2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素教案新人教B版必修第四冊

PAGE1-11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.以長方體的構(gòu)成為例，相識構(gòu)成幾何體的基本元素，體會空間中的點(diǎn)、線、面與幾何體之間的關(guān)系．(重點(diǎn))2．會用數(shù)學(xué)符號表示空間點(diǎn)、線、面以及它們之間的位置關(guān)系．(重點(diǎn))3．理解平面的無限延展性，學(xué)會推斷平面的方法．(難點(diǎn))1.通過相識構(gòu)成幾何體的基本元素的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系，培育直觀想象的核心素養(yǎng).1．用運(yùn)動的觀點(diǎn)理解空間基本圖形之間的關(guān)系(3)面動成體：面運(yùn)動的軌跡(經(jīng)過的空間部分)可以形成一個幾何體．[拓展]1．立體幾何中的平面是從實(shí)際生活中抽象出來的，它具有無限延展性，是志向的、到處平直的，是不行度量的，它沒有厚度，沒有大小，也沒有面積、體積、質(zhì)量等，不能說兩個平面重疊在一起就變厚了．而立體幾何中的曲面就不是到處平直的．2．立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)分的．平面圖形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的．而通常狀況下，可借助平面圖形表示平面，但是要把平面圖形想象成是無限延展的．2．構(gòu)成空間幾何體的基本元素點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素．3．點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其表示方法(1)直線在平面內(nèi)的概念假如直線l上的全部點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l.(2)常見的文字語言、符號語言與圖形語言的對應(yīng)關(guān)系文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l?αl在α外l?αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l4.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，無公共點(diǎn)異面直線既不平行也不相交，無公共點(diǎn)5.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線在平面外直線與平面相交直線與平面平行公共點(diǎn)多數(shù)個1個0個符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示6.兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交圖示表示法α∥βα∩β＝a公共點(diǎn)個數(shù)0個多數(shù)個7.直線與平面垂直(1)定義：一般地，假如直線l與平面α相交于一點(diǎn)A，且對平面α內(nèi)隨意一條過點(diǎn)A的直線m，都有l(wèi)⊥m，則稱直線l與平面α垂直(或l是平面α的一條垂線，α是直線l的一個垂面)，記作l⊥α，其中點(diǎn)A稱為垂足．(2)點(diǎn)到平面的距離：由長方體可以看出，給定空間中一個平面α及一個點(diǎn)A，過A可以作而且只可以作平面α的一條垂線．假如記垂足為B，則稱B為A在平面α內(nèi)的射影(也稱為投影)，線段AB為平面α的垂線段，AB的長為點(diǎn)A到平面α的距離．(3)直線到平面的距離與兩平行平面之間的距離當(dāng)直線與平面平行時，直線上隨意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線到這個平面的距離；當(dāng)平面與平面平行時，一個平面上隨意一點(diǎn)到另一個平面的距離稱為這兩平行平面之間的距離．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)幾何體不僅包括它的外表面，還包括外表面圍起的內(nèi)部部分． ()(2)直線的移動只能形成平面． ()(3)安靜的太平洋就是一個平面． ()[提示](1)正確．(2)直線移動可能形成曲面，故錯誤．(3)平面是沒有大小的，故錯誤．[答案](1)√(2)×(3)×2．下列關(guān)于長方體的敘述不正確的是()A．將一個矩形沿豎直方向平移一段距離可形成一個長方體B．長方體中相對的面都相互平行C．長方體中某一底面上的高的長度就是兩平行底面間的距離D．兩底面之間的棱相互平行且等長A[A中只有移動相同距離才能形成長方體．]3．(一題多空)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，則直線BC到面A1B1C1D1的距離為______；直線BC1到面ADD1A1的距離為________；面ABB1A1與面DCC543[直線BC到面A1B1C1D1的距離為BB1＝AA1直線BC1到面ADD1A1的距離為AB面ABB1A1到面DCC1D1的距離為BC4．