2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題專練：阿氏圓問題（解析版）

專題09阿氏圓問題

解題策略

\__________________/

模型建立：已知平面上兩點(diǎn)/、B,則所有符合型=左（左＞0且左W1）的點(diǎn)尸會組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最

PB

先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

模型解讀：

如圖1所示，的半徑為r,點(diǎn)4、B都在外，P為。。上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB.連接PA、

PB,則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

1：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接。尸、OB-,

2：計(jì)算連接線段。尸、08長度；

3：計(jì)算兩線段長度的比值黑=k；

4：在02上截取一點(diǎn)C,使得第=器構(gòu)建母子型相似：

5：連接NC,與圓0交點(diǎn)為尸，即NC線段長為尸的最小值.

本題的關(guān)鍵在于如何確定“萬P8”的大小，（如圖2）在線段08上截取OC使OC=kr,則可說明△8PO

與△尸C。相似，即hPB=PC.

本題求的最小值轉(zhuǎn)化為求TM+尸。的最小值，即4、P、C三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D3）,時(shí)ZC

線段長即所求最小值.

/------------------\

經(jīng)典例題

【例1】（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖1,在RTAABC中,乙4c8=90。，CB=4,C4=6,圓C的半徑

為2,點(diǎn)尸為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接NP,BP,求：

①4P+匏P,

?2AP+BP,

@^AP+BP,

@AP+3BP的最小值.

【答案】①夜；@2737；③等；?2V37.

【分析】①在C2上取點(diǎn)。，使CD=1,連接CP、DP、AD.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證△OCP?△PCB,即

可得出PD=^BP,從而推出4P+TBP=4P+PD,說明當(dāng)4、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，4P+PD最小，最小值即

為長.最后在口△4。。中，利用勾股定理求出/。的長即可；

②由24P+8P=2（aP+98P）,即可求出結(jié)果；

③在C4上取點(diǎn)￡,使CE=|,連接CP、EP、BE.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證△ECP?△PC4即可得出

EP^AP,從而推出%P+BP=EP+BP,說明當(dāng)2、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最小，最小值即為BE

長.最后在RtaBCE中，利用勾股定理求出的長即可；

④由4P+3BP=3GaP+8P）,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：①如圖，在C8上取點(diǎn)D,使CD=L連接CP、DP、AD.

A

-CD=1,CP=2,CB=4,

CD_CP_1

'~CP~'CB~2,

又"DCP=(PCB,

ADCP?△PC8,

PD，即

~BPIPD*BP,

■.AP+^BP=AP+PD,

當(dāng)AP、。三點(diǎn)共線時(shí)，4P+PD最小，最小值即為4。長.

,，在Rt△4CD中，AD=Vi4C2+CD2=V62+l2=V37.

■-AP+的最小值為歷；

@---2AP+BP=2Q4P+海)，

■-2AP+BP的最小值為2x百7=2歷；

③如圖，在C4上取點(diǎn)E,使CE=(,連接CP、EP、BE.

CE_CP_1

~CP~'CA~3,

又?:乙ECP=/.PCA,

：.△ECP?△pea,

???S=r即EP=1P，

；.%P+BP=EP+BP,

.?.當(dāng)8、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最小，最小值即為BE長.

???在Rt△BCE中，BE=y/BC2+CE2=^42+(|)2=雪.

■■■^AP+BP的最小值為學(xué)；

@-：AP+3BP=3亭P+BP),

：.AP+3BP的最小值為3乂嗎=2歷.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線，并且理解三

點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

【例2】(2022?廣東惠州?一模)如圖1,拋物線y=a/+bx-4與x軸交于4、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中

點(diǎn)2的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的對稱軸是直線久=|.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使四邊形4BPC的面積為16,若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,過點(diǎn)B作BF1BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作。C,點(diǎn)Q為。C上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，求返BQ+FQ的最小值.

4

［答案］(l)y=x2_3x_4

(2)P(1,6)或(3,4)

⑶何

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)力的坐標(biāo)為拋物線的對稱軸是直線％=|.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，

(2)先求得直線BC解析式，設(shè)P(wn2-3巾-4),則4),過點(diǎn)P作PQ軸交直線BC于點(diǎn)Q,根據(jù)

S四邊形4BPC=+S2XBCP等于16建立方程,解一元二次方程即可求得TH的值，然后求得P的坐標(biāo),

(3)在CB上取CE=￥，過點(diǎn)E作EG10C,構(gòu)造△CQE“aCBQ,則當(dāng)F,Q,E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最

小值為FE,勾股定理解直角三形即可.

