初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題11是偶然還是必然-概率初步

專題11是偶然還是必然—概率初步閱讀與思考統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上作出推斷的學(xué)科．在自然界和人類社會(huì)中，嚴(yán)格確定性的現(xiàn)象十分有限，不確定性現(xiàn)象卻是大量存在的，而概率正是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)描述．?dāng)?shù)學(xué)中用概率來(lái)表示事件發(fā)生的機(jī)會(huì)大小，概率是一個(gè)比值，用字母P表示，計(jì)算公式是：事件發(fā)生的概率P=在具體的計(jì)算中，常用到樹(shù)形圖、列表、窮舉等方法．統(tǒng)計(jì)與概率互為基礎(chǔ)，概率這一概念是建立在概率這一統(tǒng)計(jì)量穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上的，而推斷、估計(jì)等統(tǒng)計(jì)方法的科學(xué)性有賴于概率理論的嚴(yán)密性．例題與求解【例1】一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8．同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)之和為7的概率是．（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解題思路：用列表法列出所有情形．【例2】一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)；否則不算過(guò)關(guān)．現(xiàn)有下列說(shuō)法：①過(guò)第一關(guān)是必然事件；②過(guò)第二關(guān)的概率是；③可以過(guò)第四關(guān)；④過(guò)第五關(guān)的概率大于0．其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)解題思路：對(duì)于（2），在理解“過(guò)關(guān)”意義的基礎(chǔ)上，逐步計(jì)算相關(guān)概率．【例3】如圖，用紅、藍(lán)、黃三色將圖中區(qū)域A，B，C，D染色，要求有公共邊界的相鄰區(qū)域不能染相同的顏色，則滿足區(qū)域A恰好染藍(lán)色的概率為．解題思路：用樹(shù)形圖列出所有可能情形，或從整體考慮．【例4】小明準(zhǔn)備給小陳打電話，由于保管不善，電話本上的小陳手機(jī)號(hào)碼中，有兩個(gè)數(shù)字已模糊不清．如果用x，y表示這兩個(gè)看不清的數(shù)字，那么小陳的手機(jī)號(hào)碼為139x370y580（手機(jī)號(hào)碼由11個(gè)數(shù)字組成），小明記得這11個(gè)數(shù)字之和是20的整數(shù)倍．求小明一次撥對(duì)小陳手機(jī)號(hào)碼的概率．解題思路：建立關(guān)于x，y的不定方程，由此可得x，y可能的對(duì)應(yīng)值的所有情況．【例5】楊華與李紅用五張相同規(guī)格的硬幣紙片做拼圖游戲．硬紙片正面如下圖1所示，背面完全一致．將它們背面朝上洗勻后，同時(shí)抽出兩張．規(guī)則如下：當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時(shí)，楊華得1分；當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時(shí)，李紅得1分；問(wèn)題：游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；若你認(rèn)為不公平，如何修改游戲規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公平？解題思路：游戲?qū)﹄p方公平是指雙方積分相同．解題的關(guān)鍵是分別求出楊華、李紅的得分．【例6】一個(gè)正三角形ABC的每一個(gè)角各有一只螞蟻，每只螞蟻開(kāi)始朝另一只螞蟻?zhàn)鲋本€運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)角是隨機(jī)選擇．求螞蟻不相撞的概率．（微軟公司招聘面試試題）解題思路：三只螞蟻在每個(gè)角上都有兩種選擇的方向（順時(shí)針或逆時(shí)針），因每只螞蟻選擇的不確定性，故組成的各種情形似乎繁雜．出題用意就在于考查應(yīng)試者摒除習(xí)慣因素的干擾、切中要害、化繁為簡(jiǎn)的能力．

