2023年中考數(shù)學必刷題分類專練：三角形壓軸綜合問題【原卷版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題32三角形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?青海?中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點

連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△48C和△力DE是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

（2）解決問題：如圖2,若AACB和△DCE均為等腰直角三角形，乙4cB=ADCE=90。，點/,D,￡在同一

條直線上，CM為ADCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷N/班的度數(shù)及線段CM,AE,8E之間的數(shù)量

關系并說明理由.

圖2

2.（2022?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在AABC中，。是4B上一點，AADC=^ACB.求證乙4CD=

/.ABC.

獨立思考：

（1）請解答王老師提出的問題.

實踐探究:

（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長CA

至點￡,使CE=BD,8E與CD的延長線相交于點尸，點G,〃分別在上，BG=CD,乙BGH=NBCF.在

圖中找出與8H相等的線段，并證明.

問題解決：

（3）數(shù)學活動小組河學時上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當NBHC=90。時，若給出△力BC中任意兩邊

長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，請你解答.“如圖3,在（2）

的條件下，若NB力C=90。，AB=4,AC=2,求的長.”

3.（2022?山東青島?中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在4四。和△A'B'C'中，AD,力力’分別是BC和B'C'邊上的高線，且4。=AD',則△ABC和△A,B'c'

是等高三角形.

圖①

【性質探究】

如圖①，用分別表示△ABC和△4B'C’的面積.

則SAABC=\BC-AD,SA4，B'C'=|B，C，-AD,

'：AD=AD'

??^AABC-SA"B'C=BC:BC.

【性質應用】

(1)如圖②，。是△ABC的邊BC上的一點.若BD=3,DC=4,貝！IS-BD：S-DC=;

(2)如圖③，在AABC中，D,E分別是8c和邊上的點.若8E:4B=l:2,CD.BC=1:3,S^ABC=1,則

S^BEC=，S^CDE=；

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和邊上的點，若BE:4B=l:?n,CD:BC=l:n,SAABC=a,則

S^CDE=-

4.(2022?山東煙臺?中考真題)

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△N3C和△/￡>￡都是等邊三角形，連接BD,CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△48C和△/￡>￡都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連接3D,CE.請

直接寫出詈的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,ZX/BC和△/￡>￡都是直角三角形，/ABC=N4DE=9Q°,且*=翌=］連接3。，

DC￡/C4

CE.

①求黑的值;

CE

②延長CE交于點尸，交4B于點G.求sin/BFC的值.

5.(2022?廣西?中考真題)已知NMON=a,點/,8分別在射線。M,ON上運動，48=6.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90°,取48中點D,點A,B運動時，點D也隨之運動，點A,B,D的對應點分別為4,B1,￡?',

連接。D,判斷OD與。。有什么數(shù)量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以43為斜邊在其右側作等腰直角三角形/2C,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點43運動到什么位置時，△力。B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

6.(2022?山東濰坊?中考真題)【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點。

順時針旋轉一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接如圖③所

示，AB交H0于E,4C交。G于尸，通過證明△08E三△。力F,可得0E=。乩

請你證明：AG=BH.

00BoL

圖①圖②圖③

0N--------------

BoC

圖④圖⑤

圖⑥

【遷移應用】

延長G4分別交所在直線于點尸，D,如圖④，猜想并證明DG與的住置關系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB,4G,如圖⑥所示,

其他條件不變，請你猜想并證明力G與的戮量關系.

7.(2022?遼寧錦州?中考真題)在△ABC中，AC=BC,點。在線段48上，連接CD并延長至點￡,使DE=CD,

過點￡作交直線于點R

(1)如圖1,若N4C8=120。，請用等式表示力C與EF的數(shù)量關系：.

(2)如圖2.若N4CB=90。，完成以下問題：

①當點。，點廠位于點/的異側時，請用等式表示力C,4D,DF之間的數(shù)量關系，并說明理由；

②當點。，點尸位于點/的同側時，若DF=1,4D=3,請直接寫出力C的長.

8.(2022?北京?中考真題)在AZBC中，4ACB=90。，。為△ABC內(nèi)一點，連接BD,DC,延長DC到點E,

使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點F,使得CF=BC,連接力F,EF,若AF1EF,求證：BD1AF-,

(2)連接AE,交BD的延長線于點“，連接CH,依題意補全圖2,若AB?=月產(chǎn)+3。2,用等式表示線段CD

與CH的數(shù)量關系，并證明.

9.（2022?福建?中考真題）已知△ABC三△￡）￡■￡1,AB=AC,AB>BC.

