高等教育D1-4乘法公式

第一章二、乘法公式一、條件概率第四節(jié)乘法公式三、事件的獨(dú)立性四、貝努利概型1一、條件概率對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究中，常遇到另一類概率計(jì)算問題.如：兩個(gè)足球隊(duì)比賽的勝負(fù)預(yù)測.

B={中國隊(duì)上半場負(fù)}，(1)考慮事件A發(fā)生的可能性大?。?2)事件B已發(fā)生,問事件A發(fā)生的可能性大?。緼={中國隊(duì)最終獲勝}21.引例:擲一顆均勻的骰子,B={擲出2

點(diǎn)}，A={擲出偶數(shù)點(diǎn)

}擲骰子容易看到可知大千世界中事物是相互聯(lián)系影響的，對(duì)隨機(jī)事件也不例外。3100件產(chǎn)呂中有5件不合格，其中3件是次品，2件是廢品，現(xiàn)從中任取一件，試求解：令A(yù)={抽得廢品}，B={抽得不合格品}.有1）抽得廢品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是廢品的概率p2.例1注意到有42.定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱A的條件概率.為在事件B發(fā)生的條件下,事件注意：P(A)

為無附加條件下A的概率，為無條件概率。為B出現(xiàn)條件下A出現(xiàn)的概率，為條件概率。它們的樣本空間是不同的。事實(shí)上，設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為n,B所包含的基本事件數(shù)為m(m>0),AB所包含的基本事件個(gè)數(shù)為k.有（

B成了新的樣本空間）

52.定義故A變成了新的樣本空間

設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱B的條件概率.為在事件A

發(fā)生的條件下,事件3.性質(zhì)1)對(duì)于任一事件B,2)3)設(shè)互不相容4)6例1甲、乙兩城市位于長江下游，根據(jù)氣象資料知：甲乙兩地一年中雨天占的比例分別為20％和18%.兩地同時(shí)下雨的比例為12％。求下列事件的概率：1、

已知乙地為雨天，甲地也是雨天。2、甲、乙兩地至少有一地為雨天。解設(shè)A:“甲地為雨天”B:“乙地為雨天”則7一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設(shè)A--從盒中隨機(jī)取到一只紅球.

ABB--從盒中隨機(jī)取到一只新球.解例28例3.某建筑物按設(shè)計(jì)要求，使用壽命超過50年的概率為0.8.超過60年的概率為0.6。該建筑物經(jīng)歷50年之后，它將在10年內(nèi)倒塌的概率有多大。解設(shè)A“該建筑物使用壽命超過50年”設(shè)B“該建筑物使用壽命超過60年”9二、.乘法公式由條件概率的定義立刻可得下述定理可推廣乘法定理：設(shè)則有則有10例1.假設(shè)某學(xué)校學(xué)生四級(jí)英語考試的及格率為98%,其中70%的學(xué)生通過六級(jí)英語考試,試求從該校隨機(jī)的選出一名學(xué)生通過六級(jí)考試的概率.解:設(shè)A=“通過四級(jí)英語考試”

B=“通過六級(jí)英語考試”由題意,可知11假定其中有3件次品，每次從這批產(chǎn)品中無放回地抽取一件來檢查，求前三次都抽到正品的概率。解設(shè)Ak“第

k次取得正品”k=1,2,3.例2一批產(chǎn)品有100件，12例3.一批零件共100件,其中有10件次品,每次從其中任取一個(gè)零件，取后不放回。試求：1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率2)如果取到一個(gè)合格品就不再取下去，求在3次內(nèi)取到合格品的概率“第次抽到合格品”解:設(shè)1)2)設(shè)“三次內(nèi)取到合格品”則且互不相容13(方法二)利用對(duì)立事件“三次都取到次品”下利用條件概率求做.解:2)設(shè)“三次內(nèi)取到合格品”則且互不相容14例4.設(shè)一個(gè)班中10名學(xué)生采用抓鬮的辦法分一張電影票的機(jī)率是否相等解：設(shè)“第名學(xué)生抓到電影票”15有

一般情況即A

發(fā)生對(duì)B

發(fā)生有影響。即已知事件A發(fā)生,并不影響事件B發(fā)生的概率,特殊情況那么在什么特殊情況下呢？這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.在乘法公式中，當(dāng)16作業(yè)P6611,12,13,14,16171.擲一顆均勻的骰子兩次,B={第二次擲出6點(diǎn)}A={第一次擲出6點(diǎn)}可知即已知事件A發(fā)生,并不影響事件B發(fā)生的概率,2.擲甲乙兩枚骰子,B={乙擲出偶數(shù)點(diǎn)}A={甲擲出偶數(shù)點(diǎn)}可知這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.引例18定理設(shè)A,B是兩個(gè)事件,如果有如下等式成立剛稱事件A,B相互獨(dú)立與與任何事件都是相互獨(dú)立例1.