能力訓(xùn)練A級(jí)1．如圖1，圖中有一個(gè)黑球，圖2有3個(gè)同樣大小的球疊成的圖形，最下一層的2個(gè)球?yàn)楹谏溆酁榘咨?；圖3為6個(gè)同樣大小的球疊成德圖形，最下一層的3個(gè)球?yàn)楹谏?，其余為白色；…則從第n個(gè)圖中隨機(jī)取一個(gè)球，是黑球的概率為．（株洲市中考試題）2．有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將他們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為a，則使關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解的概率為．（重慶市中考試題）3．小丁、小明、小倩在一起做游戲時(shí)，需要確定做游戲的先后順序．他們約定用“剪刀、布、錘子”的方式確定．那么，在一個(gè)回合中三個(gè)人都出“布”的概率是．（海南省中考試題）對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)凸四邊形ABCD，現(xiàn)從以下四個(gè)關(guān)系式①AB=CD；②AD=BC；③AB//CD；④∠A=∠C中任取兩個(gè)作為條件，能夠得出這個(gè)四邊形ABCD是平行四邊形的概率是．（廣州市中考試題）5．在0，1，2三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，組成兩位數(shù)，則在組成的兩位數(shù)中是奇數(shù)的概率為（）A． B．C． D．（泰安市中考試題）6．從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的五張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率為（）A． B．C． D．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7．經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車，可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)．若這三種可能性大小相同，則兩汽車經(jīng)過(guò)該十字路口全部繼續(xù)直行的概率為（）A． B．C． D．（呼和浩特市中考試題）8．盒子里有十個(gè)球，每個(gè)球上寫有1～10中的一個(gè)數(shù)字，不同的球上數(shù)字不同，其中兩個(gè)球上的數(shù)字之和可能是3，4，…，19．現(xiàn)從盒中隨意取兩個(gè)球，這兩個(gè)球上的數(shù)之和最有可能出現(xiàn)的是（）A．2 B．10C．11 D．209．一個(gè)口袋中有三個(gè)黑球和若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，小明為估計(jì)其中的白球數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色，……不斷重復(fù)上訴過(guò)程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明可估計(jì)口袋中的白球大約有（）A．18個(gè) B．15個(gè)C．12個(gè) D．10個(gè)（青島市中考試題）10．“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．小亮同學(xué)隨機(jī)地在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是2和1，則針扎到小正方形（陰影）區(qū)域的概率是（）A． B．C． D．（臨沂市中考試題）11．有四張卡片（背面完全相同），分別寫有數(shù)字1，2，-1，-2．把它們背面朝上洗勻后，甲同學(xué)抽取一張，記下這個(gè)數(shù)字后放回洗勻，乙同學(xué)再?gòu)闹谐槌鲆粡?，記下這個(gè)數(shù)字．用字母b，c分別表示甲、乙兩同學(xué)抽出的數(shù)字．（1）用列表法求關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解的概率；（2）求（1）中方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率．12．將背面完全相同，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片混合后，小明從中隨機(jī)地抽取一張，把卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；將形狀、大小完全相同，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三個(gè)小球混合后，小華從中隨機(jī)地抽取一個(gè)，把小球上的數(shù)字作為減數(shù)，然后計(jì)算出這兩個(gè)數(shù)的差．（1）請(qǐng)你用畫樹(shù)形圖或列表的方法，求這兩個(gè)數(shù)差為0的概率；（2）小明與小華做游戲，規(guī)則是：若這兩數(shù)的差為非負(fù)數(shù)，則小明贏；否則，小華贏．