2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第五章 三角函數(shù) 章末題型歸納總結(jié)

第五章三角函數(shù)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：三角函數(shù)式的化簡、求值經(jīng)典題型二：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)經(jīng)典題型三：三角恒等變換經(jīng)典題型四：伸縮變換經(jīng)典題型五：三角函數(shù)的應(yīng)用問題經(jīng)典題型六：三角函數(shù)的綜合問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：三角函數(shù)式的化簡、求值【典例1-1】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習），且是第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵α是第二象限角，∴，而，∴；（2）∵，∴.【典例1-2】（2024·高一·山東淄博·期末）已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點.(1)求；(2)求的值.【解析】（1）因為角的終邊經(jīng)過點，由三角函數(shù)的定義知，，（2）由誘導(dǎo)公式，得.【變式1-1】（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期中）在①，②兩個條件中任選一個補充到下面的問題中，并解答.已知角，且________.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）若選①，因為，所以，則，解得：或，因為角，所以；若選②，因為，角，所以，所以；（2）由（1）可知，，所以【變式1-2】（2024·高一·新疆阿克蘇·階段練習）化簡：(1)；(2)；【解析】（1），，則原式；（2）原式．【變式1-3】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）計算求值.(1)(2)若，且，求下列式子.（i）（ii）.【解析】（1）由于，所以.（2）（i）由，，得，，所以.（ii）.【變式1-4】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知角的終邊經(jīng)過點.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）依題意，，則，，，所以原式.（2）由（1）知，，所以原式.經(jīng)典題型二：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例2-1】（2024·高一·河南漯河·階段練習）若關(guān)于x的程恰有三個解，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由已知有3個零點，且為其零點，因為，，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，又，因為有3個零點，且為其零點，，所以，且，所以.故選：D.【典例2-2】（多選題）（2024·高二·湖南·階段練習）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A． B．C．是曲線的一條對稱軸 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】對于A，因為，所以由圖象知，，所以，A選項正確；由圖象知，又因為，所以即，因為，所以，B錯誤；對于C，當時，，則不是的對稱軸，故C錯誤；對于D，的單調(diào)增區(qū)間滿足：，，即單調(diào)增區(qū)間為，，當時，增區(qū)間為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD.【變式2-1】（多選題）（2024·高一·湖南·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C． D．點是圖象的一個對稱中心【答案】ABD【解析】由圖象知：，函數(shù)的最小正周期為，，則，故A正確，即，又，得，由，可知，故C錯誤，從而，，點是圖象的一個對稱中心，故D正確，，，故在上單調(diào)遞增，故B正確；故選：ABD．【變式2-2】（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．函數(shù)的最小正周期為 B．直線是圖象的一條對稱軸C．點是圖象的一個對稱中心 D．點是圖象的一個對稱中心【答案】AC【解析】設(shè)的最小正周期為，由題中圖象可知，解得，故A正確．因為，所以，解得．由題圖可知，故．將點的坐標代入解析式化簡得，因為，所以，解得，故．當時，，則點是函數(shù)圖象的對稱中心，則直線不是圖象的對稱軸，故B錯誤．當時，，則點是函數(shù)圖象的對稱中心，故C正確．當時，，則點不是函數(shù)圖象的對稱中心，故D錯誤．故選：AC．【變式2-3】（多選題）（2024·高一·江蘇鹽城·開學(xué)考試）函數(shù)在上單調(diào)遞增，下列命題正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．的圖象有一個對稱中心為C．是圖象的一條對稱軸D．在上的值域為【答案】ABD【解析】由，得，而在，則，解得，由，解得，則，，又，因此，，對于A，當時，，而在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，A正確；對于B，，則的圖象的一個對稱中心為，B正確；對于C，，則不是圖象的對稱軸，C錯誤；對于D，當時，，，因此，D正確.故選：ABD【變式2-4】（多選題）（2024·高一·江蘇南京·階段練習）已知，則下列說法正確的是（