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，問事件A、B是否獨(dú)立？解：記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}說明事件A、B獨(dú)立.由題意三、事件的獨(dú)立性19例2.甲,乙兩人的命中率為0.5和0.4,現(xiàn)兩人獨(dú)立地向目標(biāo)射擊一次,解:設(shè)A=“甲射擊一次命中目標(biāo)”的概率是多少?B=“乙射擊一次命中目標(biāo)”C=“目標(biāo)被命中”則相互獨(dú)立,且已知目標(biāo)被命中,則它是乙命中20思考:如圖所示的事件獨(dú)立嗎?則A與B不相互獨(dú)立.則A,B相容.故A,B不獨(dú)立。而即若A,B相容,且反之,若A與B相互獨(dú)立,且互斥(互不相容)獨(dú)立。21推論:設(shè)是兩個(gè)事件1)若,則相互獨(dú)立的充分必要條件為:2)若相互獨(dú)立,與,與,與,都相互獨(dú)立證:1)若相互獨(dú)立,則有又,則由乘法公式2)其余同理可證22多個(gè)事件的獨(dú)立性若下面四個(gè)等式同時(shí)成立推廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義,可類似寫出：包含等式總數(shù)為：都且有等式:則稱n個(gè)事件相互獨(dú)立23思考:兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì)n(n>2)個(gè)事件?推論:1)若相互獨(dú)立,則其中任意k個(gè)事件也相互獨(dú)立.2)則其中任意k個(gè)事件的對(duì)立事件與其它的事件組成的n個(gè)事件也相互獨(dú)立.實(shí)質(zhì):任何事件發(fā)生的概率都不受其它事件發(fā)生與否的影響24例3.現(xiàn)有四張卡片，如圖所示現(xiàn)從中任取一張,設(shè)分別表示抽到寫有數(shù)字的卡片,試判定事件之間的關(guān)系.解:由題意兩兩獨(dú)立不相互獨(dú)立25例4設(shè)每門炮射擊一飛機(jī)的命中率為0.6,現(xiàn)有若干門炮同時(shí)獨(dú)立地對(duì)飛機(jī)進(jìn)行一次射擊，問需要多少門炮才能以0.99的把握擊中一飛機(jī)。解設(shè)需要n

門炮。Ak

“第k門炮擊中飛機(jī)”B“飛機(jī)被擊落”故至少需要6門炮才能以0.99的把握擊中飛機(jī)。26注：相互獨(dú)立事件至少發(fā)生一次的概率計(jì)算27例5.某電路如圖所示,已知正常工作的概率為假定能否正常工作是相互獨(dú)立的,試求:1)整個(gè)電路正常工作的概率解:設(shè)表示2)若整個(gè)電路正常工作,求D=“電路正常工作”則相互獨(dú)立正常工作的概率正常工作,28某人做一次試驗(yàn)獲得成功的概率僅為0.2，他持之以恒，不斷重復(fù)試驗(yàn)，求他做10次試驗(yàn)至少成功一次的概率？做20次又怎樣呢？

解：設(shè)他做k次試驗(yàn)至少成功一次的概率為pk，

則p10=P(A1∪A2∪…∪A10

)

=1－(1－0.2

)10≈0.8926

=1－P(A1)P(A2)…P(A10

)Aj={第j次試驗(yàn)成功}，j=1，2，…例629

p20=P(A1∪A2∪…∪A20

)

=1－(1－0.2

)20≈0.9885

=1－P(A1)P(A2)…P(A20

)一般，將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行k次，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率p（0<p<1）則A至少出現(xiàn)一次的概率為30(可靠性問題)設(shè)有6個(gè)元件，每個(gè)元件在單位時(shí)間內(nèi)能正常工作的概率均為0.9，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立，試求下面系統(tǒng)能正常工作的概率。124365

解設(shè)Ak={第k個(gè)元件能正常工作}，k=1，2，…，6，

A={整個(gè)系統(tǒng)能正常工作}例7=(A1∪A2)(A3

∪A4)(A5

∪A6)31

A1，A2，…，A6相互獨(dú)立，可以證明970299.0])9.01(1[32≈--=)]()(1)][()(1)][()(1[654321---=APAPAPAPAPAP)](1)][(1)][(1[654321---=AAPAAPAAP)()()()(654321=AAPAAPAAPAPUUUA1∪A2，A3

