2024-2025學(xué)年黑龍江省高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線3x+J^y+2=°的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

2.拋物線j=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（1,0）B.（0,1）C.4,0）D.（0*

oo22

123

3.已知隨機(jī)事件A,8滿足尸（2）=5,尸（8）=1,尸（ZU8）=s，則P（/CB）=（）

4.已知雙曲線C的一條漸近線方程為＞=2x,實(shí)軸長為4,則。的方程為（）

X2/X2/

二1B.二1

4161664

x22x222

=1或^———二二1D.=1或匕-二

T16416164

5.已知圓C:（x+l）2+（y+2）2=5,點(diǎn)/（2,2）,若直線ZM,ZN分別切圓。于M,N兩

點(diǎn)，則直線的方程為（）

A.3x+4y+6=0B.3x+4y+7=0

C.4x+3y+6=0D.4x+3y+7=0

6.已知V4BC的兩個(gè)頂點(diǎn)為力（—2,0）,5（2,0）,且/C,8C的斜率之積等于左優(yōu)wO）,

則（）

A.當(dāng)人=-1時(shí)，C的軌跡為直線（去掉A,8兩點(diǎn)）

B.當(dāng)左＜一1時(shí)，C的軌跡為雙曲線（去掉A,2兩點(diǎn)）

C.當(dāng)—1〈左＜0時(shí)，C的軌跡為橢圓（去掉A,8兩點(diǎn)）

D.當(dāng)左＞0時(shí)，。的軌跡為拋物線（去掉A,B兩點(diǎn)）

31

7.某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率為一的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其

近地點(diǎn)離地面的距離為LR,則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）

3

323529

A.—RB.—RC.12RD.—R

333

2222

8.已知橢圓G：土+土=1（加〉2）與雙曲線—土=1（〃〉0）有公共的焦點(diǎn)片、F2,

m2n2

尸是G和G的一個(gè)公共點(diǎn)，則|所+熾|=（）

A2y[mB.C.2J加+2D.2J〃+2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，已知點(diǎn)4（—2,0）,5（2,0）,尸是一個(gè)動點(diǎn)，則（）

A.若歸H+\PB\=6,則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

B.若怛/|—|必|=2,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

C.若|莎+而|=|百-而則點(diǎn)P的軌跡為直線

D.若|西卜2歸耳，則點(diǎn)P的軌跡為圓

10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取

一個(gè)球.事件"第一次取出的球的數(shù)字是1"，事件N="第二次取出的球的數(shù)字是2"，事

件尸="兩次取出的球的數(shù)字之和是8"，事件。="兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A./與P互斥B.尸與0互斥C.N與尸相互獨(dú)立D.M與。

相互獨(dú)立

11.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/.設(shè)過/且傾斜角為60°的直線與

。交于A,B兩點(diǎn),過A作Z4，/，BBJI,垂足分別為4和4，4F，耳廠與》軸

分別交于點(diǎn)M,N,AM與BN交于前P,則（）

A.M為&F的中點(diǎn)B.AXFHBNC.\AXP\=^B,P\D.

附=平。

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C:（x—2>+（>+1）2=13,則過點(diǎn)（3,1）的圓C的最短弦所在的直線方程為

13.已知橢圓C：三+二=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,長軸長為16,過用且

ab~

\MFA3

斜率為6的直線與。在第一象限交于點(diǎn)M，且匕升=￡，則6=

必用5

14.已知拋物線=2px（,〉0）的焦點(diǎn)為E,P（%o，yo）是拋物線E上異于原點(diǎn)。的一點(diǎn)，

過點(diǎn)P且斜率為二的直線/與x軸交于/點(diǎn)，與〉軸交于N點(diǎn)，則/跖\戶=

y0

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.甲、乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4）玩游戲，他們將撲克

牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.

（1）寫出甲、乙抽到牌的所有情況；

（2）若甲抽到紅桃3,則乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是多少？

（3）甲、乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，則甲勝；否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公

平？為什么？

16.已知圓C:x?+y2-2x-2y—2=0.

（1）求過點(diǎn)/（3,-2）與圓。相切的直線方程.

（2）求過點(diǎn)8（-6,-3）與圓C相交且弦長為2G的直線方程.

