2025年人教版高一數(shù)學下冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年人教版高一數(shù)學下冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、設m；n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，有以下四個命題。

①

②

③

④

其中錯誤的命題是（）

A.①②

B.①③

C.②③

D.②④

2、【題文】設全集集合則()A.B.C.D.3、已知則（）A.B.C.D.4、已知角α的終邊上一點的坐標為（），角α的最小正值為（）A.B.C.D.5、已知tan婁脠=2

則sin婁脠sin3胃+cos3胃=(

)

A.109

B.97

C.710

D.910

評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)6、已知△ABC的一內(nèi)角為120°，并且三邊長構成公差為2的等差數(shù)列，則△ABC的面積為____．7、【題文】函數(shù)的最小值為_________.8、【題文】．給出以下四個結(jié)論。

（1）函數(shù)的對稱中心是

（2）若關于的方程在沒有實數(shù)根，則的取值范圍是

（3）已知點與點在直線兩側(cè)，當且時，的取值范圍為

（4）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則的最小值是其中正確的結(jié)論是：____9、【題文】已知函數(shù)則=____。10、已知兩直線l1：（a+1）x-2y+1=0，l2：x+ay-2=0垂直，則a=______．評卷人得分三、解答題(共6題，共12分)11、根據(jù)給出的程序語言；畫出程序框圖，并計算程序運行后的結(jié)果．

12、某中學團委組織了“弘揚奧運精神；愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），，[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問題：

（1）求第四小組的頻率；并補全這個頻率分布直方圖；

（2）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；

（3）從成績是[40；50）和[90，100]的學生中選兩人，求他們在同一分數(shù)段的概率．

13、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中=（1，2），=（-2，3），=（-2；m）．

（1）若⊥（）求||；

（2）若k+與2-共線，求k的值．14、已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+婁脨3)鈭?3sin2x+sinxcosx

(1)

求函數(shù)f(x)

的最小正周期；

(2)

求f(x)

的最小值及取得最小值時相應的x

的值；

(3)

若當x隆脢[婁脨12,7婁脨12]

時，f(x)

的反函數(shù)為f鈭?1(x)

求f鈭?鈭?1(1)

的值．15、tan婁脕+1tan偽=94

則求tan2婁脕+1sin偽cos偽+1tan2偽

的值．16、某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐；對[25,55]

歲的人群隨機抽取n

人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如表統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

。組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200.6第二組[30,35)195p第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)a0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55]150.3(1)

補全頻率分布直方圖并求nap

的值(

直接寫結(jié)果)

(2)

從年齡段在[40,50)

的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6

人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2

人作為領隊，求選取的2

名領隊中至少有1

人年齡在[45,50)

歲的概率．評卷人得分四、證明題(共4題，共12分)17、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．18、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．19、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．評卷人得分五、計算題(共2題，共16分)21、（2005?蘭州校級自主招生）已知四邊形ABCD是正方形，且邊長為2，延長BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如圖），則△BDF的面積等于____．22、已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx-3（a≠0）滿足f（2）=f（4），則f（6）=____．評卷人得分六、綜合題(共3題，共21分)23、如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是（0，），以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c恰好經(jīng)過x軸上A；B兩點．

（1）求A；B，C三點的坐標；

（2）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式．24、（2012?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）如圖，在坐標平面上，沿著兩條坐標軸擺著三個相同的長方形，其長、寬分別為4、2，則通過A，B，C三點的拋物線對應的函數(shù)關系式是____．25、如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果；那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中；若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？

（2）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、D【分析】

A選項的命題正確；因為由平行于同一個平面的兩個平面平行，知由α∥β，α∥γ，可得出β∥γ；

B選項命題不正確；因為在“α⊥β，m?β，”條件中缺少m垂直于兩個平面的交線這個條件，故不滿足面面垂直的性質(zhì)定理，不能得m⊥α；

C選項命題正確；因為與同一個平面垂直和平行的兩線m，n的位置關系一定是垂直的；

D選項命題不正確；因為當“m∥α，n?α”時，兩直線m，n的關系可以是平行或者異面．

綜上知A其中錯誤的命題是②④．

故選D．

【解析】【答案】本題是一個研究空間中線面之間位置關系的問題；由相關的定理與性質(zhì)對四個選項進行判斷，得到正確選項．

2、D【分析】【解析】解：因為全集集合則選D【解析】【答案】D3、D【分析】【解答】選D.4、D【分析】【解答】解：=

∴角α的終邊在第四象限。

∵到原點的距離為1

∴

∴α的最小正值為

故選D

【分析】將點的坐標化簡，據(jù)點的坐標的符號判斷出點所在的象限，利用三角函數(shù)的定義求出角α的正弦，求出角α的最小正值5、A【分析】解：隆脽sin婁脠cos婁脠=sin婁脠cos婁脠sin2胃+cos2胃=tan婁脠tan2胃+1=24+1=25