(1)

解：???拋物線丫=。/+版-4與％軸交于2、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的對稱軸是

直線x=|,

f-±=2

〈2a2,

(a—h—4=0

解得u，

???拋物線解析式為：y=/-3%-4,

(2)

當(dāng)y=0,即%2—3%—4=0,

解得%1=-l,x2=4,

???8(4,0),

???C(0-4),

設(shè)直線解析式為y=kx+b,

(-4=b

l4k+b=0f

解得｛片匕，

???直線BC解析式為y=x-4,

設(shè)Pg,--3m-4),過點(diǎn)P作PQ軸交直線BC于點(diǎn)Q,

S四邊形B4PC=^AABC+SgCP

=：x(4+l)x4+4—m2+3m+4)X4=-2m2+8m+10,

四邊形力BPC的面積為16,

—2m2+8m+10=16,

解得爪1=l,m2=3,

???。(1,6)或(3,4),

(3)

如圖，過點(diǎn)B作BF1BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作OC,

,?,%=|是拋物線的對稱軸，yr-4-|=|

35'

???尸

2f2.

???8(4,0),C(0,4),

。8=4,。。=4,

...BC=4V24OBC=45。,

???BFtBC,

Z.FBO=45°,

在上取。￡=苧，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)交拋物線對稱軸于點(diǎn)貝!

CBEEGIOC,yG,H,]CG==TXsin45°=

1EH=---=1

2’22

???FH=6,

??.CQ=2,CE=與BC=4VL

,J=?費(fèi)=磊=去"CE=BCQ,

.*.△CQE~ACBQ,

.絲=絲=返

"BQ~"CB

???QE=%Q,

二,BQ+FQ>FE,

當(dāng)F,Q,E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為FE,

EG1FG

EF=y/HE2+HF2=Vl2+62=V37-

則送BQ+FQ的最小值為何.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)

與判定是解題的關(guān)鍵.

【例3】（2019秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)/、B,則所有符合上&=左*>0且左#1）的點(diǎn)尸會組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先由古希

PB

臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在X軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m,0）,D（0,〃），點(diǎn)尸是平面內(nèi)

一動(dòng)點(diǎn)，且。P=r,設(shè)空=匕求PC+枕。的最小值.

0D

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在。。上取點(diǎn)使得。M：OP=OP-.OD=k-,

第二步：證明左尸。=PM；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在。上取點(diǎn)使得(W：OP=OP：OD=k,

又,；APOD=ZMOP,：.APOMs△OOP.

任務(wù)：

(1)將以上解答過程補(bǔ)充完整.

(2)如圖2,在中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。為△/8C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD=2,利

用(1)中的結(jié)論，請直接寫出4D+2g。的最小值.

3

【分析】(1)在OD上取點(diǎn)M,使得?！埃篛P=OP：OD=k,利用相似三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段

最短解決問題即可.

(2)利用(1)中結(jié)論計(jì)算即可.

【解答】解(1)在。。上取點(diǎn)使得。M：OP=OP：OD=k,

又：ZPOD=ZMOP,

：.△POMs^DOP.

：.MP：PD=k,

:?MP=kPD,

:?PC+kPD=PC+MP,當(dāng)尸C+左尸。取最小值時(shí)，尸C+MP有最小值，即C,P,M三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，

利用勾股定理得CM=VOC2-K)M2=Vm2+(kr)2=Vm2+k2r2-

(2)'：AC=m=4,型=2,在C8上取一點(diǎn)使得CM=2CD=4,

BC333

圖2

AD+1*BD的最小值為=生

【例4】如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△048的頂點(diǎn)。，A,2均在格點(diǎn)上，點(diǎn)E在04上,

且點(diǎn)￡也在格點(diǎn)上.

（/）強(qiáng)的值為2；

OB-3一

（II）贏是以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的一段圓弧.在如圖所示的網(wǎng)格中，將線段。石繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到,旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<90°）連接EN,E'B,當(dāng)￡么+2小8的值最小時(shí)，請用無刻度的直尺

3

畫出點(diǎn),并簡要說明點(diǎn)￡的位置是如何找到的（不要求證明）通過取格點(diǎn)K、T,使得?！ǎ?。￡>=

2：3,構(gòu)造相似三角形將215轉(zhuǎn)化為￡'H.