17.已知橢圓°：W+，=1伍〉6〉0）的左焦點(diǎn)為/，離心率為g,且C經(jīng)過點(diǎn)

（1）求C的方程；

（2）已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M任做一條直線與橢圓交于8、C兩點(diǎn)，求以/為

中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

22

18.己知4（2,0）和P（4,3）為雙曲線C:表—臺=1（。〉0,6〉0）上兩點(diǎn).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求雙曲線。的離心率及漸近線方程；

(3)若過P的直線/交。于另一點(diǎn)B,且0的面積為6,求/的方程.

19.已知動圓0經(jīng)過點(diǎn)尸(1,0)且與直線x=-l相切，記圓心。的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)E且斜率為正的直線/交曲線。于46兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的上方)，48的中點(diǎn)

為M,

①過M8作直線x=—1的垂線，垂足分別為陷,耳，試證明：AM,//FBX；

②設(shè)線段48的垂直平分線交x軸于點(diǎn)尸，若△￡口〃的面積為4,求直線/的方程.

2024-2025學(xué)年黑龍江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線3x+J^y+2=°的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D,150°

【正確答案】C

【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算可得.

【詳解】直線3x+島+2=0的斜率左=-e=-6,設(shè)傾斜角為

則tana=—6，又0^￡a<180，所以a=120°.

故選：C

2.拋物線j=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(0,1)C.4,0)D.(O2)

oo22

【正確答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】由y=2/可得/=2_了，所以焦點(diǎn)為(0,，)，

28

故選：B

123

3.已知隨機(jī)事件A,8滿足尸(2)=5,尸(8)=1,P(A\iB)=-,則P(/cB)=()

i331

A.-B.—C.—D.一

51083

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計(jì)算即得.

【詳解】：尸(2。8)=尸(2)+尸(8)—尸(/門8),

1233

P(Zc8)=尸(Z)+^)-^05)=-+

故選：B.

4.已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x,實(shí)軸長為4,則C的方程為（）

A一IBx-1

4161664

2222222

C.二-匕=1或匕-12=1D.匕—匕=1或匕_匚=1

4164416164

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線。的焦點(diǎn)位置設(shè)出方程，由漸近線方程及實(shí)軸長列出的方程，求解

即可.

22

【詳解】當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，方程為二—4l(a>0,b>0),

a2*4b2

???漸近線方程為V=2x,實(shí)軸長為4,

??.2=2且2a=4,解得。=2,6=4,

22

???C的方程為土-匕=1.

416

當(dāng)雙曲線c的焦點(diǎn)在＞軸上時(shí)，方程為《

1(。>0,6>0),

??,漸近線方程為y=2x,實(shí)軸長為4,

a

.?.—=2且2a=4,解得。=2,6=1,

??.C的方程為匕—爐=1.

4

222

綜上，。的方程為二一匕=1或匕—，=1.

4164

故選：C.

5.已知圓C:（x+iy+（y+2）2=5,點(diǎn)/（2,2）,若直線ZM,ZN分別切圓。于M,N兩

點(diǎn)，則直線W的方程為（）

A.3x+4y+6=0B.3x+4y+7=0

C.4x+3y+6=0D.4x+3y+7=0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意可知直線為圓C和以ZC為直徑的圓的公共弦，求出以ZC為直徑的

圓，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€ZM,ZN分別切圓C于M,N兩點(diǎn)，

所以CA/，ZM,CN，ZN,

所以點(diǎn)M,N在以ZC為直徑的圓上.

因?yàn)镃（—1,—2）,幺（2,2）,

所以以/C為直徑的圓的圓心為,

半徑為遇MC|=；xJ（—1—26（—2-2）2、,

125

故以ZC為直徑的圓的方程（X—］）2+/=1，即x2+y2—X—6=0,

又圓C:（x+l）2+（y+2）2=5,即x?+y2+2x+4y=0,

兩圓方程相減得3x+4y+6=0,

所以直線的方程為：3x+4v+6=0.

故選：A.