隆脿sin婁脠sin3胃+cos3胃=sin婁脠(sin胃+cos胃)(1鈭?sin胃cos胃)=tan婁脠(tan胃+1)鈰?(1鈭?sin胃cos胃)

=2(2+1)脳(1鈭?25)=109

故選：A

．

先利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sin婁脠cos婁脠

的值；再利用立方和公式化簡所給的式子，從而求得結(jié)果．

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系的應用，立方和公式，屬于基礎題．【解析】A

二、填空題(共5題，共10分)6、略

【分析】

設三角形的三邊分別為x-2；x，x+2；

則cos120°==-

解得x=5；

所以三角形的三邊分別為：3；5，7

則△ABC的面積S=×3×5sin120°=．

故答案為：．

【解析】【答案】因為三角形三邊構成公差為2的等差數(shù)列；設中間的一條邊為x，則最大的邊為x+2，最小的邊為x-2，根據(jù)余弦定理表示出cos120°的式子，將各自設出的值代入即可得到關于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的邊長，然后利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

7、略

【分析】【解析】

試題分析：

所以，當即時，取得最小值

所以答案應填：

考點：1、對數(shù)的運算；2、二次函數(shù)的最值.【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】對(3),有畫出平面區(qū)域可知:的取值范圍為【解析】【答案】(3)9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】解：由兩直線垂直可知系數(shù)滿足（a+1）-2a=0；∴a=1．

故答案為：1．

由已知得（a+1）-2a=0；由此能求出a．

本題考查實數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意直線與直線垂直的性質(zhì)的合理運用．【解析】1三、解答題(共6題，共12分)11、略

【分析】

程序框圖：

模擬程序運行：

當j=1時，n=1，

當j=2時；n=1；

當j=3時；n=1；

當j=4時；n=2；

當j=8時；n=2；

當j=11時；n=2；

當j=12時；此時不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)。

程序運行后的結(jié)果是：2．

【解析】【答案】根據(jù)已知中的給出的程序語言；可知其流程包含了選擇結(jié)構和循環(huán)結(jié)構，循環(huán)的條件是j≤11，故利用選擇結(jié)構和循環(huán)結(jié)構畫出流程圖即可，另外，我們模擬程序的運行結(jié)果，分別討論j=1，2，3，4，5時，變量n的值，及繼續(xù)循環(huán)的條件是否滿足，當繼續(xù)循環(huán)的條件不滿足時，即可得到輸出結(jié)果n．

12、解：（1）第一小組的頻率為0.010×10=0.1，第二小組的頻率為0.015×10=0.15，第三小組的頻率為0.015×10=0.15，第五小組的頻率為0.025×10=0.25，第六小組的頻率為0.005×10=0.05，所以第四小組的頻率為1﹣0.1﹣0.15﹣0.15﹣0.25﹣0.05=0.3．

頻率/組距=0.3÷10=0.03，故頻率分布直方圖如圖

（2）平均分超過60分的頻率為0.15+0.25+0.05+0.3=0.75，所以估計這次考試的及格率為75%．

第一組人數(shù)0.10×60=6，第二組人數(shù)0.15×60=9，第三組人數(shù)0.15×60=9，第四組人數(shù)0.3×60=18，第五組人數(shù)0.25×60=15，第六組人數(shù)0.05×60=3，

所以平均分為{#mathml#}16045×6+55×9+65×9+75×18+85×15+95×3

{#/mathml#}=71．

（3）成績在[40，50）的有6人，在[90，100]的有3人，從中選兩人有{#mathml#}c92=36

{#/mathml#}，他們在同一分數(shù)段的有{#mathml#}c62+c32=15+3=18

{#/mathml#}，

所以他們在同一分數(shù)段的概率是{#mathml#}1836=12

{#/mathml#}．

【分析】【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖的性質(zhì)求第四小組的頻率．（2）利用樣本進行總體估計．（3）根據(jù)古典概型的概率公式求概率．13、略

【分析】

（1）根據(jù)向量的坐標的運算法則和向量垂直的條件；以及模的定義即可求出．

（2）根據(jù)向量共線的條件即可求出．

本題考查了向量的坐標運算以及向量的垂直和平行，屬于基礎題．【解析】解：（1）∵=（1，2），=（-2，3），=（-2；m）；

∴+=（-4；3+m）；

∵⊥（）；

∴?（）=-4+2（3+m）=0；

解得m=-1；

∴=（-2；-1）；

∴||=

（2）由已知，k+=（k-2，2k-3），2-=（4；1）；

∵k+與2-共線；

∴1×（k-2）=4（2k-3）；

解得k=-2．14、略

【分析】

(1)

利用和差公式；三角函數(shù)的周期性即可得出．

(2)

利用三角函數(shù)的單調(diào)性最值即可得出；

(3)

