高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）322雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（九大題型）

3．2．2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 7題型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 7題型二：雙曲線的漸近線 11題型三：求雙曲線離心率的值 14題型四：求雙曲線離心率的范圍 18題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系 22題型六：弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題 25題型七：中點(diǎn)弦問(wèn)題 30題型八：定點(diǎn)定值問(wèn)題 34題型九：最值問(wèn)題 39

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線（a>0，b>0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍，即或雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線和的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的．因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足或．對(duì)稱性對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（，），把換成，或把換成，或把、同時(shí)換成、，方程都不變，所以雙曲線（a>0，b>0）是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心．頂點(diǎn)①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)．②雙曲線（，）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)．③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)，為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段叫做雙曲線的虛軸．實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為，．叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上．③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．離心率①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．②因?yàn)?，所以雙曲線的離心率．由，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度．③等軸雙曲線，所以離心率．漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作y軸的平行線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作x軸的平行線，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是．我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交．知識(shí)點(diǎn)二、雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=離心率漸近線方程知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)弘p曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．對(duì)于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)三、雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．知識(shí)點(diǎn)四、雙曲線中，，的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，、、三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．雙曲線，如圖：（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；（4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、、和角結(jié)合起來(lái)．（5）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)五、直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，1、當(dāng)，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；2、當(dāng)，即時(shí)，設(shè)該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；注意：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切．知識(shí)點(diǎn)六、弦長(zhǎng)公式若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，則或（）．【方法技巧與總結(jié)】求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．5、利用判別式建立不等關(guān)系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．二、函數(shù)法：1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；2、通過(guò)確定函數(shù)的定義域；3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標(biāo)法：由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．【典型例題】題型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【典例11】（多選題）（2024·高二·河南南陽(yáng)·期中）已知雙曲線，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8C．雙曲線的焦距為D．雙曲線的離心率為【答案】BD【解析】因?yàn)?，，焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為8，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，所以雙曲線的焦距為，離心率為，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD.【典例12】（多選題）（2024·高二·云南昆明·期中）已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．的虛軸長(zhǎng)為6 B．的離心率為C．的漸近線方程為 D．點(diǎn)到的一條漸近線的距離為4【答案】AB【解析】由雙曲線的方程可知其虛軸長(zhǎng)為，故A正確；離心率為，故B正確；令，即其漸近線方程為，故C錯(cuò)誤；不妨設(shè)，則其到漸近線的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AB【變式11】（多選題）（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的離心率越大，橢圓越接近于圓 B．橢圓離心率越大，橢圓越扁平C．雙曲線離心率越大，開(kāi)口越寬闊 D．雙曲線離心率越大，開(kāi)口越狹窄【答案】BC【解析】對(duì)于AB，橢圓的離心率，故離心率越大，越小，因此橢圓越扁平，故A不正確，B正確；對(duì)于CD，雙曲線的離心率，故離心率越大，可得越大，因此雙曲線開(kāi)口越大，C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC．【變式12】（多選題）（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為2B．離心率為C．兩漸近線夾角的正切值不存在D．直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則【答案】ABC【解析】由雙曲線可得，所以實(shí)軸長(zhǎng)為，故A對(duì)；離心率為，故B對(duì)；令，可得漸近線方程為和，斜率分別為1和1，所以斜率之積為1，所以兩直線垂直，其夾角為，故兩漸近線夾角的正切值不存在，故C對(duì)；把直線代入雙曲線中，消y，得,當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線與雙曲線相交有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，即，解得，直線與雙曲線相切，有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則或，故D錯(cuò)；故選：ABC【變式13】（多選題）（2024·高二·河北邯鄲·期中）已知雙曲線C：（）的離心率，C的右支上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最短距離為1，則（