）A．圖像對稱中心為B．的最小正周期為C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．若，則【答案】BD【解析】對于A，令，則，A錯誤；對于B，的最小正周期為，B正確；對于C，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)可知，只有遞增區(qū)間，則只有遞減區(qū)間，C錯誤；對于D，由題意可知，所以解得，所以，D正確.故選：BD.【變式2-5】（2024·高三·重慶·階段練習）已知函數(shù)的最小正周期為，則在的最小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】因為的最小正周期為所以的最小正周期，即得，所以，，所以，當時，取的最小值0，所以在上的最小值為.故選：C.【變式2-6】（2024·高一·河北衡水·期中）設(shè)函數(shù)在上有且只有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，又因為在上有且僅有4個零點，，解得故選：B.【變式2-7】（2024·高一·陜西延安·期中）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖得，，，，得，所以，，則，得，由得，，則，所以，.故選：A.經(jīng)典題型三：三角恒等變換【典例3-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，且，則.【答案】/【解析】因為，則，則，因為，所以，則，所以，則.故答案為：.【典例3-2】（2024·高一·福建福州·階段練習）已知，，則.【答案】【解析】因為，則，，則.則，，聯(lián)立方程組解得，.由誘導(dǎo)公式知道，.故答案為：.【變式3-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知是第三象限角，則.【答案】/【解析】因為，且為第三象限角，所以，所以.故答案為：【變式3-2】（2024·高一·甘肅白銀·期中）化簡：.【答案】【解析】原式，故答案為：.【變式3-3】（2024·高一·湖南邵陽·開學(xué)考試）計算.【答案】2【解析】分母，分子，所以原式.故答案為：2.【變式3-4】（2024·高一·浙江衢州·期末）當，則函數(shù)的最小值為.【答案】2【解析】由可得令因為，所以，所以，所以當時，取得最小值2故答案為：2【變式3-5】（2024·高一·江蘇常州·階段練習）定義，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】令，則，故的周期為，又當時，，的減區(qū)間為，，其中，當，則，故存在，使得或，故或（無解，舍），而，故，故，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【變式3-6】（2024·高一·上海徐匯·期中）函數(shù)的最大值與最小值之和為．【答案】/【解析】函數(shù)的定義域為R，，則，即，解得，于是，所以函數(shù)的最大值與最小值之和為.故答案為：經(jīng)典題型四：伸縮變換【典例4-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，因為函數(shù)關(guān)于原點對稱，所以，則，,得，且，所以.故選：D【典例4-2】（2024·高一·河南鄭州·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】C【解析】由題意可得，所以，，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以只需將的圖象向左平移個單位，即可得的解析式.故選：C.【變式4-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象經(jīng)過點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，由所得圖象經(jīng)過點，可得，則，，則，，又，所以的最小值為．故選：C．【變式4-2】（2024·高一·廣東深圳·期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（

）A．先向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）B．先向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）C．先向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）D．先向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）【答案】A【解析】，將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍得到，故選：.【變式4-3】（2024·寧夏銀川·二模）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】，向左平移個單位得到：，則最小正周期，A錯誤；，易知不是函數(shù)的對稱軸，B錯誤；，易知點不是函數(shù)的對稱中心，C錯誤；時，，由正弦函數(shù)在上單增，易知在上單增，D正確.故選：D【變式4-4】（2024·高三·安徽·階段練習）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【答案】B【解析】，故只需向左平移個單位就可得到.故選：B【變式4-5】（2024·高一·上海靜安·期末）對于函數(shù)，下列命題：①函數(shù)對任意都有.②函數(shù)圖像關(guān)于點對稱.③函數(shù)圖像可看作是把的圖像向右平移個單位而得到.④函數(shù)圖像可看作是把的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）而得到.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對①，因為，，所以為函數(shù)的對稱軸，即對任意都有，故①正確.對②，，所以為函數(shù)的對稱中心，故②正確；對③，的圖像向右平移個單位得到，故③錯誤；對④，的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到，故④正確.故選：C經(jīng)典題型五：三角函數(shù)的應(yīng)用問題【典例5-1】（2024·高一·四川成都·階段練習）如圖1，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，矩形內(nèi)接于扇形.記，(1)當角取何值時，矩形的面積最大？并求出這個最大面積.(2)已知條件不變，連接，（如圖2），求四邊形面積的最大值.(3)若過點，的扇形的切線與過點的切線分別交于點，（如圖3），求五邊形面積的最小值.【解析】（1）在中，

，

.在中，.所以

，

.設(shè)矩形的面積為，則.由，得，所以當，即時，取最大值，最大值為.因此，當時，矩形的面積最大，最大面積為.（2）由已知

，

.過點作，，垂足分別為點，.則

，，所以四邊形的面積.由，得，所以當，即時，四邊形的面積.（3）連接，，設(shè)