你認(rèn)為該游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果不公平，請(qǐng)你修改游戲規(guī)則，使游戲公平．（重慶市中考試題）B級(jí)1．一只盒子中有紅球m個(gè)，白球10個(gè)，黑球n個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同．從中任取一個(gè)球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同．那么，m與n的關(guān)系是．（山東省競(jìng)賽試題）2．某廣場(chǎng)地面鋪滿了邊長(zhǎng)為36cm的正六邊形地磚．現(xiàn)在向上拋擲半徑為cm的圓碟，圓碟落地后與地磚間的間隙不相交的概率大約是．（太原市競(jìng)賽試題）3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)4×100m接力跑比賽．如果任意安排四位同學(xué)的跑步順序，那么，恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（）A． B．C． D．（浙江省競(jìng)賽試題）4．一條繩子被任意割成兩段，較長(zhǎng)的一段至少是較短的一段的x倍的概率為（）A． B．C． D．E．（美國(guó)高中數(shù)學(xué)考試題）5．把一顆六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，若兩個(gè)正面朝上的編號(hào)分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（）A． B．C． D．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）6．長(zhǎng)為1，2，3，4，5的線段各一條，從這五條線段中任取三條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為（）A． B．C． D．7．一張數(shù)學(xué)游戲在兩個(gè)同學(xué)甲、乙之間進(jìn)行．裁判在黑板上先寫出正整數(shù)2，3，…，2006，然后隨意擦去一個(gè)數(shù)，接下來(lái)由乙、甲兩人輪流擦去其中一個(gè)數(shù)（即乙先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后甲再擦去另一個(gè)數(shù)，如此下去）．若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則判甲勝；否則，判乙勝．按照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率．（四川省競(jìng)賽試題）8．任意選擇一對(duì)有序整數(shù)(b，c)，其中每一個(gè)整數(shù)的絕對(duì)值小于或等于5，每一對(duì)這樣的有序整數(shù)被選擇的可能性是相等的．求方程沒(méi)有相異正實(shí)根的概率．（美國(guó)高中數(shù)學(xué)考試題）9．袋中有數(shù)字卡片九張，其數(shù)字分別為1～9．若隨機(jī)一次抽出三張，求被抽出的卡的數(shù)字全是奇數(shù)的概率．（香港中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）10．將20個(gè)球放入兩個(gè)袋中，每袋10個(gè)球，各袋中的球分別標(biāo)上自然數(shù)1～10，其中一袋中的球全是白色，另一袋中的球全為黑色．若從兩個(gè)袋中任意各取一個(gè)球，求白球上的數(shù)比黑球上的數(shù)大的概率．（香港中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）11．如圖，將三枚相同的硬幣依次放入一個(gè)4×4的正方形格子中（每個(gè)正方形格子只能放一枚硬幣）．求所放的三枚硬幣中，任意兩個(gè)都不同行且不同列的概率．（四川省競(jìng)賽試題）12．在一個(gè)口袋中有n個(gè)小球，其中兩個(gè)是白球，其余為紅球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同．在看不到球的情況下，從袋中隨機(jī)地取出一個(gè)球．（1）若取出的是紅球的概率為，求n的值；（2）在（1）的條件下，把這n個(gè)球中的兩個(gè)標(biāo)號(hào)為1，其余分別標(biāo)號(hào)為2，3，…，n-1，隨機(jī)地取出一個(gè)小球后不放回，再隨機(jī)地取出一個(gè)小球，請(qǐng)用列表法或樹(shù)形圖求第二次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第一次取出的小球標(biāo)號(hào)的概率；（3）若第（2）問(wèn)去掉“在（1）的條件下”，且第二次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第一次取出的小球標(biāo)號(hào)的概率為，求n的值．