（1）如圖1,CB平分/4CD,求證：四邊形/8AC是菱形；

（2）如圖2,將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉（旋轉角小于NA4C）,BC,的延長線相交于點尸，

用等式表示N/CE與/所C之間的數(shù)量關系，并證明；

（3）如圖3,將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉（旋轉角小于/4BC）,若乙BAD=LBCD,求/4D2的

度數(shù).

10.（2022?山東威海?中考真題）回顧：用數(shù)學的思維思考

①BD,CE1是△4BC的角平分線.求證：BD=CE.

②點。，E分別是邊NC,的中點，連接3D,CE.求證：BD=CE.

（從①②兩題中選擇一題加以證明）

（2）猜想：用數(shù)學的眼光觀察

經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在中，AB=AC,。為邊NC上一動點（不與點4C重合）.對于點

。在邊/C上的任意位置，在另一邊上總能找到一個與其對應的點E,使得BD=CE.進而提出問題；

若點。，E分別運動到邊/C,N3的延長線上，8。與CE還相等嗎？請解決下面的問題：

如圖2,在△4BC中，AB=AC,點、D,E分別在邊/C,的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的

字母），使得BD=CE,并證明.

（3）探究：用數(shù)學的語言表達

如圖3,在△48C中，AB=AC=2,ZA=36°,￡為邊48上任意一點（不與點8重合），尸為邊NC延

長線上一點.判斷3尸與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.

11.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形A8CD中，對角線AC與BD相交于點。，記AC。。的面積為Sr

△4。3的面積為52.

⑴問題解決：如圖①，若ABIICD,求證：金=需

J>2U/i'Ub

（2）探索推廣：如圖②，若力B與CD不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應用：如圖③，在。力上取一點E,使。E=OC,過點E作EFIICD交。D于點尸，點〃為4B的中點,

OH交EF于點G,且。G=2G”，若詈=|,求之值.

C

12.（2022?湖北武漢?中考真題）己知CD是△力BC的角平分線，點E,尸分別在邊力C,BC上，AD=m,BD=n,

AADE^^引W的面積之和為S.

(1)填空:當乙4cB=90%DE1AC,DF1BC時,

①如圖1,若NB=45°,m=5V2,則九=，S=

②如圖2,若NB=60°,m=4b，則n=，S=：

(2)如圖3,當/力。8=45。尸=90。時，探究S與機、"的數(shù)量關系，并說明理由：

(3)如圖4,當乙4cB=60。，NEDF=120。，爪=6,n=4時，請直接寫出S的大小.

13.(2022?黑龍江?中考真題)△4BC和A/WE都是等邊三角形.

⑴將△ADE繞點A旋轉到圖①的位置時,連接BD,CE并延長相交于點尸(點尸與點/重合),有PA+PB=PC

(或P4+PC=PB)成立；請證明.

(2)將AADE繞點/旋轉到圖②的位置時，連接8。，CE相交于點P,連接為，猜想線段為、PB、尸C之間

有怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；

(3)將AADE繞點/旋轉到圖③的位置時，連接AD,CE相交于點P,連接B4,猜想線段以、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不需要證明.

14.(2022?陜西?中考真題)問題提出

(1)如圖1,AD是等邊A4BC的中線，點尸在4。的延長線上，且AP=AC,則乙4PC的度數(shù)為.

問題探究

(2)如圖2,在△ABC中，C4=CB=6,NC=120。.過點/作力P||BC,S.AP=BC,過點P作直線/1BC,

分別交48、BC于點。、E,求四邊形。EC4的面積.

問題解決

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊△力BC型板材，乙4cB為鈍角，ABAC=45°.工人師傅想用這塊板材裁出一個△4BP

型部件，并要求NB4P=15。,42=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點C為圓心，以C4長為半徑畫弧，交力B于點。，連接CD；

②作CD的垂直平分線/,與CD于點E；

③以點N為圓心，以力C長為半徑畫弧，交直線/于點尸，連接AP、BP,得AABP.

請問，若按上述作法，裁得的AABP型部件是否符合要求？請證明你的結論.

15.（2022?湖南岳陽?中考真題）如圖，△ABC和△DBE的頂點B重合，乙48c=乙DBE=90°,zBXC=乙BDE=

30°,BC=3,BE=2.

