2024-2025學(xué)年滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)與六類特殊圖形（原卷版）

專題n反比例函數(shù)與六類特殊圖形

目錄

解題知識(shí)必備................................................

壓軸題型講練................................................

類型一、反比例函數(shù)與等腰三角形..........................

類型二、反比例函數(shù)與直角三角形..........................

類型三、反比例函數(shù)與平行四邊形..........................

類型四、反比例函數(shù)與矩形.................................

類型五、反比例函數(shù)與菱形

類型六、反比例函數(shù)與正方形

壓軸能力測(cè)評(píng)（10題）.....................................

“解題知識(shí)必備”

1反比例函數(shù)與三角形綜合的方法

1,涉及到面積問(wèn)題時(shí)，往往利用割補(bǔ)法求三角形的面積；

2,比較函數(shù)大小時(shí)，通過(guò)圖像即可比較得出；

3,利用待定系數(shù)法求解析式，解決不等式時(shí)也通過(guò)圖形即可得出。

4,涉及到等腰三角形的存在和直角三角形的存在時(shí)，一般要分類討論，根據(jù)各類情況情況進(jìn)行分析，涉

及到的知識(shí)點(diǎn)涵蓋：兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理等。

5,直角三角形時(shí)，如下圖：

原理：根據(jù)直角三角形的定義,以直角頂點(diǎn)分三種情況進(jìn)行討論.

作圖：口訣：兩線一HH舉例如下：若乂(3.0)、B(0.4),在宜線上求點(diǎn)C使得△4放?

為直角三角形.以下分三種情況討論：

(i)當(dāng)/為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)/為作的垂線/交宜線x=l于點(diǎn)C則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C如

圖1：有a一個(gè)點(diǎn).

(U)當(dāng)8為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)8為作48的垂線/交直線尸I于點(diǎn)C,則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.如

圖2：有J一個(gè)點(diǎn).

(汨)當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以回為直徑作例，則該圓與直線尸1的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.如圖3：

有C；、C兩個(gè)點(diǎn).

?▲產(chǎn)1v4x=\F=1

二j.F:

/C心

!圖?圖2圖

3：

:方法：

幾何法：構(gòu)造大型”或“一線三垂直”相似：

代數(shù)法：兩點(diǎn)間的距離公式.列方程，解方程，檢驗(yàn)根(除■、疊雷:h

解析法：求垂線解析式,聯(lián)立方程組求交點(diǎn).

6,等腰三角形時(shí)，如下圖：

畫弧法：以等腰三角形確定邊兩端點(diǎn)分別為圓心，確定邊長(zhǎng)度為半徑畫弧與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所

求點(diǎn)，另外確定邊的垂直平分線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。

原理：根據(jù)等腰三角形的定義,以兩腰的三種情況進(jìn)行分類討論.

作圖：口訣：兩圓一線！舉例如下：若4(3,0)、B(0.4),在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)C使得為

等腰三角形.以下分三種情況討論：

(i)當(dāng).4B=/C時(shí)，以X為圓心，X8長(zhǎng)為半徑作圓X,則圓X與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.如

圖1：有Ci、Cz、C,三個(gè)點(diǎn).

(ii)當(dāng)切=比:時(shí)，以8為圓心，XB長(zhǎng)為半徑作圓B,則圓8與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.如

圖2：有C,、Cs、C6三個(gè)點(diǎn).

(in)當(dāng)O=CB時(shí)，作線段.48的中垂線/,則直線/與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.如圖3：

有Ci、G兩個(gè)點(diǎn).

方法：

幾何法：兩腰相等、兩底角相等、三線合一性；

代數(shù)法：兩點(diǎn)間的距離公式.列方程，解方程，檢驗(yàn)根(除■、查漏)：

解析法：求中垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點(diǎn).

2反比例函數(shù)與四邊形綜合

1,三角形面積，平行四邊形性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題。

2,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系、菱形的性質(zhì)以及利用三角形三邊關(guān)系解決最值問(wèn)

題，同時(shí)也會(huì)用到等腰三角形的性質(zhì)、中位線和直角三角形的性質(zhì)。

3,平行四邊形的存在性問(wèn)題

利用線段長(zhǎng)解析式=定值長(zhǎng)(平行四邊形對(duì)邊平行且相等)列方程求值

，策略：①中點(diǎn)坐標(biāo)公式：②三平三交定三點(diǎn)：③兩對(duì)角線端點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和分別

；相等(秒殺必備)：④橫平里直做輔助.

