《機器人學及其應用-導論》課件 第三章 運動學動力學

《機器人學及其應用—導論》第三章機器人運動學與動力學3.1位姿描述與齊次變換3.2正運動學與逆運動學3.3雅可比公式3.4動力學方程3.5機器人靜態(tài)特性與動態(tài)特性重點：齊次坐標變換，逆運動學求解難點：動力學方程及其求解提綱3.1位姿描述與齊次變換位置描述在直角坐標系{A}中，把三個分量記為列矢量，空間任一點P的位置用3×1的列矢量表示姿態(tài)描述

機器人運動過程中，經(jīng)常用到繞X軸、Y軸或Z軸轉動一角度，以下列出它們的姿態(tài)旋轉矩陣：位姿描述相對參考系{A}，坐標系{B}的原點位置和坐標的姿態(tài)，分別由位置矢量和旋轉矩陣描述。這樣，我們就可以描述剛體在空間的位姿。運動坐標系描述用x、y、z軸表示參考坐標系{A}，用n、o、a軸表示運動坐標系。運動坐標系固連在末端執(zhí)行器（簡稱手爪）上，a（英文單詞為approach的首字母）軸對應于參考坐標系的Z軸，用來表示手爪接近物體的方向，o（英文單詞為orientation的首字母）軸對應于參考坐標系的y軸，用來表示手爪抓緊物體的方向，n（英文單詞為normal的首字母）軸對應于參考坐標系的x軸，用來表示垂直于a軸和o軸的方向，根據(jù)右手法則確定。齊次坐標變換

為了闡述從一個坐標系到另一個坐標系的關系表示，需用討論矩陣變換的相關問題，由此引出齊次坐標變換。1平移坐標變換2旋轉坐標變換3齊次變換4平移齊次坐標變換5旋轉齊次坐標變換6復合變換

復合變換是由固定參考坐標系或者當前運動坐標系的一系列沿軸平移變換和旋轉變換所組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的組合平移變換和旋轉變換。3.1位姿描述與齊次變換延伸：為何引入齊次坐標

引入其次坐標后，主要解決了如下問題：（1）無窮遠點表示問題。在幾何當中，兩條平行線表示為Ax+By+C=0，Ax+bY+D=0兩個方程，他們之間沒有交點（解），但引入齊次坐標后兩條直線可表示為AX/W+BY/W+C=0,AX/W+BY/W+D=0，他們之間有交點（解），交點為無窮遠點，即W=0，（X，Y，0）表示無窮遠點。（2）矩陣運算?？梢栽诰仃囘\算中，把平移旋轉等各種變換放在一個矩陣內進行，便于表達齊次變換矩陣。所以才有齊次變換矩陣的表達方式。。右圖顯示平行線的交點問題 機器人運動學研究的是機器人的工作空間與關節(jié)空間之間的映射關系或機器人的運動學模型，包括正運動學問題和逆運動學問題兩部分。PUMA560機器人3.2正運動學與逆運動學運動學問題，是在不考慮引起運動的力和力矩的情況下，描述機械臂的運動。因此運動學描述的是一種幾何方法。其主要參數(shù)在于連桿參數(shù)和關節(jié)變量。正運動學問題，是根據(jù)給定的機器人關節(jié)變量的取值來確定末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。逆運動學問題，是根據(jù)給定的末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)來確定機器人關節(jié)變量的取值。