）A．雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．雙曲線C的漸近線方程為C．點(diǎn)在雙曲線C上D．直線與雙曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】雙曲線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為，離心率，所以，所以，所以雙曲線C的方程為，所以C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確．雙曲線C的漸近線方程為，B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以點(diǎn)在雙曲線C上，C正確．直線即，恒過(guò)點(diǎn)，即雙曲線的右頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線C的一條漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：AC【變式14】（多選題）（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．三角形的周長(zhǎng)是12B．若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C．若，則的位置不唯一D．若是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【答案】ACD【解析】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標(biāo)，半徑，A，，，，所以三角形的周長(zhǎng)是12，故A正確；B，由題意可設(shè)雙曲線的方程為或，變形為標(biāo)準(zhǔn)形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯(cuò)誤；C，，所以點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點(diǎn)是圓上點(diǎn)，畫(huà)出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值是，故D正確；故選：ACD.題型二：雙曲線的漸近線【典例21】（2024·高二·山東·期中）若雙曲線的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為.【答案】/【解析】由題意，即，可得，所以漸近線的斜率為，所以兩條漸近線的傾斜角為和，所以雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為.故答案為：.【典例22】（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）是雙曲線C：（）的一條漸近線，則雙曲線C的右焦點(diǎn)F到直線的距離為.【答案】4【解析】雙曲線（）的漸近線方程為，故，所以右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，F(xiàn)到直線的距離.故答案為：4.【變式21】（2024·高三·上?！るA段練習(xí)）若直線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與該雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為.【答案】【解析】雙曲線焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為：，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，且直線的斜率為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故答案為：【變式22】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線（，）兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的漸近線方程是【答案】【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，設(shè),，,，的中點(diǎn)坐標(biāo)為,；所以，，兩式相減得：，化簡(jiǎn)得：，由于點(diǎn),在直線上，則①，由于，所以，②，聯(lián)立①②得：，，代入，得到，所以漸近線的方程為．故答案為：．【變式23】（2024·高三·浙江金華·階段練習(xí)）若雙曲線的離心率為3，則該雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為．【答案】/【解析】由雙曲線的方程可得，解得，所以，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，所以，又雙曲線的離心率為3，所以，解得，所以，，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離.故答案為：.【變式24】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)作垂直于一條漸近線，垂足為，若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則．【答案】【解析】由題可得，漸近線方程為，不妨取，即，所以，所以，故答案為：．題型三：求雙曲線離心率的值【典例31】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為.【答案】【解析】令，則，在中，由余弦定理得，解得，則，令，在中，由余弦定理得，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：【典例32】（2024·高二·四川成都·期末）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為原點(diǎn)，若以為直徑的圓與的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，且，則的離心率為.【答案】2【解析】由以為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，可得，又，在中，由余弦定理，得，所以，根據(jù)直線OP為漸近線可得，所以，離心率.故答案為：2.【變式31】（2024·高二·吉林通化·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)，是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，且，線段的垂直平分線恰好是該雙曲線的一條漸近線，則離心率為.【答案】【解析】由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，得出，再根據(jù)題意，得出，又，所以，根據(jù)雙曲線定義：即，得到：，即離心率為．故答案為：【變式32】（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點(diǎn).若，則雙曲線C的離心率為.【答案】2【解析】易知關(guān)于x軸對(duì)稱，令，，∴，，∴，∴．，，，∴，∴．故答案為:2.【變式33】（2024·高二·廣東茂名·期中）過(guò)雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【解析】如圖，由，設(shè)直線的方程為，，由直線與圓相切，可得，解得，即直線的方程為，由，可得直線的方程為，與切線的方程聯(lián)立，可得，，由，可得，，若，則，化為，即，即為，則．故答案為：．【變式34】（2024·高二·安徽·期末）在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)中利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的入射光線經(jīng)雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是的右支上一點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn).由點(diǎn)出發(fā)的入射光線碰到點(diǎn)后反射光線為，法線（在光線投射點(diǎn)與分界面垂直的直線）交軸于點(diǎn)，此時(shí)直線起到了反射鏡的作用.若，則的離心率為.

