2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2.1綜合法與分析法應(yīng)用案鞏固提升新人教B版選修2-2

PAGEPAGE12.2.1綜合法與分析法[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．分析法是從要證的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求結(jié)論成立的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．等價(jià)條件解析：選A.由分析法的要求知，應(yīng)逐步尋求結(jié)論成立的充分條件．2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a2＋b2,2)≤0C.eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：選D.要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證：a2b2－a2－b2＋1≥0，只需證：(a2－1)(b2－1)≥0，故選D.3．若a＞1，0＜b＜1，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)b＜1 B．ba＞1C．logab＜0 D．logba＞0解析：選C.ab＞a0＝1，ba＜b0＝1，logab＜loga1＝0，logba＜logb1＝0.4．若a<b<0，則下列不等式中成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)C．b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b)D．eq\f(b,a)<eq\f(b＋1,a＋1)解析：選C.因?yàn)閍<b<0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b).由不等式的同向可加性知b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b).5．下列函數(shù)f(x)中，滿意“對(duì)隨意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)成立”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：選A.本題就是找哪一個(gè)函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，A項(xiàng)中，f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＜0，所以f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．6．設(shè)a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，則a，b的大小關(guān)系為________．解析：a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，明顯，eq\r(6)<eq\r(7).所以a<b.答案：a<b7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積等于________．解析：如圖所示，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(4,sinB)，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×eq\r(42－（2\r(3)）2)×2eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．假如aeq\r(a)＞beq\r(b)，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿意的條件是________．解析：要使aeq\r(a)＞beq\r(b)成立，只需(aeq\r(a))2＞(beq\r(b))2，只需a3＞b3＞0，即a，b應(yīng)滿意a＞b＞0.答案：a＞b＞09．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosA·sinB＝sinC．推斷△ABC的形態(tài)．解：因?yàn)锳＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)．又2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又A與B均為△ABC的內(nèi)角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＝ab.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－c2＝2abcosC.所以2abcosC＝ab，cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝60°.又因?yàn)锳＝B，所以△ABC為等邊三角形．10．求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大．證明：設(shè)圓和正方形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，故圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)，正方形的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，則本題即證πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).要證πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，即證eq\f(πL2,4π2)＞eq\f(L2,16)，即證eq\f(1,π)＞eq\f(1,4)，即證4＞π，因?yàn)?＞π明顯成立，所以πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).故原命題成立．[B實(shí)力提升]11．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿意什么條件()A．a(chǎn)2<b2＋c2 B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2>b2＋c2 D．a(chǎn)2≤b2＋c2解析：選C.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，所以b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.12．如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿意________時(shí)，BD⊥A1C(寫上一個(gè)條件即可)．解析：要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面AA1C.因?yàn)锳A1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)13．如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.證明：(1)取BD的中點(diǎn)O，連接CO，EO，則由CB＝CD知，CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，所以BD⊥平面OCE，所以BD⊥EO，又O為BD的中點(diǎn)，所以BE＝DE.(2)取AB的中點(diǎn)N，連接MN，DN，DM.因?yàn)镸，N分別是AE，AB的中點(diǎn)，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.因?yàn)椤鰽BD為正三角形，所以DN⊥AB.由∠BCD＝120°，CB＝CD知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面MND∥平面BEC，又DM?平面MND，故DM∥平面BEC.14．(選做題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n∈N＋，其中A、B為常數(shù)．(1)求A與B的值；(2)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列．解：(1)由已知得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18.由(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3S2－7S1＝A＋B，,2S3－12S2＝2A＋B，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋B＝－28，,2A＋B＝－48，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝－20，,B＝－8.))(2)證明：由第一問得(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝－20n－8.①所以(5n－3)Sn＋2－(5n＋7)Sn＋1＝－20n－28.②②－①，得(5n－3)Sn＋2－(10n－1)Sn＋1＋(5n＋2)Sn＝－20.③所以(5n＋2)Sn＋3－(10n＋9)Sn＋2＋(5n＋7)Sn＋1＝－20.④④－③，得