I

I

I

I

r三定一動(dòng)：用②③即可秒殺(本質(zhì)還是中點(diǎn)坐標(biāo)公式)

;分類[c兩定點(diǎn)之間線段是一條邊]

!I兩定兩動(dòng)｛一利用①④綜合解決

I兩定點(diǎn)之間線段是一條對(duì)角線,

x壓軸題型講練2

類型一反比例函數(shù)與等腰三角形結(jié)合

k

例.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)％=-左的圖象與反比例函數(shù)%=—的圖象交于A、8兩點(diǎn).

(1)根據(jù)圖象求上的值；

⑵根據(jù)圖象M2%時(shí)，寫出自變量的取值范圍；

⑶點(diǎn)P在y軸上，且滿足以點(diǎn)A、。、尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)尸所有可能的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練11.如圖，一次函數(shù)'=公+4的圖象與反比例函數(shù)y=~的圖象交于A(%6),伙-3,-2)兩點(diǎn),

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求VAOB的面積；

⑶根據(jù)函數(shù)圖象，寫出不等式以+4＞￡的解集：

X

⑷點(diǎn)C是X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC、BC,當(dāng)&ACB是等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練2】.如圖，已知反比例函數(shù)＞=上和一次函數(shù)＞=2尤-1,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(a/),

(a+l,b+Z)兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如下圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑶利用(2)的結(jié)果為條件，請(qǐng)問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P,使，AOP是以A0為腰的等腰三角形？若存在，

直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

k

【變式訓(xùn)練3].如圖，在坐標(biāo)平面xOv中，一次函數(shù)y=x+2的圖象與反比例函數(shù)y=—(kw0,x>0)的圖

象交于點(diǎn)A(a,3),與左軸交于點(diǎn)8.

BC

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;

k

(2)當(dāng)x>0時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出不等式x+2<t的解集;

⑶點(diǎn)C為x軸上一個(gè)點(diǎn)，連接AC,當(dāng)VABC為以A3為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，不必

寫出理由.

類型二反比例函數(shù)與直角三角形結(jié)合

1〃

例.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線=與反比例函數(shù)y=—的圖象交于點(diǎn)A,2(點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左側(cè))，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是L

⑵如圖，將直線小y=-gx向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新的直線3點(diǎn)M在直線。上，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)

為《0</<4).連接A",BM.

①求的面積；

②當(dāng)a是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

k

【變式訓(xùn)練1].如圖，一次函數(shù)y=-x+4與反比例函數(shù)，=((尤>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與無(wú)軸交于點(diǎn)

C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)尸在X軸上，且是直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練2].如圖，正比例函數(shù)>=-2尤與反比例函數(shù)尸幺的圖象交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為2.

X

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式8+2x40的解集；

X

⑶點(diǎn)P是X軸上一點(diǎn)，連接RI,PB,當(dāng)，X4B是直角三角形且以力B為直角邊時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

k

【變式訓(xùn)練31.一次函數(shù)y=-x+4與反比例函數(shù)y=—(尤＞0)的圖象交于兩點(diǎn)，與X軸交于點(diǎn)c,其

x

中

⑴求反比例函數(shù)表達(dá)式；

⑵已知8(3,1),請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出-尤+42人時(shí)，x的取值范圍;

⑶若點(diǎn)P在X軸上，且是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

類型三反比例函數(shù)與平行四邊形結(jié)合

0

k

例.如圖，在平行四邊形owe中，點(diǎn)C在，軸正半軸上，點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，若反比例函數(shù)＞尤＞0)的

圖象經(jīng)過(guò)A,。兩點(diǎn)，且ACD的面積為2,則后=.

Q

【變式訓(xùn)練如圖，平行四邊形Q4BC的頂點(diǎn)A,B在函數(shù)y=-(x>0)的圖象上，邊與y軸交于點(diǎn)

X

AELx軸于點(diǎn)E.若VAOB的面積為8,則學(xué)的值為________.

AE

【變式訓(xùn)練2】.已知點(diǎn)A(L2)、分別在反比例函數(shù)y='和y="的圖像上，四邊形A3CO為平行

y)xx

四邊形.將ABCO沿y軸向上平移，使點(diǎn)C落在反比例函數(shù)>="的圖像上的。點(diǎn)，則兩個(gè)平行四邊形重

X

疊部分的面積為.