6.已知VN8C的兩個(gè)頂點(diǎn)為力（一2,0）,5（2,0）,且/C,8C的斜率之積等于左（左w0）,

則（）

A.當(dāng)左=-1時(shí)，C的軌跡為直線（去掉A,B兩點(diǎn)）

B.當(dāng)左＜—1時(shí)，C的軌跡為雙曲線（去掉A,8兩點(diǎn)）

C.當(dāng)一1〈左＜0時(shí)，C的軌跡為橢圓（去掉A,B兩點(diǎn)）

D.當(dāng)人＞0時(shí)，C的軌跡為拋物線（去掉A,8兩點(diǎn)）

【正確答案】C

【分析】設(shè)C（x,y）,由條件求出。的軌跡方程，根據(jù)左的取值范圍確定軌跡的形狀即可.

【詳解】設(shè)C（x,y），由ZC,的斜率之積等于左（左彳0）,

得^——J=k,即工—匕=1（XW±2）,

x+2x-244k'7

當(dāng)左=—1時(shí)，方程為Y+J?=4（］w±2）,

???。的軌跡是圓（去掉A,3兩點(diǎn)）,故A錯(cuò)誤；

22

當(dāng)上<—1時(shí)，方程為土+工=1（xw±2）,且—4人〉4,

4-4人

；.C的軌跡為橢圓（去掉A,2兩點(diǎn)），故B錯(cuò)誤；

22

當(dāng)—1<k<0時(shí)，方程為二+上一=1（XH±2）,且o<—4上<4,

4-4k

；.C的軌跡為橢圓（去掉A,8兩點(diǎn)），故C正確；

22

當(dāng)后>0時(shí)，方程為土—匕=1（xw±2）,且4k>0,

44k

的軌跡為雙曲線（去掉A,B兩點(diǎn)），故D錯(cuò)誤.

故選：C.

31

7.某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率為一的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其

39

近地點(diǎn)離地面的距離為工尺，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）

3

323529

A.—RB.—RC.12RD.—R

333

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)列式求解.

【詳解】由題意知a—c—R=—氏且￡=一，解得。=上氏，c=—R,

3a3926

133132

則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為a+c—R=—R+—R—R=——R.

263

故選：A.

8.已知橢圓G：土+土=1(掰〉2)與雙曲線。2：土—土=1(〃〉0)有公共的焦點(diǎn)片、耳,

m2n2

尸是G和的一個(gè)公共點(diǎn)，則|可+庵|=()

A.2y[mB.I4nC.2，加+2D.2J〃+2

【正確答案】D

【分析】由條件結(jié)合橢圓與雙曲線的定義可得尸々，尸石，然后由向量的運(yùn)算求解|兩+配|

即可.

【詳解】由橢圓的定義得|P片|+|尸乙|=2而，

1)2=4加，BP|P^|2+|P^|2+2|P^||PF.\=4m①，

(]PFX\+\PF2

由雙曲線的定義得11尸耳-14y=2M，

2

.-.(\PFi\-\PF2\)=4n,即I尸耳2+1尸耳「一2|尸耳|「鳥|=4〃②，

由①②解得|尸印2+1%]=2(〃[+〃),

又由題意知/二加―2，c2=n+2＞可得2c2=〃?+〃，

|P/訐+|/第「=公2,而比己『=4c2,

.?.|尸耳『+|尸乙『=|片巴「，則尸片，尸鳥,

又：。為公鳥的中點(diǎn),

|兩+至1=12Pd\=2\PO\=2x^\FyF21=2c=2yjm-2=2y]n+2.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(—2,0),5(2,0),尸是一個(gè)動點(diǎn)，貝U()

A.若|24|+|必|=6,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓

B.若忸國—|必1=2,則點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

c.若|蘇+而1=1萬-而則點(diǎn)尸的軌跡為直線

D.若|莎|=2|而則點(diǎn)尸的軌跡為圓

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A,根據(jù)雙曲線的定義判斷B,可得百.而=0,即可判斷C,

設(shè)P(X,y),由距離公式推出軌跡方程，即可判斷D.

【詳解】對于A：1PH+|P8|=6>HM，則點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，故A正

確;

對于B：|尸聞-「a=2<|48],則點(diǎn)P的軌跡是以A、8為焦點(diǎn)雙曲線的右支，故B錯(cuò)誤;

對于C：由，幺+尸川=。4一必卜可得西.而=0,

則點(diǎn)P的軌跡是以48為直徑的圓，故C錯(cuò)誤;

對于D：設(shè)P(xj),由忸鼻=2|而則J(x+27+y2=21x—2『+月,

即I/—T]+^2=y,所以點(diǎn)尸的軌跡為圓，故D正確.