3

【分析】（1）求出OE,03即可解決問題.

（2）構(gòu)造相似三角形把ZE，8轉(zhuǎn)化為9H,利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題.

3

【解答】解：（1）由題意OE=2,08=3,

?.?_0E—_2—,

OB3

故答案為：2.

3

（2）如圖，取格點(diǎn)K,T,連接KT交03于H連接交施于E',連接2E',點(diǎn)即為所求.

故答案為：通過取格點(diǎn)K、T,使得O”：0/）=2：3,構(gòu)造相似三角形將8轉(zhuǎn)化為E'H,利用兩

3

點(diǎn)之間線段最短即可解決問題.

培優(yōu)訓(xùn)練

一.填空題（共13小題）

1.（2022?南召縣開學(xué)）如圖，在△N8C中，ZA=9Q°,AB=AC=4,點(diǎn)、E、尸分別是邊/8、/C的中點(diǎn),

點(diǎn)尸是以N為圓心、以4E為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則￡pB+PC的最小值為一心

【分析】在上截取/0=1,連接/尸，PQ,CQ,證明△/尸?？傻肞0=_1_P3,貝|_|_尸2+尸。

=PC+PQ,當(dāng)C、。、尸三點(diǎn)共線時(shí)，PC+尸。的值最小，求出C0即為所求.

【解析】如圖，在48上截取/0=1,連接4P,PQ,CQ,

?..點(diǎn)￡、/分別是邊/8、/C的中點(diǎn)，點(diǎn)P是以N為圓心、以/￡為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn),

?.A?-P--2----1,

AB42

"：AP=2,AQ=\,

?AQ1

AP2

,/ZPAQ=ZBAP,

：.^APQ^AABP,

:.PQ=/PB,

：.^PB+PC=PC+PQ》CQ,

在RtzX/CQ中，4c=4,NQ=1,

?*-QB=VAC2+AQ2=V16+1=VTz.，

；.1PB+PC的最小值百7.,

故答案為：V17?

2.（2021秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在Rt^4BC中，ZC=90°,/C=9,BC=4,以點(diǎn)C為圓心，3為半徑

做OC,分別交ZC,BC于D,E兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是0c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則上P/+P8的最小值為_g_.

3

A

【分析】在/C上截取CQ=1,連接CP,PQ,BQ,證明△/CPs△尸c。，可得尸。=J_NP,當(dāng)B、。、

3

尸三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，求出20即為所求.

【解析】在/C上截取C°=l,連接CP,PQ,BQ,

?.ZC=9,CP=3,

.CP=1

ACT

：CP=3,CQ=1,

.CQ=1

"CPT

:.XACPS2PCQ,

：.PQ=1-AP,

：.^PA+PB=PQ+PB^BQ,

...當(dāng)8、0、P三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，

1->

在Rtz\BCQ中，BC=4,CQ=1,

：.QB=K，

：.LA+PB的最小值,

3

故答案為：717.

A

3.（2022春?長順縣月考）如圖，在中，ZACB=90°，AC=6,BC=8,D、￡分別是邊5C、AC

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且?！?4,尸是DE的中點(diǎn)，連接尸/,PB,則尸/+工心的最小值為7145

4-2'

【分析】如圖，在C5上取一點(diǎn)尸，使得。/=工，連接P凡AF.利用相似三角形的性質(zhì)證明尸尸=」

24

PB,根據(jù)尸產(chǎn)+P/2/R利用勾股定理求出4F即可解決問題.

【解析】如圖，在C8上取一點(diǎn)尸，使得。尸=工，連接PFAF.

2

:/DCE=90°,DE=4,DP=PE,

:.PC=LDE=2,

2

..CF=2空=工

-CPTCB7

.CF=CP

"CPCB'

/PCF=ZBCP,

：.APCFsABCP,

.PF=CF=1

"PBCPT

：.PF=LpB,

4

：.PA+^-PB=PA+PF,

4

-：PAPF^AF,

+^=VCF2+AC2=^(1)2+62=VSL,

.?.尸/+工+3》重屆一,

42

.?.尸/+工尸2的最小值為YUL,

42

故答案為魚逅.