，由已知，，所以，同理可得，則

，.所以

，，所以五邊形的面積，所以令，則，所以，當且僅當，即，時，等號成立.即當，時，.【典例5-2】（2024·高一·全國·課前預(yù)習）某個彈簧振子（簡稱振子）在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式．t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0【解析】振子的振動具有循環(huán)往復(fù)的特點，由振子振動的物理學(xué)原理可知，其位移y隨時間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)來刻畫．根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點圖，如圖所示．由數(shù)據(jù)表和散點圖可知，振子振動時位移的最大值為20mm，因此；振子振動的周期為，即，解得；再由初始狀態(tài)（）振子的位移為，可得，解得.所以振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式為，．【變式5-1】（2024·高一·福建泉州·期中）為了便于市民運動，市政府準備對道路旁邊部分區(qū)域進行改造.如圖，在道路的一側(cè)修建一條新步道，新步道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數(shù)時的圖象，且圖象的最高點為，新步道的中部分為長1千米的直線跑道，且，新步道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧.(1)求的值和的大?。?2)若計劃在圓弧步道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建面積盡可能大的矩形區(qū)域建服務(wù)站，并要求矩形的一邊緊靠道路上，一個頂點Q在半徑上，另外一個頂點P在圓弧上，且，求矩形面積最大時應(yīng)取何值，并求出最大面積？【解析】（1）由題意可得：，即，且，則，所以曲線段的解析式為.當時，，又因為，則，可知銳角，所以.（2）由（1）可知，，且,則，可得，則矩形的面積為，又因為，則，可知當，即時，，所以矩形取得最大值．【變式5-2】（2024·高一·河南南陽·階段練習）如圖，四邊形ABCD是一塊邊長為100cm的正方形鐵皮，其中扇形AMPN的半徑為90cm，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用，P是弧MN上一點，，工人師傅想在未被腐蝕部分截下一塊邊在BC與CD上的矩形鐵皮，(1)求出矩形鐵皮PQCR面積S關(guān)于的表達式；(2)試確定的值，使矩形鐵皮PQCR面積最大，并求出這個最大面積.【解析】（1）作PH垂直AB于點H，則，，可得，，所以矩形鐵皮PQCR面積.（2）令，則，因為，則，可得，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，可知當，即時，.所以當時，矩形鐵皮面積最大，最大值為【變式5-3】（2024·高一·北京·期末）某玩具廠為測試一款可升降玩具炮臺的性能，建立了如下的數(shù)學(xué)模型：①如圖，建立平面直角坐標系，炮口A的坐標為，炮臺從炮口向右上方發(fā)射玩具彈，發(fā)射仰角為，初速度；②設(shè)玩具彈在運行過程中t（單位：s）時刻的橫縱坐標分別為（單位：m），且滿足；③玩具彈最終落在點.根據(jù)上述模型，解決下列問題：(1)當時.（i）若時，玩具彈剛好落在點，求及此次的發(fā)射仰角θ的值；（ii）求的最大值及此時的發(fā)射仰角θ；(2)當時，求證：.【解析】（1）（i）當時，，由，得，因為，所以此次的發(fā)射仰角為，；（ii）當時，，由，得，所以，因為，所以，所以時，取得最大值.（2）當時，，由，得，因為，所以，代入式整理得，得，所以，其中，所以，解得.【變式5-4】（2024·高一·四川成都·期末）如圖，一個半徑為4m的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，筒車的軸心O距水面的高度為2m．設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間t（單位：s），則d與t之間的關(guān)系為（，，）．