故選：AD.

10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取

一個(gè)球.事件M="第一次取出的球的數(shù)字是1"，事件N="第二次取出的球的數(shù)字是2"，事

件尸="兩次取出的球的數(shù)字之和是8"，事件。="兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（

A.Af與P互斥B.尸與?；コ釩.N與尸相互獨(dú)立D.M與。

相互獨(dú)立

【正確答案】ABD

【分析】列舉出基本事件，再根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.

【詳解】依題意從中有放回地隨機(jī)取兩次球，則可能結(jié)果有：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36個(gè)結(jié)果.

事件M包含的基本事件有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）共6個(gè);

事件N包含的基本事件有：（1,2）,（2,2）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）共6個(gè);

事件尸包含的基本事件有，（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）共5個(gè);

事件。包含的基本事件有：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6個(gè)；

對于A：顯然事件M與事件尸不可能同時(shí)發(fā)生，所以/與尸互斥，故A正確；

對于B：事件尸與事件。不可能同時(shí)發(fā)生，所以尸與。互斥，故B正確;

對于C：因?yàn)槭∟）=t=；,尸（P）C，P（NP）=9P（N〉P陰，

3003030

所以N與P不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤;

對于D：因?yàn)槭?）=《=:，P（0）=!=J,p（M0）=2=p（M）P（0）,

JooJoo36

所以M與。相互獨(dú)立，故D正確.

故選：ABD

11.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/.設(shè)過尸且傾斜角為60°的直線與

。交于A,8兩點(diǎn)，過A作Z4，/，BBJI,垂足分別為％和與，A}F,男尸與〉軸

分別交于點(diǎn)M,N,AM與BN交于點(diǎn)、P,則（）

3

A.河為2尸的中點(diǎn)B.A.F//BNC.\AXP\=^\BXP\D.

\PF\~P

【正確答案】ABD

【分析】A：根據(jù)。為抄'中點(diǎn)以及（W//4b'進(jìn)行分析；B：先證明2/，8尸，然后證

明8NL耳/，由此可判斷選項(xiàng)；C：聯(lián)立直線與拋物線求解出48坐標(biāo)，由此可分析出M,N

坐標(biāo)，表示出直線的方程，聯(lián)立可得P坐標(biāo)，據(jù)此計(jì)算并判斷；D：根據(jù)P,R的坐

標(biāo)計(jì)算并判斷.

【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于/'，不妨設(shè)A在x軸上方，8在x軸下方，如圖所示，

對于A：因?yàn)閨%=|0/］林，所以。為次中點(diǎn)，

因?yàn)?。WV/4/'，所以M為4尸的中點(diǎn)，故正確；

對于B：因?yàn)閆4=4F，/4//EE'，所以NPF4=,所以

ZF'FA,=-ZF'FA,

12

因?yàn)锳S】=BF,BBJIFF',所以AF'FB,=NBB/=ABFBX,所以ZF'FB^=^ZF'FB,

11兀

所以4F戶4+NFFBi=Q/PFA+-ZF'FB=-,所以2/，8/，

由A選項(xiàng)，同理可證N為耳尸的中點(diǎn)，

又BB、=BF,所以所以A〔F//BN,故正確;

y2=2px

,解得X二堊或

對于C：設(shè)力。1）1）方（比2〃2），1/B

y=2

p

x=—,

6

所以心號=-3^X+2）即配

T

[6MpP

[X+x=-----(

2_p_百,、

聯(lián)立＜r—，解得＜i-，所以「且尸在準(zhǔn)線上,

6p<3p2'

y——yJ3x—y=------I

~6~13

所以14Pl=島—早=胃旦,冏尸卜孚+孚=與￡，所以14Pl=\B,P\,故錯(cuò)誤;

對于D：因?yàn)橐环桨耄蹎?，。?所以小=j/-r+j?-oj=字,

故正確；

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C:(x-2)2+5+11=13,則過點(diǎn)(3,1)的圓C的最短弦所在的直線方程為

【正確答案】x+2y-5=0

【分析】設(shè)點(diǎn)尸(3,1),則最短弦過點(diǎn)尸且與PC垂直，根據(jù)兩直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系及點(diǎn)斜

式方程求解.