2

4.(2021秋?梁溪區(qū)校級期中)如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,O。半徑為3,

點(diǎn)/(0,1),點(diǎn)8(2,0),點(diǎn)尸在弧JW上移動(dòng)，連接P4,PB,則3PN+P8的最小值為

V85-.

【分析】在y軸上取點(diǎn)〃(0,9),連接8”,通過證明△/OPs/\po〃，可證〃尸=34P,貝!J3P/+P8=

PH+PB,當(dāng)點(diǎn)尸在2"上時(shí)，3P4+PB有最小值為的長，即可求解.

【解析】如圖，在y軸上取點(diǎn)8(0,9),連接AW,

??,點(diǎn)4(0,1),點(diǎn)5(2,0),點(diǎn)H(0,9),

：.AO=1,05=2,OH=9,

ZPOH,

:.叢AOPS^POH,

?.?-A-P=-O-P-=--1,

HPOH3

:.HP=3AP,

：.3PA+PB=PH+PB,

...當(dāng)點(diǎn)尸在8〃上時(shí)，3P4+PB有最小值為“8的長，

?1-BH=A/0B2OH2=V4+81=V85，

故答案為：V85.

5.(2021?碑林區(qū)校級模擬)如圖，在△4BC中，BC=6,NBAC=60°,則2/2+/C的最大值為

4V21--

【分析】由2/5+/C=2C42+/AC)得，*AC=AE，再將N2+/E轉(zhuǎn)化成一條線段AP，可證出/尸是定角,

從而點(diǎn)尸在△PBC的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)8P為直徑時(shí)，8P最大解決問題.

【解析】,：2AB+AC=2(A8+/AC)’

...求2/B+/C的最大值就是求2(48+/AC)的最大值，

過C作CE_L4B于E,延長E4到P,使得4P=4E;

VZBAC^60°,

?■?^=yAC=AP>

^+~AC=/2+/P，

；EC=M甌PE=2AE,

由勾股定理得：PC=V7AE)

；.SM=雪成埠低,

CPV7AE7

/P為定值，

?：BC=6是定值，

/.點(diǎn)P在△C8P的外接圓上,

■:AB+AP=BP,

...當(dāng)8P為直徑時(shí)，4B+4P最大,即8P,

..,_._BCV21

..sinD?=smDP==——,

BP'7

解得2尸=2亞，

：.AB+AP=2-/21，

：.2AB+AC^2（AB+AP）

故答案為：4V21.

6.（2020?武漢模擬）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)）,B,所有滿足叢=左（左為定值）的P點(diǎn)形成

PB

的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”

【問題解決】如圖，在△N8C中，CB=4,AB=2AC,則△/BC面積的最大值為—.

—3—

【分析】以/為頂點(diǎn)，/C為邊，在△/8C外部作/C4P=N/BC,/P與3C的延長線交于點(diǎn)P,證明

△APCs^BPA,由相似三角形的性質(zhì)可得8P=2/P,CP=^-AP,從而求出/尸、8尸和CP,即可求出

2

點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)軌跡，再找出距離3c最遠(yuǎn)的/點(diǎn)的位置即可求解.

【解析】以/為頂點(diǎn)，NC為邊，在△/BC外部作/C/P=N/8C,/尸與8c的延長線交于點(diǎn)尸，

△APCs^BPA,

APCPAC1

BP"AP"AB

:.BP=2AP,CP=LAP,

2

,：BP-CP=BC=4,

：.2AP-^-AP=4,解得：AP=2,

23

：.BP=^-,CP=±即點(diǎn)P為定點(diǎn)，

33

...點(diǎn)/的軌跡為以點(diǎn)尸為圓心，旦為半徑的圓上，如圖，過點(diǎn)尸作BC的垂線，交圓尸與點(diǎn)4,此時(shí)點(diǎn)

3

小到8c的距離最大，即△48C的面積最大，

SAABC^SC-A1P^1X4X^.=^L.

2233

故答案為：＞.

3

7.（2020秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，己知菱形4BCD的邊長為8,NB=60°,圓2的半徑為4,點(diǎn)尸是

圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-工PC的最大值為2面.

2

【分析】連接P8,在8c上取一點(diǎn)G,使得BG=2,連接尸G,DG,過點(diǎn)。作8c交BC的延長線

于H.利用相似三角形的性質(zhì)證明PG=LPC,再根據(jù)尸。-工PC=PD-PGWDG,求出DG,可得結(jié)

22

論.