∪A4，A5

∪A6

也相互獨(dú)立.32事件獨(dú)立性的應(yīng)用1、加法公式的簡化：如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,則2、在可靠性理論上的應(yīng)用33主講教師:王升瑞概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四講34四.伯努里試驗(yàn)：即在試驗(yàn)E的樣本空間S只有兩個(gè)基本事件有一類十分廣泛存在的只有相互對(duì)立的兩個(gè)結(jié)果我們稱這只有兩個(gè)對(duì)立的試驗(yàn)結(jié)果的試驗(yàn)為的試驗(yàn)。且每次試驗(yàn)中例如：試驗(yàn)“成功”、“失敗”。種子“發(fā)芽”、“不發(fā)芽”生“男孩”、“女孩”考試“及格”、“不及格”產(chǎn)品“合格”、“不合格”買彩票“中獎(jiǎng)”、“不中獎(jiǎng)”若只有兩個(gè)對(duì)立結(jié)果的試驗(yàn)可在相同伯努里試驗(yàn)。的條件下進(jìn)行，則有35

n重伯努里試驗(yàn)：設(shè)在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為則在n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次的概率為證:設(shè)事件

A

在n次試驗(yàn)中發(fā)生了X

次=“在第次試驗(yàn)中事件發(fā)生”設(shè)伯努里定理設(shè)在試驗(yàn)E中事件A發(fā)生的概率為p，現(xiàn)將E重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行n次，稱這n次試驗(yàn)為n重伯努里試驗(yàn)。36X的分布列是：男女X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.生男孩的概率為

p.37伯努里試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，用途廣泛。在

n重貝努利試驗(yàn)中，事件A

正好出現(xiàn)

k

次的概率有一個(gè)一般的求法。由于n

次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，事件A發(fā)生的次數(shù)為X,則X

的取值為而就表示一個(gè)事件，在

n重貝努利試驗(yàn)中，事件A

正好出現(xiàn)

k

次的概率有38例1某人射擊每次命中的概率為0.7,現(xiàn)獨(dú)立射擊5次，求正好命中2次的概率。解例2從學(xué)校乘汽車去火車站一路上有4個(gè)交通崗，到各個(gè)崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且概率均為0.3,求某人從學(xué)校到火車站途中2次遇到紅燈的概率。解途中遇到4次經(jīng)交通崗為4重貝努利試驗(yàn)，其中39在規(guī)劃一條河流的洪水控制系統(tǒng)時(shí)需要研究出現(xiàn)特大洪水的可能性。假定該處每年出現(xiàn)特大洪水的概率都是0.1，且特大洪水的出現(xiàn)是相互獨(dú)立的，求在今后10年內(nèi)至少出現(xiàn)兩次特大洪水的概率。解設(shè)

A“出現(xiàn)洪水”“不出現(xiàn)洪水”例340例4某車間有50臺(tái)機(jī)床，一天內(nèi)每臺(tái)需要維修的概率均為0.02,求一天內(nèi)需維修的機(jī)床不多于2臺(tái)的概率。解41例5.袋中裝有30只紅球,70只藍(lán)球,現(xiàn)從袋中有放回地抽取5次,每次取1只球,試求:1)取出的5只球中恰有2只紅球的概率;2)取出的5只球中至少有2只紅球的概率；解:取到紅球的概率為0.3,5次取球相互獨(dú)立，故為5重伯努里概型,設(shè)X

為取到紅球的次數(shù)。1)2)42作業(yè)P6615,17,18,19,20,21,22,23,2443伯努利（1655—1705）瑞士數(shù)學(xué)家JakobBernoulli,他使概率論成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。1713年出版的遺作《猜度術(shù)》，建立了概率論中的第一個(gè)極限定律——伯努利大數(shù)定律。伯努利家族在數(shù)學(xué)與科學(xué)上的地位非常的顯赫。這個(gè)非凡的瑞士家族在三代時(shí)間里產(chǎn)生了八位數(shù)學(xué)家（其中三位是杰出的，他們是雅可布、約翰、丹尼爾），他們又生出了在許多領(lǐng)域里嶄露頭角的成群后代。44JacobBernoulli（1654-1705）非常喜愛的數(shù)學(xué)，他自學(xué)了牛頓和萊布尼茨的微積分，并從1687年開始到他去世為止任瑞士巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授。