【詳解】由題意知，圓C(2,-1),設(shè)點(diǎn)尸(3,1),最短弦過點(diǎn)P且與PC垂直，

-1-11

因?yàn)樽驪C=5互=2,所以最短弦所在直線的斜率左=-5，

所以最短弦所在的直線方程為y-1=-：(x-3),即x+2y-5=0.

故x+2y-5=0.

22

13.已知橢圓C：*+===l(a〉b〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，K，長軸長為16,過月且

ab

\MF\3

斜率為G的直線與c在第一象限交于點(diǎn)且2匕則6=

I耳為5

【正確答案】4百

\MF,\3

【分析】先利用直線的斜率求出/兒行；大，再由廿7弓==及橢圓定義求出及，

I片引5

最后利用余弦定理即可求得結(jié)果.

[詳解】；直線F2M的斜率6，,tanZMF.F,=-百，

2兀1

-：0<ZMF2FX<TI9：.AMF2FX=—,：.COSZMF2FX=--,

\MF?\36

.?.局\F^lc,：.\MF2\=-C,

\MF}\+\MF2\=2a=16,|A/f]|=16—-jc,

在AF[F2M中，由余弦定理得|即F=|初/+1^12-2\MF2\\F]F2IcosZMFF1，

即116-gc]=]gcj+4c2-2xjcx2cx^-

整理得c?+6c-40=0,解得c=4或c=-10（舍）.

所以b=yja2-c2=A/82-42=4^3?

故4技

14.已知拋物線=2px（p〉0）的焦點(diǎn)為歹，P（x（）,yo）是拋物線E上異于原點(diǎn)。的一點(diǎn),

p

過點(diǎn)P且斜率為二的直線/與x軸交于初點(diǎn)，與〉軸交于N點(diǎn)，則NMVF=

為

【正確答案】90°

【分析】設(shè)出直線/的方程，求得M,N,E坐標(biāo)，計(jì)算可得麗.而=（）,即可得解.

【詳解】「（%,%）是拋物線E上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，則/=22%（%W0）,

由題意知，直線/的方程為y-%=±（x-x（））,

y0

即y—^0=二。一普），即^=上》+亭,

Jo2Py02

所以/（—T；,O）,N（O，T）,尸（g,0）,

所以麗7=（―1，—修）,而=（g—―）,

所以兩?標(biāo)=（—支）x￡+叢X區(qū)=0,

2p222

所以而7_1_而，即NMNF=90°,

故90。.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.甲、乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4）玩游戲，他們將撲克

牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.

（1）寫出甲、乙抽到牌的所有情況；

（2）若甲抽到紅桃3,則乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是多少？

（3）甲、乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，則甲勝；否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公

平？為什么？

【正確答案】（1）答案見解析

2

（2）-

3

（3）游戲不公平，理由見解析

【分析】（1）由題意寫出所有抽牌情況即可；

（2）由古典概率計(jì)算即可；

（3）找到甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大的情況，再由古典概率計(jì)算，比較大小即可；

【小問1詳解】

分別用2,3,4,4'表示紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4,

則甲、乙抽到牌的所有情況為

（2,3）,（2,4）,（2,4）,（3,2）,（3,4）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（412）,（413）,（4,4）,共12

種不同的情況.

【小問2詳解】

甲抽到紅桃3,乙抽到的只能是紅桃2,紅桃4,方片4,

因此乙抽到牌的數(shù)字比3大的概率是2,

3

【小問3詳解】

甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大,有（3,2）,（4,2）,（4,3）,（4',2）,（4',3）,共5種情況,

57

因此甲勝的概率為一，乙勝的概率為一.

1212

57

因此一<一，所以此游戲不公平.

1212

16.已知圓Cix2+y?—2x—2y—2=0.

（1）求過點(diǎn)/（3,-2）與圓。相切的直線方程.

（2）求過點(diǎn)8（-6,-3）與圓C相交且弦長為2G的直線方程.