專題11是偶然還是必然一概率初步例1P（朝上的面兩數(shù)之和為7）==，例2B提示：①②③正確.例3由樹(shù)形圖知，共有12種不同的染色情形，其中，A處染藍(lán)色共有4種情形，所求概率為=.例4手機(jī)號(hào)碼的數(shù)字之和為，設(shè)36+x+y=20k(k為正整數(shù))，則x+y=20k-36．又0≤x≤9，0≤y≤9．∴0≤z+y≤18，即0≤20k-36≤18，解得l.8≤k≤2.7，∵k為整數(shù)，∴k=2．從而x+y=4，(x，y)=(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．故小明一次撥對(duì)小陳手機(jī)號(hào)碼的概率為．例5(1)∵P（拼成電燈）=，P（拼成小人）=，P（拼成房子）=，P（拼成小山）=.∴楊華平均每次得分為（分），李紅平均每次得分為（分）．故游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平．(2)改為當(dāng)拼成的圖形是小人時(shí)楊華得3分，其余規(guī)則不變，就能使游戲規(guī)則對(duì)雙方公平．例6選擇一只螞蟻A作為參照標(biāo)準(zhǔn)，一旦A確定了自己的運(yùn)動(dòng)方向，那么其他螞蟻必須做相同方向的運(yùn)動(dòng)才能避免相撞，螞蟻B，C分別有的概率選擇與A相同的運(yùn)動(dòng)方向，故螞蟻避免撞到一起的概率為A級(jí)1．2．3．4．提示：其中①②、①③、③④可得出四邊形ABCD是平行四邊形．5．A6.C7．C8.C9．C10．C11．(1)P=(2)P=12．(1)P==(2)該游戲不公平．游戲規(guī)則改為：若這兩數(shù)的差為正數(shù)，則小明贏；否則，小華贏．B級(jí)1．m+n=102．提示：欲使圓碟不壓地磚間的間隙，則圓碟的圓心必須落在與地磚同心、邊與地磚邊彼此平行、距離為cm的小正六邊形內(nèi)，如圖，A2O=A1A2=36，作OC1⊥A1A2，C1C2=，A2C1=18,C1O=A2O=,C2O=C1O-C1C2=，又C2O=B2O,得BO2=24=B1B2.故P=．3.A提示：=．4．E提示：如圖，設(shè)AB是這種繩子，P是AB上一點(diǎn)，使得AP：PB=1：x．若AP=s，則PB=sx．所求截點(diǎn)在AP上的概率為，又因?yàn)榻攸c(diǎn)位于線段另一端B同樣距離的線段上的可能性是一樣的，則所求事件的概率是．5.C6．C提示：(2，3，4)，(2，4，5)滿足a2+b2<c2.7.解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)組進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，并根?jù)裁判擦去的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論：2，3，…，2006中有1002個(gè)奇數(shù)、l003個(gè)偶數(shù)．①若裁判擦去的是奇數(shù)，此時(shí)乙一定獲勝．因?yàn)橐也还芗撞潦裁磾?shù)，只要還有奇數(shù)就擦奇數(shù)，這樣，最后兩個(gè)數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)．②若裁判擦去的是偶數(shù)，此時(shí)甲一定獲勝．設(shè)裁判擦去的數(shù)是2m，則將所剩的數(shù)配成1002對(duì)：(2，3)，…，(2m-2，2m-1)，(2m+l，2m+2)，(2005，2006)．這樣，不管乙擦去哪一個(gè)數(shù)，甲都擦去所配對(duì)的數(shù)對(duì)中的另一個(gè)數(shù)，最后剩下的兩個(gè)數(shù)必互質(zhì)，故甲勝。故甲獲勝的概率為.8．從問(wèn)題的反面考慮，設(shè)方程x2+bx+c有兩相異的正實(shí)根x1，x2，則b2-4c>0，x1x2=c>0，x1+x2=-b>0，，．于是b=-3且c=1或2；或b=-4且c=1，2，3；或b=-5且c=1,2，3，4，5．因此，有10對(duì)有序整數(shù)可使方程有相異正實(shí)根，而可取的有序整數(shù)共有l(wèi)l2對(duì)．故所求的概率為．9．?dāng)?shù)字卡1,2,3，…，9中奇數(shù)卡有1,3,5,7,9，由這五個(gè)奇數(shù)中的三個(gè)奇數(shù)組成的所有不同的組合共有個(gè),而直接由數(shù)字卡1,2,3，…，9中取三張卡組成的所有不同的組合共有個(gè)，故從九張卡1,2，…，9中抽出三張卡全是奇數(shù)的概率為．10．首先確定白球、黑球上的數(shù)出現(xiàn)的概率，再將所得的結(jié)果相乘、相加即可．在白（黑）球的袋中任取一個(gè)球，取到數(shù)為110的球的機(jī)會(huì)是一樣的，因此取到各個(gè)球的概率都是，現(xiàn)假設(shè)從白球袋中取得的球上的數(shù)為10（概率為），要使從黑球袋中取得