E

圖2

圖3

⑴特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當點D,E分別在4B,BC上時，可以得出結論：,，直線4D與直線CE的位

CE

置關系是

（2）探究證明：如圖2,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉，使點。恰好落在線段力C上，連接EC,（1）中的

結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由;

（3）拓展運用：如圖3,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉磯19。<戊<60。），連接力D、EC,它們的延長線

交于點F,當DF=BE時，求tan（60。一a）的值.

16.（2022?湖北十堰?中考真題）已知N4BN=90。，在乙4BN內(nèi)部作等腰△ABC,AB=AC,/.BAC=a（0°<

a<90。）.點D為射線BN上任意一點（與點B不重合），連接力D,將線段4。繞點力逆時針旋轉a得到線段力E,

連接EC并延長交射線BN于點工

(1)如圖1,當a=90。時，線段與CF的數(shù)量關系是；

(2)如圖2,當0。＜。＜90。時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3)若a=60。，48=4百，BD=m,過點E作EP1BN,垂足為P,請直接寫出PD的長(用含有爪的式子表

示).

17.(2022?湖南湘潭?中考真題)在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,直線［經(jīng)過點力，過點B、C分別作2

的垂線，垂足分別為點。、E.

(1)特例體驗:

如圖①，若直線4IBC,AB=AC=內(nèi)分別求出線段BD、CE和DE的長；

(2)規(guī)律探究：

①如圖②，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點2旋轉a(0＜a＜45。)，請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關系并說明

理由；

②如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點N順時針旋轉儀45。＜戊＜90。)，與線段8c相交于點H,請再探線

段BD、CE和DE的數(shù)量關系并說明理由；

(3)嘗試應用：

在圖③中，延長線段BD交線段AC于點F,若CE=3,DE=1,求雇股「

18.(2022?江蘇揚州?中考真題)如圖1,在A4BC中,NB4C=90。,NC=60。，點。在BC邊上由點C向點B運

動(不與點B、C重合)，過點D作。E1AD,交射線4B于點E.

A

(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段4E與BE的數(shù)量關系，并說明理由；

①點E在線段的延長線上且BE=BD-,

②點E在線段ZB上且EB=ED.

(2)若=6.

①當空=@時，求4E的長；

AD2

②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值.

19.(2022?河北?中考真題)如圖，四邊形4BCD中,AD\\BC,ZABC=90°,ZC=30°,AD=3,AB=2^3,

DHLBC于點H.將△PQW與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與4重合，點2在PM上，其

中NQ=90°,NQPM=30。,PM=4也.

?4(P)DAPDAD(P)

BEH

(1)求證：△PQMWXCHD：

(2)△尸QW從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移(圖2),當點P到達點。后立刻繞點。逆時針旋

轉(圖3),當邊旋轉50。時停止.

①邊P。從平移開始，到繞點。旋轉結束，求邊尸。掃過的面積；

②如圖2,點K在3H上，且BK=9-4再.若右移的速度為每秒1個單位長，繞點。旋轉的速度

為每秒5。，求點K在△尸加區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；

③如圖3.在旋轉過程中，設PQ,W分別交于點E,F,若BE=d,直接寫出C尸的長（用含

d的式子表示）.

20.（2022?山西?中考真題）綜合與實踐

問題情境：在此A/BC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板9中/ED尸=90。，將三角板的直角頂

點。放在必ZUBC斜邊2C的中點處，并將三角板繞點。旋轉，三角板的兩邊。尸分別與邊AC

交于點M,N,猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊的中點時，試判斷四邊形NMDN的形狀，并說明理由;

問題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當=時，求線段CN的長；

（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當時，直接寫出線段NN的長.

21.（2022?湖北武漢?中考真題）問題提出：如圖（1）,ZMBC中，AB=AC,。是4C的中點，延長BC至點E,

使DE=DB,延長ED交4B于點凡探究組的值.

（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當NB4C=60。時，直接寫出警的值;

（2）再探究一般情形.如圖（1）,證明（1）中的結論仍然成立.

問題拓展：如圖（3）,在△力BC中，AB^AC,。是AC的中點，G是邊BC上一點，祟=［（n<2）,延長BC

至點E,使DE=DG,延長ED交48于點上直接寫出喘的值（用含n的式子表示）.

AD

22.（2022?江西?中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大

的直角三角板PEF（NP=90。,NF=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉，探究直角

三角板PEF與正方形2BCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉過程中，當。F與。B重合時，重疊部分的面

積為;當。F與BC垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,在旋轉

過程中，重疊部分的面積Si與S的關系為；

（2）類比探究：若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉過程中，。旦。P分別與正方形的邊相交于點N.

①如圖2,當BM=CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由;

②