【解析】連接尸2,在2C上取一點(diǎn)G,使得8G=2,連接尸G,DG,過點(diǎn)。作。以，5c交3c的延長線

于〃.

?；PB=4,BG=2,BC=8,

：.PB2=BG-BC,

.PB=BC

"BGPB'

,//PBG=/CBP,

：.△PBGsMBP,

?PG_=PB=1

"PCBC2"

：.PG=^PC,

2

.四邊形48co是菱形，

J.AB//CD,AB=CD=BC=i,

:.NDCH=NABC=60°,

在Rt^CDH中，CH^CD'cos60°=4,DH=CZ>sin60°=4愿，

GH=CG+CH=6+4=10,

ADG=7GH2+DH2=A/102+(4A/3)2=2V37,

,:PD-：C=PD-PGWDG,

2

：.PD-^PC^2-/37,

:.PD-A-PC的最大值為2國.

8.(2020?漂陽市一模)如圖，在。。中，點(diǎn)/、點(diǎn)3在。。上，NAOB=9Q°,04=6,點(diǎn)C在CM上,

且0c=2/C,點(diǎn)。是08的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧N2上的動(dòng)點(diǎn)，則CA―2DM的最小值為_

A

【分析】延長OB到T,使得BT=0B,連接MT,CT.利用相似三角形的性質(zhì)證明MT=2DM,求CM+2DM

的最小值問題轉(zhuǎn)化為求CM+MT的最小值.求出CT即可判斷.

【解析】延長08到7,使得BT=OB,連接MT,CT.

：(W=6,0D=DB=3,0T=12,

：.OM2=OD'OT,

?ON=2L

"ODON'

,//M0D=ATOM,

：.AMODS^TOM,

?DM=OM=1

"MTof2"

：.MT=2DM,

"：CM+2DM=CM+MT^CT,

又：在RtZXOCT中，ZC(?r=90°,OC=4,OT=12,

?*-CT=Voc2-K)T2=V42+122=4V15，

：.CM+2DM^4yflQ,

J.CM+2DM的最小值為4c5，

.??答案為4^15.

9.如圖，正方形4BCD的邊長為4,E為2C的中點(diǎn)，以3為圓心，3E為半徑作點(diǎn)P是上一動(dòng)

點(diǎn)，連接尸。、PC,則PZ)+Lpc的最小值為5.

【分析】如圖，在3c上取一點(diǎn)7,使得27=1,連接P2,PT,DT.證明△尸37s△Cgp,推出F工=1殳

PCCB

=-1,推出尸7=>lpc,由尸。+LpC=PO+PT》Dr=5,由此可得結(jié)論.

222

【解析】如圖，在BC上取一點(diǎn)7,使得87=1,連接尸8,PT,DT.

：.ZDCr=90°,

VCD=4,CT=3,

?，?DT=A/CD2X：T2=V42+32=5，

"2=2,BT=l,BC=4,

：.PB2=BT'BC,

?PB=BC

"BTPB'

,/ZPBT=ZPBC,

：.AP5Ts△cap,

?PT=PB=1

"PCCB2"

:.PT=LPC,

2

,/PD+LPC=PD+PTNDT=5,

2

：.PD+^PC的最小值為5,

2

故答案為：5.

10.如圖，扇形中，/4OB=90°,04=6,C是CM的中點(diǎn)，。是。2上一點(diǎn)，OD=5,尸是篇上一

動(dòng)點(diǎn)，則尸c+工2。的最小值為生

2-2'

【分析】如圖，延長。/使么￡=。8,連接EC,EP,OP,證明△OP￡s2\oc尸推出里=更=_1,推

PE0E2

出EP=2PC,推出PC+」-PD=上(2PC+PD)=工(PD+PE),推出當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)尸，點(diǎn)。三點(diǎn)共線時(shí)，

222

PC+^PD的值最小.

2

【解析】如圖，延長。/使/￡=。2,連接EC,EP,OP,

'：AO=OB=6,C分別是CM的中點(diǎn)，

J.OE^U,。尸=6,OC=/C=3,

OPoci

==,且NCOP=/EOP

OEOP?