【正確答案】（1）5x+12y+9=0或x=3

（2）3x-4>+6=0或5x-12y-6=0

【分析】（1）分直線斜率存在和不存在，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求解;

（2）由弦長求得圓心到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

【小問1詳解】

?圓C:_2）—2=0,即（％-1]+（y—I]=4,

圓心半徑外=2,

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線y+2=k（x—3）,即府—y—3左—2=0,

/\7\k—\—3k—215

圓心c(l,1)到直線的距離d=J_口—1=r=2,解得左=—三

\k+112

此時(shí)直線方程為5x+12j+9=0,

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3,此時(shí)直線與圓相切,

綜上，所求直線方程為5x+12y+9=0或x=3.

【小問2詳解】

過點(diǎn)8（—6,—3）與圓C相交且弦長為26，

..?圓心C（l,l）到直線的距離d==J口=1,

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為x=-6,圓心c（l,l）到直線的距離為7,不合題意；

?■.直線斜率存在，設(shè)直線方程為歹+3=k（x+6）,即Ax—y+64—3=0,

/\7\k-1-\-6k—3|

；圓心。（1,1）到直線的距離d=J—-^=~L=1,

35

整理得48后2—56左+15=0，即（4左一3）（12左一5）=0,解得左或左=石，

...所求直線方程為3x-4>+6=0或5x-12y-6=0.

17.已知橢圓。：￡+’=1伍〉/?〉0）的左焦點(diǎn)為/，離心率為：，且C經(jīng)過點(diǎn)■:

（1）求C的方程；

（2）已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M任做一條直線與橢圓交于3、C兩點(diǎn)，求以M為

中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

22

【正確答案】（1）土+匕=1

43

(2)3x+2y—4=0

【分析】（1）依題意得到關(guān)于。、b、c的方程組，求出力、即可求出橢圓方程;

（2）設(shè)5（國,%），C（x2,y2）,利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)弦的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

/=4

19解得k2=3,

依題意可得＜f+4/=L

C=1

c2=a2-b2

所以橢圓方程為二+亡=1;

43

【小問2詳解】

根據(jù)題意得中點(diǎn)弦的斜率存在，且M在橢圓內(nèi),

設(shè)8（石,乂），C（x2,j2）,

2222

所以'+』L=l,互+生=1,

4343

兩式作差得任*區(qū)-2)+口*-上=o，

43

由于是8c的中點(diǎn)，故芭+%=2,凹+%=1，

所以3+中?二=。，

43/一馬

所以;+；,磯=0,所以怎《二一弓,

NDL

i3

所以中點(diǎn)弦的方程為^一5=-5(》—i),

所求的直線方程3x+2v-4=0.

22

18.已知/(2,0)和尸(4,3)為雙曲線。:表一方=1(°>0,6>0)上兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求雙曲線C的離心率及漸近線方程；

(3)若過尸的直線/交。于另一點(diǎn)8,且尸的面積為6,求/的方程.

22

【正確答案】(1)-匕=1

43

(2)離心率為也，漸近線方程為y=±也x

2-2

（3）%=4或9、一10y一6=0或x-2y+2=0或3x-4y=0

【分析】（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，解方程組求出。力,即得答案;

（2）根據(jù)雙曲線的離心率公式與漸近線的方程求解；

（3）求出直線/尸的方程，及8點(diǎn)到直線N尸的距離d,設(shè)5（加,〃），根據(jù)條件列出方

程組，求出加，〃得點(diǎn)8的坐標(biāo)，進(jìn)而可求直線/的方程.

【小問1詳解】

22

?.?/（2,0）和「（4,3）為雙曲線。：會一%=1伍〉0,6〉0）上兩點(diǎn)，

4,169,廣

=1且不一”=1，解得a==

aab

22

.??雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為---匕=1.

43

【小問2詳解】

a=2,b=A/3,c--xja2+b~—>/7,

.??雙曲線。的離心率為e=-=-1漸近線方程為y=土也x.

a22

【小問3詳解】

a

?.?/（2,0）和P（4,3）,.?.左心=三，

3

**.直線AP的方程為y=—（X—2）,即3x—2y—6=0,

\AP\=J（4-2j+（3-0）2=屈,

又&點(diǎn)到直線AP的距離為d,

S^ABP=-x\AP\xd=-x^l3xd=6,：.d=^^,

2213

\3m-2n-6\12V13

3m-2n-6=±12

13

設(shè)5（加,BPm2〃2

-----二1

143

3加一2〃一18二03加一2〃+6=0

1m2n2或J加2“2,

-?---------~?

〔43---------------〔43

m=4[