【變式訓(xùn)練3】.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形043c的頂點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半

軸上，點(diǎn)C在函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，點(diǎn)8在函數(shù)y=V尤>0)的圖象上.若OC=AC,貝麟的值為.

xx

類型四反比例函數(shù)與矩形結(jié)合

例.如圖，點(diǎn)尸在函數(shù)y=g（左＞0，尤＞0）的圖像上，過(guò)P作以L*軸于點(diǎn)A,交直線y=-x+8于點(diǎn)。，作

軸于點(diǎn)尸，交直線y=-x+8于點(diǎn)C,分別在矩形APF0的外側(cè)構(gòu)造矩形APCB,PDEF.若尸是“

的中點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為7,則上的值為.

k

【變式訓(xùn)練1］如圖，A、8是反比例函數(shù)＞=一（左N0）的圖象上兩點(diǎn)，點(diǎn)C、D、E、尸分別在坐標(biāo)

x

軸上，若正方形OCAD的面積為6,則矩形。麗的面積為

【變式訓(xùn)練2】.如圖，四邊形Q4BC為矩形，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)8,。都

在函數(shù)y=逑（x＞0）的圖象上，的，x軸于點(diǎn)E.若DC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)F,當(dāng)矩形QMC的面積為90

X

時(shí)’邸的值為

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【變式訓(xùn)練31.如圖，矩形A3CD的頂點(diǎn)A,8分別為反比例函數(shù)＞(尤＞0)與y=-』(x＜0),點(diǎn)C,D

XX

在X軸上，BA,3D分別交y軸于點(diǎn)E,F,則陰影部分的面積為.

類型五反比例函數(shù)與菱形結(jié)合

例.如圖，在菱形ABOC中，AB=4,ZA=60°,菱形的一個(gè)頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)〉=勺b0)的圖象上,

則反比例函數(shù)的解析式為

【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形Q4BC的頂點(diǎn)A在＞軸正半軸上，點(diǎn)B在一個(gè)反比例函

數(shù)的圖象上，若NABC=60。，且菱形Q45C的面積為12,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為.

【變式訓(xùn)練2】.如圖，菱形。4BC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為］|,2),頂點(diǎn)A在天軸的正半軸上，反比例函數(shù)

y=A(x＞。)的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B,則上的值為

X

四邊形ABCD是菱形，邊2c在x軸上，點(diǎn)4(0,4),點(diǎn)5(3，。)，雙曲線y=:與

直線交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,則_00后的面積為

類型六反比例函數(shù)與正方形結(jié)合

例.如圖，正方形ABCD放置在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)反比例函數(shù)

y=：k(4*0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)c,將正方形向上平移機(jī)個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)。恰好落在雙曲線上，則加值為.

【變式訓(xùn)練1】.如圖，四邊形Q4BC是矩形，ADEF是正方形，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)/在A8上,

點(diǎn)2和點(diǎn)E在丫=幺的圖象上，。4=1,。。=6,則正方形ADEF的邊長(zhǎng)為.

X

【變式訓(xùn)練21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，以A3為邊作

正方形A5C。（C、O在第一象限）其中頂點(diǎn)。恰好落在雙曲線y=8上，現(xiàn)將正方形45co沿尤軸向右平

X

移。個(gè)單位，使得頂點(diǎn)8落在雙曲線y=勺上，則。的值為.

【變式訓(xùn)練3】.如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=?（%＞0）和y=+（魚＞0）的圖象上，若

〃＞軸，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,則匕+心的值為.

??壓軸能力測(cè)評(píng)”

k

1.如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸，y軸上，應(yīng)）〃x軸，AC=2,應(yīng)＞=5,反比例函數(shù)y=—（尤＞0）

X

2.如圖，把邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸上，ND4B=60。，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

k

（2,0）,E是邊CO的中點(diǎn)，反比例函數(shù)＞=生的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,則/的值是

CD1

3.如圖，矩形Q4BC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)。在BC上，且反比例函數(shù)

CB4

k

y=—（左＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。及矩形。RC的對(duì)稱中心順次連接點(diǎn)。、。、M.若的面積為4,

x

1k

4.如圖，矩形Q4BC的頂點(diǎn)A,C分別在v軸、無(wú)軸的正半軸上，S.AD=-AB,反比例函數(shù)y=—（左＞0）的

4x

圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。及矩形。LBC的對(duì)稱中心M,連接8,OM,DM.若△O。欣的面積為3,則左的值為

k

5.如圖，已知點(diǎn)42,4）是反比例函數(shù)y=~