:AOPESAOCP

.PC=OP=1

"PEOE2"

：.EP=2PC,

：,PC+1-PD=^-C2PC+PD)=A(PD+PE),

222

當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)P,點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，PC+Lp。的值最小,

2

V￡,￡=22

7OD40E=752+122=13，

；.PD+PENDE=13,

：.PD+PE的最小值為13,

：.PC+^-PD的值最小值為23.

22

故答案為：11.

2

E

11.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,0),尸是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2,連接/尸、

BP,貝的最小值是

【分析】如圖，取點(diǎn)7(0,1),連接尸7,BT.利用相似三角形的性質(zhì)證明PT=上尸8,推出尸8+4尸/

22

PB+PTNBT,求出27,可得結(jié)論.

,:T(0,1),A(0,4),B(4,0),

二。T=l,。/=4,。5=4,

：OP=2,

；OP2=O『OA,

,OP=OA

'ofOP'

.?ZPOT=ZAOP,

1.△尸0Ts△/op,

'PAOA5，

\PT=^PA,

：.PB+—PA^PB+PT,

22=

,：BT=71+4VT7，

：.PB+PT^yfl7,

：.BP+^-AP^y]~n

故答案為：V17.

12.如圖所示，NACB=60°,半徑為2的圓。內(nèi)切于N/C2.尸為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸初、PN分

別垂直于N/C8的兩邊，垂足為〃、N,則尸M+2PN的取值范圍為6-2\[^WPM+2PNW

6±2V3_.

【分析】P"+2PN=2APM+PN),作MH_LPN,HP=LPM,確定創(chuàng)的最大值和最小值.

A

解：作MHLNP于H,作披于尸，

'JPMLAC,PN±CB,

:./PMC=/PNC=90°,

ZMPN=360°-ZPMC-/PNC-ZC=120°,

AZMPH^1SO°-NMPN=60°,

J.HP^PM'cosZMPH^PM'cos60°=^PM,

2

PN+^PM=PN+HP=NH,

2

,:MF=NH,

.?.當(dāng)MP與。。相切時(shí)，板取得最大和最小，

如圖1,

圖1

連接。尸，OG,

可得：四邊形OPMG是正方形,

:.MG=0P=2,

在RtZiCOG中，

CG=OG?tan60°=2?,

CM=CG+GM=2+2北,

在RtzXCMF中,

MF=CM-cosC=(2+2V3)X零=3+愿，

:.HN=MF=3+M，

PM+2PN=2(XpH+pN)=2HN=6+2M，

如圖2,

A

由上知：CG=2%,MG=2,

:.CM=?M-2,

：.HM=(273-2)X%=3-百，

:.PM+2PN=2(-LpH+pN)=2印/=6-2?,

：.6-2MWPM+2PNW6+2、厄.

13.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓。，尸為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

【分析】61PA+PB=?QPA+叵PB),利用相似三角形構(gòu)造亞P8.

22

D,C

【解答】

解：設(shè)。。半徑為

0P=r=/gC=2,0B=?r=2近,

取。2的中點(diǎn)/,連接尸/,

：.01=止=近,,

0I-V2

型巫用,

0P2v

?.?-O--P----0-B--,

010P

N。是公共角，

△BOPS^POI,

.PI01如

??----=---=----,

PB0P2

：.PI=1A_PB,

2

AP+^-PB=AP+PI,

2

二當(dāng)/、P、/在一條直線上時(shí)，4P+173最小,

2

作IELAB于E,

VZABO^45°,

：.IE=BE=^-BI=l,

2

:.AE=AB-BE=3,

-?AI=4§2+F=710,

；.AP+^-PB最小值=//=VT5,

■:近PA+PB=?（P/+近尸8）,

2

的最小值是&4/=,回xW3=2遙.

故答案是2通.

二.解答題

14.(2022?從化區(qū)一模)已知，N2是。。的直徑，48=4&，4C=BC.

(1)求弦3C的長；

(2)若點(diǎn)。是N8下方。。上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，，8重合)，以CD為邊,作正方形CDER如圖1所示，

若“是DF的中點(diǎn)，N是8c的中點(diǎn)，求證：線段的長為定值；

(3)如圖2,點(diǎn)尸是動(dòng)點(diǎn)，且/尸=2,連接CP,PB,一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿

線段。勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段尸3勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2,到達(dá)點(diǎn)2后停止運(yùn)動(dòng),

求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值.