如圖，在正四棱柱(側(cè)面為矩形，底面為正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1(1)EF與BB1垂直；(2)EF與BD垂直；(3)EF與CD異面；(4)EF與A1C1(4)[連接A1B(圖略)，∵E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，∴EF是△A1BC1的中位線，∴EF∥A1C1圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】(1)點(diǎn)P在直線a上，直線a在平面α內(nèi)可記為()A．P∈a，a?α B．P?a，a?αC．P?a，a∈α D．P∈a，a∈α(2)用符號表示下列語句，并畫出圖形．①平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于A，B．②點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，C不在直線AB上．[思路探究]直線和平面看作點(diǎn)的集合?類比元素與集合、集合與集合之間關(guān)系的表示方法進(jìn)行表示．(1)A[由點(diǎn)與直線的位置關(guān)系表示方法及直線與平面之間位置關(guān)系的表示可知點(diǎn)P在直線a上表示為P∈a，直線a在平面α內(nèi)可表示為a?α，故A正確．](2)解：①用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．②用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先細(xì)致視察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要留意符號語言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提示：依據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時要留意實(shí)線和虛線的區(qū)分．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知如圖，試用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝悬c(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系：(1)點(diǎn)C與平面β：________.(2)點(diǎn)A與平面α：________.(3)直線AB與平面α：____________.(4)直線CD與平面α：__________.(5)平面α與平面β：__________.[答案](1)C?β(2)A?α(3)AB∩α＝B(4)CD?α(5)α∩β＝BD從運(yùn)動觀點(diǎn)相識幾何體【例2】如圖所示，請畫出①②③中線段AB圍著直線l旋轉(zhuǎn)一周形成的空間圖形．①②③[思路探究]線的運(yùn)動可以形成平面或曲面，視察AB和l的位置關(guān)系及旋轉(zhuǎn)的方式和方向，可以嘗試畫出形成的圖形．[解]①②③本例若改為AB與l有如圖所示的關(guān)系，請畫出旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何圖形．[解]用運(yùn)動觀點(diǎn)相識幾何體(1)點(diǎn)、線、面運(yùn)動形成怎樣的圖形與其運(yùn)動的形式和方向有關(guān)，假如直線與旋轉(zhuǎn)軸平行，那么形成圓柱面，假如與旋轉(zhuǎn)軸斜交，那么形成圓錐面．(2)在推斷點(diǎn)、線、面按肯定規(guī)律運(yùn)動形成的幾何體的形態(tài)時，可以借助身邊的實(shí)物來模擬．長方體中基本元素之間的關(guān)系[探究問題]1．射線運(yùn)動后的軌跡是什么？[提示]水平放置的射線繞頂點(diǎn)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，可形成平面．其它狀況，可形成曲面．2．如圖所示，該幾何體是某同學(xué)課桌的大致輪廓，請你從這個幾何體里面找尋一些點(diǎn)、線、面，并將它們列舉出來．[提示]面可以列舉如下：平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A線可以列舉如下：直線AA1，直線BB1，直線CC1，直線DD1，直線A2B2，直線C2D2等；點(diǎn)可以列舉如下：點(diǎn)A，點(diǎn)A1，點(diǎn)B，點(diǎn)B1，點(diǎn)C，點(diǎn)C1，點(diǎn)D，點(diǎn)D1，點(diǎn)A2，點(diǎn)B2，點(diǎn)C2，點(diǎn)D2；它們共同組成了課桌這個幾何體．【例3】在長方體ABCD-A′B′C′D′中，把它的12條棱延長為直線，6個面延展為平面，那么在這12條直線與6個平面中，(1)與直線B′C′平行的平面有哪幾個？(2)與平面BC′平行的平面有哪幾個？[思路探究]視察圖形，結(jié)合定義，利用運(yùn)動的觀點(diǎn)來分析圖形中的線面位置關(guān)系．[解](1)與直線B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.(2)與平面BC′平行的平面為平面AD′.1．在本例中其他條件不變，(1)與直線B′C′垂直的平面有哪幾個？(2)與平面BC′垂直的平面有哪幾個？[解](1)有平面AB′，平面CD′.(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC．2．本例中與棱A′D′相交的棱有哪幾條？它們與棱A′D′所成的角是多少？[解]有A′A，A′B′，D′D，D′C′.