2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章三角函數(shù)7.2任意角的三角函數(shù)7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式學(xué)案含解析新人教B版必修第三冊

PAGE1-7．2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式[課程目標(biāo)]1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2．會(huì)運(yùn)用以上兩個(gè)基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值和證明．3．通過學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，相識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培育辯證唯物主義觀．[填一填]1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常見變形同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形有：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝cosαtanα，cosα＝eq\f(sinα,tanα)(tanα≠0)，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，eq\r(sin2α＋cos2α)＝1等．在三角函數(shù)的求值、化簡和證明中常常用到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其變形公式，要留意敏捷運(yùn)用，駕馭一些轉(zhuǎn)化技巧，如“1”的代換(1＝sin2α＋cos2α)，化切為弦eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)))，化弦為切eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝tanα))等．[答一答]證明三角恒等式有哪些常用方法？提示：證明恒等式的過程就是通過轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊的差異來促成統(tǒng)一的過程，證明方法常用如下幾種：(1)從不等式的一邊證得它的另一邊，一般從比較困難的一邊起先化簡到另一邊，其依據(jù)是等式的傳遞性；(2)綜合法：由一個(gè)已知等式或公式恒等變形得到要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想；(3)證明左、右兩邊都等于同一個(gè)式子(或值)，其依據(jù)是等式的傳遞性；(4)差比法：證明“左邊－右邊＝0”類型一利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求值[例1]已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．[分析]由tanα得出sinα與cosα的關(guān)系，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1，即可得出答案．[解]∵tanα＝－2，∴α是其次、四象限角，又由tanα＝－2得sinα＝－2cosα.(1)當(dāng)α為其次象限角時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－2cosα，,sin2α＋cos2α＝1))?5cos2α＝1，∵cosα<0，∴cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝eq\f(2\r(5),5).(2)當(dāng)α為第四象限角時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－2cosα，,sin2α＋cos2α＝1))?5cos2α＝1，∵cosα>0，∴cosα＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝－2×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(2\r(5),5).綜合(1)(2)知：當(dāng)α為其次象限角時(shí)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，當(dāng)α為第四象限角時(shí)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5).同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了同角之間的三角函數(shù)關(guān)系，其最基本的應(yīng)用是“知一求二”，要留意角所在象限，必要時(shí)必需進(jìn)行探討，另外在本例中要留意體會(huì)方程思想的應(yīng)用.[變式訓(xùn)練1]已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．解：∵cosα＝－eq\f(8,17)<0，∴α是其次或第三象限的角．假如α是其次象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).假如α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).類型二條件求值命題視角1：化簡代入求值[例2]已知tanα＝－eq\f(1,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)2sin2α－eq\f(3,2)sinαcosα＋5cos2α；(3)eq\f(1,1－sinαcosα).[分析]由于已知條件為切，所求式為弦，故應(yīng)想方法將切化弦，或?qū)⑾一?這是一種分析綜合的思想)．若切化弦，應(yīng)把條件tanα＝eq\f(sinα,cosα)代入所求式，消去其中一種函數(shù)名，再進(jìn)一步求值；若弦化切，應(yīng)把所求式化成用tanα表示的式子，一般來說，關(guān)于sinα和cosα的齊次式都可化為以tanα表示的式子．[解](1)原式＝eq\f(4tanα－2,5＋3tanα)＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－2,5＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝－eq\f(5,6).(2)原式＝eq\f(2sin2α－\f(3,2)sinαcosα＋5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－\f(3,2)tanα＋5,tan2α＋1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2－\f(3,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋5,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＋1)＝eq\f(103,20).(3)原式＝eq\f(sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α－sinαcosα)＝eq\f(tan2α＋1,tan2α＋1－tanα)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝eq\f(10,13).第3題對分母中常數(shù)“1”的處理是利用平方關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為sin2α＋cos2α，從而將分母轉(zhuǎn)化為sinα和cosα的齊次式，這是處理三角變換中常常用到的方法.[變式訓(xùn)練2]已知3sinα－2cosα＝0，求下列各式的值．(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.