《備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習》課件-第七章-第2節(jié)-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課程標準要求1.借助長方體模型,在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的基本事實和定理.3.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.必備知識·課前回顧關(guān)鍵能力·課堂突破必備知識·課前回顧回歸教材夯實四基知識梳理1.四個基本事實基本事實1:過

的三個點,有且只有一個平面.基本事實2:如果一條直線上的

在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們

過該點的公共直線.基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線

.不在一條直線上兩個點有且只有一條平行2.用集合語言描述點、線、面間的關(guān)系(1)點與平面的位置關(guān)系點A在平面α內(nèi),記作

;點A不在平面α內(nèi),記作

.(2)點與直線的位置關(guān)系點A在直線l上,記作

;點A不在直線l上,記作

.(3)直線與平面的位置關(guān)系直線l在平面α內(nèi),記作

;直線l不在平面α內(nèi),記作

.(4)平面α與平面β相交于直線a,記作

.(5)直線l與平面α相交于點A,記作

.(6)直線a與直線b相交于點A,記作

.A∈αA?αA∈lA?ll?αl?αα∩β=al∩α=Aa∩b=A3.空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系任何(2)異面直線所成的角①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a,b′∥b,把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(3)等角定理如果空間中兩個角的

,那么這兩個角相等或互補.兩條邊分別對應(yīng)平行4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α=A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β=l無數(shù)個重要結(jié)論1.基本事實的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面;推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面;推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.2.異面直線判定的一個方法過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.對點自測D1.α是一個平面,m,n是兩條直線,A是一個點,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,則m,n的位置關(guān)系不可能是(

)A.垂直 B.相交

C.異面 D.平行解析:依題意,m∩α=A,n?α,所以m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行.故選D.C2.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b(

)A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線解析:由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線,但不可能為平行直線,若b∥c,則a∥b,與已知a,b為異面直線相矛盾.故選C.C3.已知平面α和直線l,則α內(nèi)至少有一條直線與l(

)A.平行 B.相交

C.垂直 D.異面解析:當直線l與平面α斜交時,在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線,所以A錯誤;當l?α時,在平面α內(nèi)不存在與l異面的直線,所以D錯誤;當l∥α時,在平面α內(nèi)不存在與l相交的直線,所以B錯誤;無論哪種情形在平面α內(nèi)都有無數(shù)條直線與l垂直.故選C.4.如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為正方形.

解析:(1)因為四邊形EFGH為菱形,所以EF=EH,所以AC=BD.答案:(1)AC=BD

(2)AC=BD且AC⊥BD關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點落實四翼考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用1.(多選題)下列命題中正確的有(

)A.一條直線和一個點可以確定一個平面B.經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面C.過兩條平行直線有且只有一個平面D.分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交,則交點一定在兩個平面的交線上BCD解析:對于A選項,當這個點在直線上時,無法確定一個平面,故A錯誤;對于B,C選項,均為基本事實的推論,故B,C正確;對于D選項,交點分別在兩條直線上,也分別在兩個平面內(nèi),必然在交線上,故D正確.故選BCD.D2.下列命題正確的是(

)A.兩個平面如果有公共點,那么一定相交B.兩個平面的公共點一定共線C.兩個平面有3個公共點一定重合D.過空間任意三點,一定有一個平面解析:如果兩個平面重合,則排除A,B兩項;兩個平面相交,則有一條交線,交線上任取三個點都是兩個平面的公共點,故排除C項;而D項中的三點不論共線還是不共線,則一定能找到一個平面過這三個點.故選D.3.如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求證:E,F,G,H四點共面;證明:(2)因為EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC,所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC,所以P為平面ABC與平面ADC的公共點.又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC,所以P,A,C三點共線.3.如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(2)設(shè)EG與FH交于點P,求證:P,A,C三點共線.題后悟通1.判斷、證明點或線共面問題的兩種方法(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).(2)將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.2.判斷、證明點共線問題的兩種方法(1)先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上.(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上.3.判斷、證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線相交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.例1-1(1)如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則(

)A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線考點二空間兩條直線的位置關(guān)系角度一兩條直線位置關(guān)系的判定答案:(1)B(2)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有

(填序號).

解析:(2)①中GH∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所以直線GH與MN必相交;②④中直線GH與MN是異面直線.答案:(2)②④解題策略在直接判斷不好處理的情況下,反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體:正方體、空間四邊形等)和特例排除法是解決此類問題的三種常用便捷方法.例1-2角度二異面直線所成的角

解題策略求異面直線所成角的方法(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.(2)求異面直線所成角的三步曲:“一作、二證、三求”.①一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角;④其中空間選點任意,但要靈活,經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”,通過作三角形的中位線、平行四邊形等進行平移,作出異面直線所成的角,轉(zhuǎn)化為解三角形問題,進而求解.[針對訓練]1.如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為(

)A.1 B.2C.3 D.4解析:還原的正方體如圖所示,是異面直線的共三對,分別為AB與CD,AB與GH,EF與GH.故選C.2.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1,側(cè)棱長為,則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角的大小是

.

解析:如圖所示,連接A1B,可知A1B∥E1D,所以∠A1BC1是異面直線E1D與BC1所成的角(或其補角).連接A1C1,可求得A1C1=C1B=BA1=,所以∠A1BC1=60°,即側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是60°.答案:60°備選例題例2如圖,三棱錐A-BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上,F在棱CD上,并使AE∶EB=CF∶FD=m(m>0),設(shè)α為異面直線E