【答案】43/【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)上有一點(diǎn)，由題意可得，，又，所以，所以，故，由雙曲線定義可得，故，因?yàn)?，，所以，故，故離心率為，故答案為：.題型四：求雙曲線離心率的范圍【典例41】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于點(diǎn)．若為線段的中點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】由題，，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，代入中，得，整理得，又，得，得．故答案為：.【典例42】（2024·高二·上?！て谥校┰O(shè)，是橢圓與雙曲線（，）的公共焦點(diǎn)，曲線，在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】由橢圓及雙曲線定義得，所以，因?yàn)?，由余弦定理得，同時(shí)除以得，因?yàn)?，，，所以，則，故答案為：【變式41】（2024·高二·浙江杭州·期中）我們把形如和的兩個(gè)雙曲線叫做共軛雙曲線設(shè)共軛雙曲線的離心率分別為，則的最大值是．【答案】【解析】由題知，共軛雙曲線和的半焦距相等，記為，則，所以，又，故設(shè)，所以，其中，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.【變式42】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.若有最大值，則雙曲線的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】由雙曲線的定義，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得，即，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，由點(diǎn)為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得直線的斜率小于漸近線的斜率，即，所以，即雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.【變式43】（2024·高二·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】連接，則，由切線長(zhǎng)定理可得，又，，所以所以，則設(shè)點(diǎn)Px,y，則，且，所以所以，故.故答案為：.【變式44】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在兩點(diǎn)，，使得，則的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，所以，離心率.故答案為：.【變式45】（2024·高三·江蘇南京·階段練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率為，若直線與無(wú)公共點(diǎn)，則e的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線（，）的漸近線為，因?yàn)?，要使直線與E無(wú)公共點(diǎn)，則，所以，，所以雙曲線的離心率的范圍所以滿足條件的離心率的范圍是，故答案為：題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系【典例51】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】或【解析】由消去y，整理得，當(dāng)時(shí)，由得；又注意到直線恒過(guò)點(diǎn)，且漸近線的斜率為時(shí)，直線與漸近線平行時(shí)也成立．故答案為：或【典例52】（2024·高二·遼寧鞍山·期末）平面內(nèi)，一條直線至多與雙曲線有個(gè)交點(diǎn).【答案】2【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，將其代入雙曲線方程，則，整理可得，顯然當(dāng)時(shí)，方程由兩個(gè)不相等的實(shí)根，則此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，將其代入雙曲線方程，則，整理可得，顯然當(dāng)，且時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故答案為：2.【變式51】（2024·高二·上?！て谥校┮阎p曲線(1)求該雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率與漸近線方程(2)根據(jù)的不同取值，討論直線與該雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)【解析】（1）由題意得，可得，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線為；（2）聯(lián)立方程，消去得，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，無(wú)交點(diǎn).【變式52】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】聯(lián)立直線和雙曲線方程，消去y得．整理得，若，則方程①變?yōu)?，無(wú)解，此時(shí)直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)．事實(shí)上，此時(shí)直線為，就是雙曲線的漸近線，自然與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)．若，即直線平行于兩條漸近線中的一條，方程①成為一元一次方程，有唯一解，原方程組有唯一一組解，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上可知，時(shí)，無(wú)公共點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)．【變式53】（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）判斷直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】由，可得，∴，∴直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.【變式54】（2024·高三·重慶南岸·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，求k的取值范圍.【解析】（1）雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,設(shè)雙曲線的方程為由,可得,由雙曲線過(guò)點(diǎn),可得,解得,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，化簡(jiǎn)得，則，假設(shè),則，解得.題型六：弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題【典例61】（2024·高二·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若P為線段的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng).【答案】【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過(guò)的直線為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；則，.弦長(zhǎng).故答案為：.【典例62】（2024·高二·全國(guó)·競(jìng)賽）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若使得的直線恰有條，則實(shí)數(shù).【答案】8【解析】雙曲線，則，，，則右焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^(guò)右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，使得的直線恰有條，由雙曲線的對(duì)稱性知必有一條弦垂直于軸或軸.若軸，由，解得或，所以，即，符合題意；若軸，由，解得或，此時(shí)，為最短弦長(zhǎng)，只有一個(gè)解，而不是三個(gè)解，不符合題意，故舍去，綜上可得.故答案為：【變式61】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，且離心率為．(1)求的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求．【解析】（1）因?yàn)榈碾x心率為，又的虛軸長(zhǎng)為2，所以，又，聯(lián)立解得，，所以的方程為，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（2）由（1）知，根據(jù)題意易得過(guò)的直線斜率存在，設(shè)的直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)橹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，解得，所以，則，則．【變式62】（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.【解析】（1）由題意得：，，，解得：，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，故或，故直線方程為或【變式63】（2024·高二·河南南陽(yáng)·期中）已知雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若上兩點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程；(3)過(guò)的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，且和分別與的右支交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，設(shè)的斜率為，求四邊形的面積（用表示）【解析】（1）依題意，雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，上兩點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由，兩式相減并化簡(jiǎn)得，所以直線的方程為.