，又、分別是和的中點，∴，又∵為的中點，∴，又∵三棱柱為直三棱柱，∴平面平面，又平面平面，∴平面，又∵平面，∴，又，∴平面；【小問2詳解】解：∵，由（1）可知平面，∵，，∴．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；（2）若，，證明：當時，．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；(2)求出g(x)解析式，利用和得－2ax≥－2x，由此消掉參數(shù)a，問題轉化為證明新函數(shù)的最小值為.【小問1詳解】∵，函數(shù)的圖像在點處的切線斜率，又∵，∴函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，即．【小問2詳解】由題意可知：．∵，．∴．令，．當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；∴，故．【點睛】本題第二問關鍵在于利用和得－2ax≥－2x，由此放縮消掉參數(shù)a，將問題轉化為利用導數(shù)求一個不含參數(shù)的函數(shù)的最小值.21.如圖，已知橢圓，，分別是長軸的左、右兩個端點，是右焦點．橢圓過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線上有兩個點，，且．①求面積的最小值；②連接交橢圓于另一點（不同于點），證明：、、三點共線．【答案】（1）（2）①9；②證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，聯(lián)立關于的方程組求解即可得答案；（2）①設，，由，可得，又，利用基本不等式即可得答案；②求出直線方程，聯(lián)立橢圓方程可得，利用韋達定理求出P點坐標，然后結合，可得，從而得證、、三點共線.【小問1詳解】解：由題意可知，，∴，∵，∴，，∴橢圓的方程為．【小問2詳解】解：①如圖，設，，由于，因此，，∵，∴，，當且僅當時，即，的面積最小為9．②∵，直線的斜率為，∴直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，即，設，∴，∴，代入直線的方程得，∴，∴直線的斜率為，直線的斜率為，∵，∴，又有公共點，所以、、三點共線.（二）選考題：共10分．考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分作答時用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應的題號涂黑．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為為C上的動點，點P是線段的中點，求點P軌跡的極坐標方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標方程與直角坐標方程的轉化公式，直接求得答案.（2）設出M的坐標，利用中點坐標公式表示出點P的坐標，化簡可得其參數(shù)方程，繼而可化為普通方程，再化為極坐標方程.【小問1詳解】