(1)求A，ω，φ，K的值；(2)在筒車轉(zhuǎn)動的一周內(nèi)，盛水筒P有多長時間距離水面高度超過4m？(3)設(shè)t為，時，盛水筒P到水面的距離分別為，，當（），且時，求，的值．【解析】（1）由題意d與t之間的關(guān)系為，根據(jù)題意可知的最大值為，最小值為，可得，解得，又因為逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，所以函數(shù)的周期為，可得，所以，因為當時，，即，又因為，所以，所以，所以.（2）由（1）知，令，可得，即，可得，解得，當時，可得，則所以在筒車轉(zhuǎn)動的一周內(nèi)，盛水筒P有距離水面高度超過4m.（3）由，可得，令，可得，所以，，，所以，所以，即，所以，則，解得，即，解得，因為，所以，即，.【變式5-5】（2024·高一·山東青島·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，設(shè)置有個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要．(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)證明：；(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系，設(shè)時，游客甲位于點；以為終邊的角為，根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，由題意可得：.（2），，.（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點表示，則，經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點相對于點始終落后，此時乙距離地面的高度為，則甲、乙距離地面的高度差，由（2）得：，，，當或，即或時，，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為．經(jīng)典題型六：三角函數(shù)的綜合問題【典例6-1】（2024·高三·陜西渭南·期中）已知函數(shù)的圖象過原點.(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的零點.【解析】（1），∵函數(shù)的圖象過原點，∴，得.（2）由（1）得，由，得，故，，或，，解得，，或，，∵，∴或故在上的零點為.【典例6-2】（2024·高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求在上的值域．【解析】（1）由題得，又，所以的最小正周期，解得，故，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題得，當時，，由的性質(zhì)可知，所以，所以在上的值域為．【變式6-1】（2024·高三·山東濱州·期中）已知函數(shù)，且的最小正周期為.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，求解析式【解析】（1），由于的最小正周期為，故，解得，令,解得，故單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由題意可得，故【變式6-2】（2024·高三·甘肅白銀·階段練習）函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，其中一個最高點坐標為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】（1）由題意得，，，解得，注意到，所以只能，，所以函數(shù)的解析式為.（2）當時，，令或，解得或，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為.【變式6-3】（2024·高三·黑龍江牡丹江·期中）已知函數(shù)，且．(1)求的值；(2)求的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若，，求的值．【解析】（1），因為，所以，所以；（2）由（1）知，令得，所以的對稱中心為，令得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為（3）因為，所以，又因為，所以，因為，可得，所以，所以．【變式6-4】（2024·高三·甘肅蘭州·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．該圖象與軸交于點，與軸交于兩點，為圖象的最高點，且的面積為．(1)求的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間．(2)若將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．若，求的值．【解析】（1）設(shè)的最小正周期為．由題意知，的高為2．又∵的面積為，∴，可得．∵，∴，．∵圖像與y軸交于點，∴，即．∵，∴，故的解析式為．令，，得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，．．（2）根據(jù)題意，將的圖像向右平移個單位長度，可得的圖像，再將所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），可得的圖像．由（），得，∴．又∵，，∴，，∴．【變式6-5】（2024·高三·上?！るA段練習）已知函數(shù).(1)將化成的形式，并寫出的最小正周期及對稱軸方程；(2)若在上的值域為，求的取值范圍.【解析】（1），由題意得的最小正周期.由圖像可知，對稱軸為直線.（2）若在上單調(diào)，則，得，則由，得，則，所以.若在上不單調(diào)，則在上的圖像上必定有一個最高點或最低點，且在上的圖像無論經(jīng)過任何一個最高點或任何一個最低點，的取值范圍均相同.假設(shè)在上的圖像的最高點為，則，當，即時，，此時取得最小值，且最小值是.易得，則，所以.綜上，的取值范圍為.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例7-1】已知a為常數(shù)，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則常數(shù)a的值形成的集合是．（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】，函數(shù)，，，，，，，令，則，，，，當時，，當時，，而當或時，，其圖象如下即函數(shù)在上的值域是，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，函數(shù)與的圖象只有一個交點，當，此時關(guān)于t的方程即有一個實根為，則關(guān)于x的方程

，在有一個實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有一個交點，滿足題意；當，此時關(guān)于t的方程有一個實根記為且，則關(guān)于x的方程

，在有兩個實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有兩個交點，不滿足題意；當，此時關(guān)于t的方程，即有兩個實根分別為1和則關(guān)于x的方程和

，在有三個實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有兩個交點，不滿足題意；當，此時關(guān)于t的方程有兩個實根記為、設(shè)且，，則關(guān)于x的方程和

，在

均有兩個實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有四個交點，不滿足題意；當，此時關(guān)于t的方程，即僅有一個實根為則關(guān)于x的方程

，在有兩個實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有兩個交點，不滿足題意；滿足題意的常數(shù)a的值形成的集合是故選：【典例7-2】設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（