由于長方體六個面都是矩形，所以它們與棱A′D′所成角都是90°.3．本例中長方體的12條棱中，哪些可以用來表示平面A′B與平面D′C之間的距離？[解]A′D′，B′C′，BC，AD的長均可以表示．1．平行關(guān)系的判定(1)直線與直線的平行關(guān)系：如圖，在長方體的12條棱中，分成“長”“寬”“高”三組，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“長”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“寬”AD，BC，A1D1，B1C(2)直線與平面的平行關(guān)系：在長方體的12條棱及表面中，若棱所在的直線與某一平面不相交，就平行．(3)平面與平面的平行關(guān)系：長方體的對面相互平行．2．垂直關(guān)系的判定(1)直線與平面的垂直關(guān)系：在長方體的棱所在直線與各面中，若直線與平面有且只有一個公共點(diǎn)，則二者垂直．(2)平面與平面的垂直關(guān)系：在長方體的各表面中，若兩平面有公共點(diǎn)，則二者垂直．求點(diǎn)面距、線面距、面面距【例4】已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)C到平面BDD1B1A．1 B．eq\r(2)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)B[如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，AC⊥平面BDD1B1，∴CO即為點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離．又CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)·eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，∴點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為eq\r(2).]求點(diǎn)面距、線面距、面面距的方法(1)點(diǎn)面距：求點(diǎn)與面的距離的方法是過點(diǎn)作面的垂線，垂線段的長即為點(diǎn)面距．(2)線面距、面面距：求線面距、面面距的方法是轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)面距，轉(zhuǎn)化時留意點(diǎn)的位置的選?。甧q\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為C1D1，AB的中點(diǎn)，AB＝4，則MN與平面BCC1B1A．4 B．2eq\r(2)C．2 D．eq\r(2)(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，BB1，CC1，DD1的中點(diǎn)，AA1＝4，則平面ABCD與平面EFGH(1)C(2)2[(1)如圖，MN∥平面BCC1B1，∴MN與平面BCC1B1的距離為N到平面BCC1B1的距離．又N到平面BCC1B1的距離為NB＝eq\f(1,2)AB＝2，∴MN與平面BCC1B1的距離為2.(2)平面ABCD與平面EFGH的距離為eq\f(1,2)AA1＝eq\f(1,2)×4＝2.]學(xué)問：1．依據(jù)點(diǎn)、線、面之間的語言描述能夠正確的運(yùn)用符號語言表示它們之間的位置關(guān)系．2．在空間中，直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系：直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交,平行,異面))直線與平面的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與平面平行))平面與平面的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交,平行))方法：推斷兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義，在許多狀況下，定義就是一種常用的推斷方法．1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱AA1A．8條B．6條C．4條D．2條C[正方體共有12條棱，其中與AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3條，與AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4條，因此與棱AA1異面的棱有11－3－4＝4(條)，故選C．]2．能正確表示點(diǎn)A在直線l上且直線l在平面α內(nèi)的是()C[選項(xiàng)A只表示點(diǎn)A在直線l上；選項(xiàng)D表示直線l與平面α相交于點(diǎn)A；選項(xiàng)B中的直線l有部分在平行四邊形的外面，所以不能表示直線在平面α內(nèi)，故選C．]3．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面D[可參考長方體中各條線的位置關(guān)系推斷．]4．(一題兩空)線段AB長為5cm，在水平面上向右移動4cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動3cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動4