解析：(1)∵3sinα－2cosα＝0，∴tanα＝eq\f(2,3)，cosα≠0，eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＋eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq\f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq\f(26,5).(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(sin2α－2sinαcosα＋4cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－2tanα＋4,tan2α＋1)＝eq\f(\f(4,9)－\f(4,3)＋4,\f(4,9)＋1)＝eq\f(28,13).命題視角2：依據(jù)和差求值[例3]已知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(2),3)(0<θ<π)，求tanθ的值．[解]∵sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(2),3)，∴兩邊平方得sinθcosθ＝－eq\f(7,18).又∵0<θ<π，∴eq\f(π,2)<θ<π.∴sinθ－cosθ＝eq\r(sinθ－cosθ2)＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\f(4,3).∴解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(2),3)，,sinθ－cosθ＝\f(4,3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(2)＋4,6)，,cosθ＝\f(\r(2)－4,6).))∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(－9－4\r(2),7).1.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：sinα±cosα2＝1±2sinαcosα.2.求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要留意推斷它們的符號(hào).[變式訓(xùn)練3]已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，計(jì)算下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3α＋cos3α.解：(1)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，∴sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(1,9).∴2sinαcosα＝－eq\f(8,9).∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(8,9)＝eq\f(17,9).∴sinα－cosα＝±eq\f(\r(17),3).(2)∵sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，又由(1)知，sinαcosα＝－eq\f(4,9)，且sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，∴sin3α＋cos3α＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,9)))＝eq\f(1,3)×eq\f(13,9)＝eq\f(13,27).類型三三角函數(shù)式的證明[例4]求證：eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).[分析]方法1：因?yàn)橛疫叿帜笧閏osα，故可將左邊分子、分母同乘cosα，整理化簡即可．方法2：只要證明左式－右式＝0即可．[證明]證法1：左邊＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sinα1＋sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊，∴原式成立．證法2：∵eq\f(cosα,1－sinα)－eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(cos2α－1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－cos2α,cosα1－sinα)＝0，∴eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).關(guān)于三角恒等式的證明，一般方法有以下幾種：(1)從一邊起先，證得它等于另一邊，一般由繁到簡．(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．(3)比較法，即證明“左邊－右邊＝0”或“eq\f(左邊,右邊)＝1”．(4)分析法，從被證的等式動(dòng)身，逐步探求使等式成立的條件，始終到成立的條件為已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以判定原式成立．[變式訓(xùn)練4]求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).證明：∵右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，∴原等式成立．類型四綜合問題[例5]設(shè)α是第三象限角，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得sinα，cosα是關(guān)于x的方程8x2－6mx＋2m＋1＝0的根？若存在，求出實(shí)數(shù)m[分析]此類題型的求解，一般地，我們先假設(shè)存在，再在此基礎(chǔ)上求解出m的值，符合條件則存在，不符合則不存在．[解]不存在．設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)m滿意條件，由題設(shè)得Δ＝36m2－32(2m＋1)sinα＋cosα＝eq\f(3,4)m，②sinα·cosα＝eq\f(2m＋1,8)>0.③又∵sin2α＋cos2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1.④把②③代入④得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)m))2－2×eq\f(2m＋1,8)＝1，即9m2－8m－20＝0.解得m1＝2，m2＝－eq\f(10,9).∵m1＝2不滿意條件①，m2＝－eq\f(10,9)不滿意條件③，故這樣的實(shí)數(shù)m不存在．[變式訓(xùn)練5]已知sinα，cosα為方程4x2－4mx＋2m－1＝0的兩個(gè)實(shí)根，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，求m及α的值．解：因?yàn)閟inα，cosα為方程4x2－4mx＋2m所以m2－2m＋1≥0且sinα＋cosα＝m，sinαcosα＝eq\f(2m－1,4)，代入(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα，得m＝eq\f(1±\r(3),2).又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sinα·cosα＝eq\f(2m－1,4)<0，即m<eq\f(1,2)，所以sinα＋cosα＝m＝eq\f(1－\r(3),2)，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2).又因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以α＝－eq\f(π,3).1．α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，則sinα＝(D)A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(5,13) D．－eq\f