利用互為反函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

本題考查了和差公式、三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的單調(diào)性最值、互為反函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【解析】解：(1)f(x)=2cosxsin(x+婁脨3)鈭?3sin2x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos婁脨3+cosxsin婁脨3)鈭?3sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+婁脨3)

隆脿f(x)

的最小正周期T=婁脨

(2)

當2x+婁脨3=2k婁脨鈭?婁脨2

即x=k婁脨鈭?5婁脨12(k隆脢Z)

時；f(x)

取得最小值鈭?2

．

(3)

令2sin(2x+婁脨3)=1

又x隆脢[婁脨2,7婁脨2]

隆脿2x+婁脨3隆脢[婁脨3,3婁脨2]隆脿2x+婁脨3=5婁脨6

則x=婁脨4

故f鈭?鈭?1(1)=婁脨4

．15、略

【分析】

由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系；求得要求式子的值．

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題．【解析】解：隆脽tan婁脕+1tan偽=94隆脿tan2婁脕+1sin偽cos偽+1tan2偽=(tan婁脕+1tan偽)2鈭?2+sin2婁脕+cos2婁脕sin偽cos偽=(94)2鈭?2+tan婁脕+1tan偽=8516

．16、略

【分析】

由題意及統(tǒng)計圖表，利用圖表性質(zhì)得第二組的頻率為1鈭?(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)隆脕5=0.3

在有頻率定義知高為0.35=0.6

在有頻率分布直方圖會全圖形即可。

本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．【解析】解：(1)

第二組的頻率為1鈭?(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)=0.3

所以高為0.35=0.06.(3

分)

n=1000a=60p=0.65(6

分)

(2)隆脽[40,45)

歲年齡段的“低碳族”與[45,50)

歲年齡段的“低碳族”的比值為6030=21

所以采用分層抽樣法抽取6

人；[40,45)

歲中有4

人，[45,50)

歲中有2

人．

設[40,45)

歲中的4

人為abcd[45,50)

歲中的2

人為mn

則選取2

人作為領隊的有。

(a,b)(a,c)(a,d)(a,m)(a,n)(b,c)(b,d)(b,m)

(b,n)(c,d)(c,m)(c,n)(d,m)(d,n)(m,n)

共15

種；

其中至少有1

人年齡在[45,50)

歲的有(a,m)(a,n)(b,m)(b,n)

(c,m)(c,n)(d,m)(d,n)(m,n)

共9

種．

隆脿

選取的2

名領隊中至少有1

人年齡在[45,50)

歲的概率為p=35(12

分)

四、證明題(共4題，共12分)17、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．18、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．19、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】（1）關鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．五、計算題(共2題，共16分)21、略

【分析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知三角形BDC為等腰直角三角形，由正方形的邊長為2，表示出三角形BDC的面積，四邊形CDFE為直角梯形，上底下底分別為小大正方形的邊長，高為小正方形的邊長，利用梯形的面積公式表示出梯形CDFE的面積，而三角形BEF為直角三角形，直角邊為小正方形的邊長及大小邊長之和，利用三角形的面積公式表示出三角形BEF的面積，發(fā)現(xiàn)四邊形CDEF的面積與三角形EFB的面積相等，所求△BDF的面積等于三角形BDC的面積加上四邊形CDFE的面積減去△EFB的面積即為三角形BDC的面積，進而得到所求的面積．【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形；邊長為2；

∴BC=DC=2；且△BCD為等腰直角三角形；

∴△BDC的面積=BC?CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四邊形CDFE的面積是（EF+CD）?EC，△EFB的面積是（BC+CE）?EF；

∴四邊形CDFE的面積=△EFB的面積；

∴△BDF的面積=△BDC的面積+四邊形CDFE的面積-△EFB的面積=△BDC的面積=2．

故答案為：2．22、略

【分析】【分析】先把x=2代入得出一個方程，再把x=4得出一個方程，根據(jù)f（2）=f（4），即可得出f（6）=的值．【解析】【解答】解：∵f（x）=ax2+bx-3；

∴x=2時，f（2）=4a+2b-3；

x=4時，f（4）=16a+4b-3；

∵f（2）=f（4）；

∴4a+2b-3=16a+4b-3；

∴6a+b=0；

∵f（6）=36a+6b-3=6（6a+b）-3=-3；

故答案為-3．六、綜合題(共3題，共21分)23、略

【分析】【分析】（1）過C作CE⊥AB于E；根據(jù)拋物線的對稱性知AE=BE；由于四邊形ABCD是菱形，易證得Rt△OAD≌Rt△EBC，則OA=AE=BE，可設菱形的邊長為2m，則AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出m的值，由此可確定A；B、C三點的坐標；

（2）根據(jù)（1）題求得的三點坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．【解析】【解答】解：（1）由拋物線的對稱性可知AE=BE．

∴△AOD≌△BEC．

∴OA=EB=EA．

設菱形的邊長為2m；在Rt△AOD中；

m2+（）2=（2m）2；解得m=1