圖1圖2

【分析】(1)N2是O。的直徑，/C=2C可得到△NBC是等腰直角三角形，從而得道答案；

(2)連接N。、CM、DB、FB,首先利用NCBF=/CAD,證明。、B、尸共線，再證

明△。四是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得證；

(3)“阿氏圓”的應(yīng)用問題，以“為圓心，NP為半徑作圓，在/C上取點(diǎn)使NM=1,連接PM,過

〃■作于"，連接交O/于尸，先證明因，生+8尸最小，即是PM+AP最小，此時(shí)

22

P、B、M共線，再計(jì)算皿/的長度即可.

【解析】(1)是。。的直徑，

AZABC=90°,

?；AC=BC,

二△NBC是等腰直角三角形，ZCAB^45°,

,:AB=4?

BC=AB*sin45°=4；

(2)連接4。、CM、DB、FB,如圖：

c

是等腰直角三角形，四邊形CZ)E廠是正方形,

:?CD=CF,ZDCF=ZACB=90°,

???ZACD=90-ZDCB=/BCF,

又AC=BC,

:?△ACD"ABCF("S),

：.ZCBF=ZCAD,

：.ZCBF+ZABC+AABD=ZCAD+ZABC+AABD

=/DAB+/CAB++/ABC+/ABD

=ZDAB+45°+45°+ZABD,

而AB是。。的直徑，

；?NADB=90°,

AZDAB+ZABD=90°,

；?/CBF+/ABC+/4BD=180°,

:?D、B、尸共線,

???四邊形CD￡尸是正方形，

???ADCF是等腰直角三角形,

???屈是。咒的中點(diǎn)，

：.CM±DFf即△CMS是直角三角形，

TN是5c的中點(diǎn)，

:.MN=LBC=2,即"N為定值；

2

(3)以/為圓心，4P為半徑作圓，在NC上取點(diǎn)M,使NM=1,連接尸過加r作必于〃，連

接2M交GM于尸，如圖:

一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段CP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位的速度沿

線段尸8勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,

二。運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=^-+BP,

"：AM=\,AP=2,AC=BC=4,

?幽=空=工

"APAC2，

又NMAP=/PAC,

：.△MAPsgac,

?PM=

"PCAP2"

2

生+BP最小，即是PM+BP最小，

2

此時(shí)P、B、M共線，即尸與P重合，―區(qū)+8尸最小值即是的長度，

2

在RtZX/Aff/中，/MAH=45°,AM^l,

：.AH=MH=y^,

2

'：AB=4-/2>

：.BH=AB-AH=^^~,

2

RtABA/H中，BM^JBH2+MH2=5'

???點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值為5.

15.(2021?渝中區(qū)校級自主招生)如圖，在△48C與△DEF中，NACB=/EDF=90°,BC=4C,ED=

FD,點(diǎn)。在上.

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在NC的延長線上，連接/￡,探究線段NRAE、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；

(2)如圖2,若點(diǎn)。與點(diǎn)/重合，且/C=3&，DE=4,將斯繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，連接BF,點(diǎn)、G為1BF

的中點(diǎn)，連接CG,在旋轉(zhuǎn)的過程中，求3cG+8G的最小值；

2

(3)如圖3,若點(diǎn)。為N2的中點(diǎn)，連接2尸、CE交于點(diǎn)CE交AB于點(diǎn)、N,且BC：DE；ME=7：

9：10,請直接寫出世的值.

【分析】(1)過尸作于"，過E作EGL/8于G,結(jié)合K字型全等，等腰直角三角形，四點(diǎn)共

圓即可得到答案；

(2)第二問考察隱圓問題與阿氏圓，取的中點(diǎn)。，連接OG,在08上取三，連接G”,構(gòu)建

3

相似，轉(zhuǎn)化線段即可得到答案；

(3)過點(diǎn)C作AF平行線，點(diǎn)尸作2C平行線交于點(diǎn)G；過點(diǎn)G作G//L2尸于點(diǎn)〃，過點(diǎn)K作K/L

FG,證明△3。尸也△(7￡>￡,設(shè)BC=7t,則￡>￡=%,ME=10t,結(jié)合勾股定理、相似三角形及解直角三

角形的知識進(jìn)行計(jì)算.