由消去得，，因此直線必與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線的方程為.（3）根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線，其中，因?yàn)榫c的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，將的方程與聯(lián)立，可得.設(shè)，則，所以，同理，所以,.【變式64】（2024·上海靜安·一模）設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線和直線的斜率都存在且分別為和，求證：；（2）若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積．【解析】（1）證明：法1：設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入雙曲線方程得：．設(shè)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，，所以，，．法2：設(shè)、，中點(diǎn)，則，且，（1）﹣（2）得：．因?yàn)?，直線和直線的斜率都存在，所以，等式兩邊同除以，得：，即．（2）由已知得，求得雙曲線方程為，直線斜率為，直線方程為，代入雙曲線方程可解得，中點(diǎn)坐標(biāo)為．面積．另線段中點(diǎn)在直線上．所以由中點(diǎn)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，即，解得（），所以．面積．題型七：中點(diǎn)弦問(wèn)題【典例71】（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為．【答案】【解析】設(shè)Ax1,則，，又，，兩式相減，得，即，整理得，直線l的斜率為，直線l的方程為，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故答案為：.【典例72】（2024·高二·全國(guó)·競(jìng)賽）與的左支交于兩點(diǎn)，直線過(guò)及中點(diǎn)，則在軸上截距范圍為．【答案】【解析】設(shè)，把代入整理得因?yàn)橹本€與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，故方程有兩負(fù)根．所以，所以.又因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以直線方程為，令，截距，由得．故答案為：【變式71】（2024·高二·江西·期末）已知點(diǎn)A，B，C是離心率為的雙曲線上的三點(diǎn)，直線的斜率分別是，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別是，若，則．【答案】3【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A，B在上，所以，兩式相減，得，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，所以，即，所以，同理，．因?yàn)椋裕?/p>

故答案為：3.【變式72】（2024·高二·廣東中山·期中）對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過(guò)點(diǎn)，，斜率為的直線過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)？為什么？【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入，，得，解得，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）如圖：設(shè)直線方程：，聯(lián)立得，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以或或.（或：且）.（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由（2）可得，若P為AB中點(diǎn)，則，此時(shí)，所以不存在實(shí)數(shù)，使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)..【變式73】（2024·高二·湖北孝感·階段練習(xí)）已知雙曲線C：．(1)若直線與雙曲線C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線l的方程．【解析】（1）雙曲線C的漸近線方程為，要使直線與雙曲線C有公共點(diǎn)，則有，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為．（2）設(shè)點(diǎn)，．∵點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)，∴，．由，兩式相減可得，，即，∴，∴直線l的斜率，∴直線l的方程為，即．【變式74】（2024·高二·陜西寶雞·期末）已知雙曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長(zhǎng)為2.(1)求雙曲線的方程;(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長(zhǎng)為2，所以，，所以雙曲線的方程為；（2）雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性可知，若線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率存在，設(shè)為，且，，可得直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，可得，設(shè)Ax則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.題型八：定點(diǎn)定值問(wèn)題【典例81】（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程;(2)如圖，若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且.求證:為定值；【解析】（1）因?yàn)椋?，所以雙曲線的方程為，即因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以所以所求雙曲線的方程為即（2）由題意可得直線OP的斜率存在，可設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，由，得，所以同理可得，，所以【典例82】（2024·高二·河北石家莊·期中）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于2，離心率，(1)求雙曲線方程；(2)過(guò)雙曲線上一點(diǎn)M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為，若直線AB過(guò)原點(diǎn)，判斷是否為定值?若是，求出定值．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題可得，，解得，所以雙曲線方程為.（2）是定值3，理由如下，設(shè)，則.【變式81】（2024·高二·江西宜春·階段練習(xí)）已知雙曲線C1過(guò)點(diǎn)(4，6)且與雙曲線C2：共漸近線，點(diǎn)Р在雙曲線C1上(不包含頂點(diǎn)).(1)求雙曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線C1與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，求直線PA，PB的斜率之積.【解析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，將(4，－)代入可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可設(shè)，A(，0)，B(，0)，P(，)，則，，而點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)，即.故.【變式82】（2024·高二·貴州六盤(pán)水·期末）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)分別為，，直線與直線的斜率之和為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，（在第一象限）兩點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，的重心在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）依題意左、右頂點(diǎn)分別為，，所以，解得，將代入得，解得，故雙曲線方程為；（2）設(shè)Px1,y1，Q將代入整理得，，∴，，又由，代入上式得，解得，，因?yàn)榈闹匦脑谳S上，所以，所以，代入雙曲線得，故或．【變式83】（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為且左右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線的斜率為，求弦長(zhǎng)MN；(3)記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．【解析】（1）由題意，雙曲線的焦距為，則，即，由，得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，直線的方程為，聯(lián)立，即，設(shè)，，則，，所以弦長(zhǎng).（3）證明：依題意，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，即，則，且，，即，而，，所以為定值.【變式84】（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，設(shè)直線，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以兩點(diǎn)在軸同側(cè)，所以．此時(shí)，即，所以．設(shè)，將代入拋物線方程，得，則，所以．所以．故當(dāng)時(shí)，為定值，所以，當(dāng)時(shí)，為定值．題型九：最值問(wèn)題【典例91】（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）已知雙曲線一條漸近線方程為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，(2)若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）由雙曲線一條漸近線方程為