運動學研究什么問題？

機械臂可以看成由一系列剛體通過關節(jié)連接而成的一個運動鏈，我們將這些剛體稱為連桿。通過關節(jié)將兩個相鄰的連桿連接起來。在進行操作臂的結構設計時，通常優(yōu)先選擇僅具有一個自由度的關節(jié)作為連桿的連接方式。大部分操作臂中包括轉動關節(jié)或移動關節(jié)。在極少數(shù)情況下，采用具有n個自由度的關節(jié)，這種關節(jié)可以看成是用n個單自由度的關節(jié)與n-1個長度為0的連桿連接而成的。關節(jié)的行為能夠用單一參數(shù)來描述：對于移動關節(jié)是關節(jié)轉角，對于移動關節(jié)是位移。3.2.1連桿參數(shù)與關節(jié)變量3.2.1連桿參數(shù)與關節(jié)變量1、連桿長度關節(jié)軸i-1和關節(jié)軸i之間的公垂線長度記為，即為連桿長度。，連桿參數(shù)2、連桿轉角關節(jié)軸i-1和關節(jié)軸i之間的夾角角度記為，即為連桿轉角。關節(jié)變量1、連桿偏距公垂線和公垂線之間的長度記為，即為連桿偏距。2、關節(jié)角公垂線的延長線和公垂線之間繞關節(jié)軸i旋轉所形成的角度記為，即為關節(jié)角。機器人的每個連桿都可以用四個運動學參數(shù)來描述，其中兩個參數(shù)用于描述連桿本身，另外兩個參數(shù)用于描述連桿之間的連接關系。通常，對于轉動關節(jié)，為關節(jié)變量，其他三個連桿參數(shù)是固定不變的;對于移動關節(jié)，為關節(jié)變量，其他三個連桿參數(shù)是固定不變的。這種用連桿參數(shù)描述機構運動關系的規(guī)則稱為Denavit-Hartenberg參數(shù)。D-H方法關鍵問題：如何建立連桿坐標系

從機械臂的固定基座開始為連桿進行編號，可以稱固定基座為連桿0。第一個可動連桿為連桿1，以此類推，機械臂最末端的連桿為連桿n。坐標系{i}的原點、軸方向如何確定？首、末連桿中間連桿連桿坐標系與連桿參數(shù)間的關系建立連桿坐標系步驟歸納變換矩陣D-H法建立機器人運動學模型的步驟，其次需要知道將一個參考坐標系變換到下一個參考坐標系的變換矩陣。以上從一個坐標系變換到了下一個坐標系。表示前面4個運動的兩個依次坐標之間的變換是4個運動變換矩陣的乘積。由于所有的變換都是相對于當前的坐標系進行的，因所有的變換矩陣都是右乘的。從而得到如下結果：變換矩陣

根據(jù)以上歸納的方法建立連桿坐標系，得到D-H參數(shù)，可以得到相鄰兩連桿坐標系之間的變換矩陣。運動學方程的建立

此公式為機器人正向運動學的表達式，即：已知機器人各關節(jié)值，計算出末端相對于基座的位姿。舉例：PUMA560機器人運動學方程PUMA560機器人運動方程步驟：

首先：繪制D-H參數(shù)表PUMA560D-H參數(shù)表其次：列寫PUMA560變換矩陣最后：各連桿變換矩陣相乘，得到PUMA560機器人的變換矩陣：結果：略逆運動學方程在上一節(jié)討論了機器人的正向運動學，此節(jié)將研究逆向運動學問題，即機器人運動方程的求解問題：已知工具坐標系相對于工作臺坐標系的期望位置和姿態(tài)，求機器人能夠達到預期位姿的關節(jié)變量。以PUMA560機器人為例來闡述如何求解這些方程。1）解的存在性和工作空間（靈活工作空間，可達工作空間）