【解析】(1)線段/RAE.AD之間的數(shù)量關(guān)系：AE+V2AD=AF>證明如下:

過尸作尸//_148于X,過E作EG_L42于G,如圖:

"：FHLAB,EGLAB,NEDF=90°,

：.ZFHD=ZDGE=90°,ZFDH=90°-ZEDG=ZDEG,

且DF=DE,

.?.△Fffl屋△OGE(AAS),

：.FH=DG=AD+AG,

?；/ACB=/EDF=90°,BC=AC,ED=FD,

：.ZFAB=ZFED=45°,

點(diǎn)尸、D、/、￡四點(diǎn)共圓，

:./FAE=NFDE=9Q°,NEAG=/DFE=45°,

'：FHLAB,EGLAB,ZBAC=45°,

AFAH和4EAG為等腰直角三角形，

：.AF=-/2FH,AE=、@G,

：.AF=y/2(AD+AG)=近AD+如AG="叵AD+AE；

(2)取48的中點(diǎn)O,連接OG,在上取0a=9，連接GX,如圖:

3

：G為3尸的中點(diǎn)，。為48中點(diǎn),

；.0G是△NAF的中位線，

OG=^AF=LDF=工DE=2,

222

?；/C=3&,

:.AB=aAC=6,。2=%3=3,

?.?~O~G~_~2~9

OB3

三

而型=豆=2,

0G23

.OG=0H

"OBOG'

又/HOG=/GOB,

△HOGs△GOB,

.HG=OG=2_

?,福OBF

：.HG=^-BG,

3

?'--|<G+BG=|-(CG*G)-|(CG+HG>

要使3CG+2G的最小，需CG+HG最小，

2

，當(dāng)H、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，3cG+2G的最小，3cG+5G的最小值是三S,如圖:

VOC=^-AB=?>,OH=生,

23

c//=VoH240C2=2^P--

o

：.^-CG+BG的最小值是3cH=3x亞之=u豆.

22232

(3)過點(diǎn)C作8尸平行線，點(diǎn)/作8c平行線交于點(diǎn)G；過點(diǎn)G作G//L8產(chǎn)于點(diǎn)”，過點(diǎn)K作K/J_

FG；如圖：

,：NBDC=NFDE=90°,

：.ZBDC+ZCDF^ZFDE+ZCDF,即/BDF=ZCDE,

MCD=BD,DE=DF,

：.4BDF沿ACDECSAS),

：.BF=CE,ZDEC=ZDFB,

VZDEC+ZDPE^90°,ZDPE^ZMPF,

：./DFB+NMPF=9Q°,

ZFME=90°

由BC：DE：ME=7：9：10,設(shè).BC=1t,則?！?%,Affi=10f；

:.EF=?DE=9Mt,

'：CG//BF,FG//BC,

：.四邊形BFGC為平行四邊形，

：.CE=BF=CG,ZECG=ZFME=90°,

:ZCG為等腰直角三角形，

.?.NCGE=45°=ZGKH,

為等腰直角三角形，

.?.雪=倉，巫=此=&,里=&，

CECDCDDE

.GEFGEF

"cf"CD'DE'

：.4CDES叢GFE,

：.ZDCE=ZFGE,

??^-=sinZDCE=sinZFGE：

R3MFE中，A^=VEF2-ME2=

：.FK=MK-MF=ME-MF=107-'、質(zhì)KFG=BC=7t,

設(shè)/GFH=n,/KGI=NNCD=6,

??CGH.,KI.DN

??smCL=—,smpR-

rirKGCN

RtZV;XZ中，sina=—,

FK

???KI=FKsinCl=FK粵,

FG

?：GH=^-,

V2

KG

KI=FK,%,。

FGV2FG

FK-KG

KI6FGFK105屈t5加

sin0=

KGKGV2FG&,7t7

.ND572-731

CN7

16.(2021?九龍坡區(qū)校級模擬)在△NBC中，ZCAB=90°,AC=AB.若點(diǎn)。為NC上一點(diǎn)，連接8D,

將AD繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到2E,連接CE,交48于點(diǎn)尸.

B

圖2圖3

(1)如圖1,若//3￡=75°,BD=4,求NC的長;

(2)如圖2,點(diǎn)G為2C的中點(diǎn)，連接尸G交AD于點(diǎn)X.若/48。=30°,猜想線段。C與線段HG

的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;

(3)如圖3,若/2=4,。為NC的中點(diǎn)，將△4BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得△⑷BD',連接HC、A'D,當(dāng)

A'