）A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】D

【解析】

對于，其最小正周期為，對于，其最小正周期為，所以對于任意a，的最小正周期都為，對于，其最小正周期為，故當時，，其最小正周期為；當時，，其最小正周期為，所以的最小正周期與a無關(guān)，但與b有關(guān)．故選：【變式7-1】已知，若存在正整數(shù)n，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有2023個零點，則實數(shù)a所有可能的值為（

）A．1 B． C．0 D．1或【答案】B

【解析】，令，則，即，，則關(guān)于t的方程有兩個不相等的實根，設(shè)為，令，可得，則有：若，即和，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，無實數(shù)根，故對任意正整數(shù)n，在內(nèi)有偶數(shù)個零點，不合題意；若，即和，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：無實數(shù)根，在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，故對任意正整數(shù)n，在內(nèi)有偶數(shù)個零點，不合題意；若，即和，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，故對任意正整數(shù)n，在內(nèi)有偶數(shù)個零點，不合題意；若，即和，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，在內(nèi)有且僅有一個實數(shù)根，①對任意正奇數(shù)n，在內(nèi)有個零點，由題意可得，解得，不合題意；②對任意正偶數(shù)n，在內(nèi)有個零點，由題意可得，解得，不合題意；若，即和，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知：在內(nèi)有且僅有一個實數(shù)根，在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，①對任意正奇數(shù)n，在內(nèi)有個零點，由題意可得，解得，符合題意；②對任意正偶數(shù)n，在內(nèi)有個零點，由題意可得，解得，不合題意；綜上所述：當，時，符合題意．此時，解得故選：【變式7-2】已知函數(shù)，滿足，且對于任意的都有，若在上單調(diào)，則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C

【解析】函數(shù)，滿足，，①，對于任意的都有，故的圖象關(guān)于直線對稱，，②，②-①可得

，即，，，即為奇數(shù)，若在上單調(diào)，則，求得，當時，由①可得，，結(jié)合，可得，此時，，當，，故不滿足在上單調(diào)，故不滿足條件，當時，，由①可得，，結(jié)合，可得

或，當時，，滿足在上單調(diào)，當時，，滿足在上單調(diào)，故的最大值為故選：【變式7-3】已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】，故在上有若時，，只需要即可，即，解得：若時，，只需要即可，即，解得：故a的取值范圍為【變式7-4】若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是

（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根據(jù)題意，角的終邊在直線上，為第二象限角時，，；為第四象限角時，，；綜上，角的取值集合是故選：【變式7-5】若，，則終邊所在象限為（

）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限【答案】B

【解析】

，當時，，為第三象限角；當時，，為第一象限角；所以的終邊在第一或第三象限．故選②轉(zhuǎn)化與化歸思想【典例8-1】函數(shù)的最小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A

【解析】令，則原函數(shù)化為，，該函數(shù)在上遞增，在上遞減．易知時，故本題選【典例8-2】在中，C是直角，則（

）A．有最大值無最小值 B．有最小值無最大值C．有最大值也有最小值 D．無最大值也無最小值【答案】D

【解析】因為在中，C是直角，所以，所以由題意可得，所以，所以，設(shè)，則，令，，因為函數(shù)的對稱軸，所以函數(shù)沒有最值，即沒有最值．故選：【變式8-1】記函數(shù)的圖像按向量平移后所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為，對任意的都有，則的值為（

）A． B． C．a(chǎn) D．1【答案】D

【解析】函數(shù)

，其中又對任意的都有，所以是圖像的一條對稱軸，將函數(shù)的圖像按向量平移后得到函數(shù)，，其中，所以，故選：【變式8-2】若函數(shù)的定義域為R，且是偶函數(shù)，關(guān)于點成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①的一個周期為2；②；③的一條對稱軸為；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C

【解析】因為函數(shù)的定義域為R，且為偶函數(shù)，所以，于是，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，又因為關(guān)于點成中心對稱，所以，即，所以，所以的圖象關(guān)于點成中心對稱，對于①，由知，，而，則，所以，由此可得，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，故①錯誤；對于②，在中，令，可得，所以，故②正確；對于③，因為的圖象關(guān)于直線對稱，并且是周期為4的周期函數(shù)，所以的圖象也關(guān)于直線對稱，故③正確；對于④，由上可知：，，，所以，，于是，故④正確．故選【變式8-3】已知函數(shù)滿足，則