通常將反解存在的區(qū)域稱為機器人的工作空間。當機械臂的自由度小于6時．其靈活空間的體積為零。不能在三維空間內獲得一般的目標的位姿。2）解的唯一性和最優(yōu)解機器人機械臂運動學反解的數(shù)目決定于關節(jié)數(shù)目、連桿參數(shù)和關節(jié)變量的活動范圍。在避免碰撞的前提下，通常按“最短行程’的準則來擇優(yōu)、即使每個關節(jié)的移動量為最小。由于工業(yè)機器人前面三個連桿的尺寸較大，后面三個較小。故應加權處理，遵循“多移動小關節(jié)、少移動大關節(jié)”的原則。解逆問題需了解什么3）可解性（封閉解，數(shù)值解）所有包含轉動關節(jié)和移動關節(jié)的串聯(lián)型6自由度機構都是可解的。(數(shù)值解)封閉解存在的兩充分條件：1）三個相鄰關節(jié)軸交于一點2）三個相鄰關節(jié)軸相互平行求解方法：機械臂運動學反解的方法可以分為兩類：封閉解和數(shù)值解、在進行反解時總是力求得到封閉解。因為封閉解的計算速度快，效率高，便于實時控制。而數(shù)值法不具有些特點為。機械臂的運動學反解封閉解可通過兩種途徑得到：代數(shù)解和幾何解。舉例：PUMA560機器人運動學反解根據(jù)相同原理可求得PUMA560機器人運動學反解過程略。機械人的操作速度與關節(jié)速度的線性變換定義為機械人的雅可比矩陣，可視它為從關節(jié)空間向操作空間運動速度的傳動比。3.3雅可比矩陣機器人實際操作和運行時，是微分平移和繞任意軸旋轉的復雜運動。假如用T表示原始坐標系，dT表示變化量，若沿坐標系軸進行運動，則有下式表達：微分算子由上式可得微分算子同理，若沿著當前坐標系進行運動，則可得到如下公式：稱為對于固定基坐標系的微分算子。

稱為對于當前坐標系的微分算子動力學方程描述力和運動之間的關系。當機器人手臂加速時，驅動器就要有足夠的力和力矩來驅動機器人的連桿和關節(jié)，以獲得期望的速度和加速度。解決此類問題最常用的是拉格朗日方法和牛頓-歐拉方法。拉格朗日方法只需要從能量的角度來列些計算公式，計算相對比較簡單，本節(jié)主要介紹拉格朗日方程；牛頓-歐拉方法需要計算內部作用力，多自由度機器人計算起來比較復雜，常用于數(shù)值計算中。3.4動力學方程拉格朗日函數(shù)L被定義為系統(tǒng)的動能K和勢能P之差：L=K-P對直線運動，拉格朗日方程如下：對旋轉運動，拉格朗日方程如下：拉格朗日法

多自由度機器人力學方程。推導過程分五步進行：（一）計算任一連桿上任一點的速速度；（二）計算各連桿的動能和機器人的總動能；（三）計算各連桿的勢能和機器人的總勢能；（四）建立機器人系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；（五）對拉格朗目函數(shù)求導,以得到動力學方程式。多自由度機器人拉格朗日動力學牛頓-歐拉（Newton-Euler）方程的動力學一般形式為：式中，W，K，D，P和qi等的含義與拉格朗日法相同；i為連桿代號，n為連桿數(shù)目。牛頓-歐拉方程

機器人的靜態(tài)特性主要是指穩(wěn)定負載——力和力矩。關節(jié)力和力矩可以由末端執(zhí)行器固連的坐標系的力和力矩決定。機器人的動態(tài)特性則包含工作精度、重復能力、穩(wěn)定度和空間分辨度等。機器人的動態(tài)特性描述下列能力：它能夠移動得多快，能以怎樣的準確性快速地停在給定點，以及它對停止位置超調了多少距離等。當工具快速移向工件時，任何超調都可能造成重大的損害或事故。另一方面，如果工具移動得太慢，那么又會耗費過多的時間。對于基底具有轉動關節(jié)的機器人來說，要達到良好的動態(tài)性能通常是很困難的。3.5機器人靜態(tài)特性與動態(tài)特性

從伺服控制角度看，慣性負載不僅是由物體的慣量決定的，而且也取決于這些關節(jié)的瞬時位置及運動情況。在快速運動時，機器人上各剛性連桿的質量和轉動慣量(即慣量矩)給這些關節(jié)的伺服系統(tǒng)的總負載強加上一個很大的摩擦負載。一臺工業(yè)操作機器人，隨著它的姿態(tài)變化，其