2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高二上冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷注意事項學(xué)生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1.本卷共4頁，包含單項選擇題（第1題～第8題）?多項選擇題（第9題～第11題）?填空題（第12題～第14題）?解答題（第15題～第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考試號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.清注意字體工整，筆跡清楚.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知經(jīng)過點的直線的斜率為2，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率公式計算可得答案.【詳解】因為經(jīng)過點的直線的斜率為2，所以，且，解得.故選：D.2.等差數(shù)列中，，則的值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】A【分析】首先由等差數(shù)列的通項公式求出公差d，則可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，因為，所以，所以，故選：A.3.已知動點與兩定點的距離之比為，則動點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)，然后根據(jù)題意建立等式化簡即可.【詳解】設(shè)，由題可知故選：C4.在2和8之間插入3個實數(shù)使得成等比數(shù)列，則的值為（）A. B.或4 C.4 D.5【正確答案】C【分析】根據(jù)等比中項求解即可.【詳解】由為等比中項可知，，又可知，所以，故選：C5.若兩直線平行，則實數(shù)的取值集合是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行得到方程和不等式，求出.【詳解】由題意得且，解得.故選：B6.等差數(shù)列的前項和為，若為定值時也是定值，則的值為（）A.9 B.11 C.13 D.不能確定【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得為定值，結(jié)合基本量法可求的值.【詳解】因為為定值且，故為定值，故為定值，其中為公差.而，故當(dāng)且僅當(dāng)即時，為定值.故選：C.7.已知直線與，過點的直線被截得的線段恰好被點平分，則這三條直線圍成的三角形面積為（）A. B. C.8 D.【正確答案】A【分析】設(shè)直線與直線的兩個交點為，設(shè)，則，代入直線，即可得點，進而可得到直線的方程，再求交點到的距離，利用面積公式計算即可.【詳解】設(shè)直線與直線的兩個交點為，且設(shè)，則由題意可知，點關(guān)于點的對稱點在上，所以，解得，所以，，所以,因為直線過點，，所以直線的斜率，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立：，解得的交點坐標(biāo)為，所以到直線的距離為，所以這三條直線圍成的三角形面積為.故選：A.8.已知數(shù)列的前項和為，且則的值為（）A.1023 B.1461 C.1533 D.1955【正確答案】B【分析】先判斷數(shù)列為等比數(shù)列，求出其通項公式，再求數(shù)列的通項公式，分組求和，可得問題答案.【詳解】由題意：，.所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.所以，.所以.故選：B方法點睛：類似這種數(shù)列問題，一般是有規(guī)律的，可以先求出數(shù)列的前幾項，觀察數(shù)列的規(guī)律，再想辦法證明即可.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不答得0分，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，.（A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】AC【分析】利用等差數(shù)列、利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)公差時，an是常數(shù)列，，但與不一定相等，故B不正確；設(shè)等比數(shù)列bn的公比為，若“”，則，故C正確；當(dāng)公比時，bn是常數(shù)列，，但與不一定相等，故D不正確.故選：AC.10.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，則（）A.點在同一條直線上B.點在同一條直線上C.點同一條直線上D.點（均為正整數(shù)，且為常數(shù)）在同一條直線上【正確答案】ACD【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，逐一進行判斷即可.【詳解】對A：因為，，所以點都在直線上，故A正確；對B：因為，所以點都在二次函數(shù)上，故B錯誤；對C：因為，所以點都在直線上，故C正確；對D：因為，所以點都在直線上，故D正確.故選：ACD11.已知直線，圓，則（）A.與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最大值是4B.若與圓相交于兩點，且，則C.若圓上恰有四個點到的距離為1，則D.若對于兩個不同的值，與圓分別相切于點，，則所在直線的方程是【正確答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)題意知直線的斜率，然后表示出三角形的面積，利用基本不等式，即可解決；對于B，由題意得弦長，進而得圓心到直線的距離，即可求解的值；對于C，由題意得圓心到直線的距離，即可求解的范圍；對于D，將切點弦轉(zhuǎn)化為兩相交圓的公共弦的問題，即可解決.【詳解】對于A，由得，所以直線過點，又因為直線與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形，所以；令，得，令，得，所以直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點分別為，，所以直線與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積；當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以三角形面積最小值是4，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，所以圓心到直線的距離，即，解得，故B正確；對于C，因為圓上恰有四個點到的距離為1，所以圓心到直線的距離，解得，故C正確；對于D，因為直線恒過點，所以直線就是經(jīng)過以為圓心，為半徑的圓和圓的交點所在的直線，，所以，所以圓的方程為，所以直線的方程為，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.12.已知兩點到直線的距離相等，則的值為__________.【正確答案】或【分析】根據(jù)點到直線的距離公式列式求解即可.【詳解】由題意可得，，即，解得或.故或.13.已知等比數(shù)列滿足，則__________.【正確答案】【分析】利用基本量法可求與公比，故可求.【詳解】設(shè)公比為.因為，故，解得或者，若，則且，此時，若，則且，此時，故答案.14.如圖，已知點，點為圓上動點，若圓上存在一點，使得，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】以為鄰邊，作矩形，則，證明出，從而得到，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，數(shù)形結(jié)合得到，得到答案.【詳解】以為鄰邊，作矩形，則，由矩形性質(zhì)可得，證明如下：設(shè)，過點分別為⊥，⊥，⊥，垂足分別為，過點作⊥，垂足為，則，故，，所以，，，所以，證畢，即，故，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以，左邊等號成立的條件為三點共線，且在之間，右邊等號成立的條件為三點共線，且在之間，則的取值范圍是故關(guān)鍵點點睛：作出輔助線，得到，證明出，從而得到，得到點軌跡，數(shù)形結(jié)合進行求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）計算出等差數(shù)列an的首項和公差，從而求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，依題意，，，解得，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，兩式相減得，所以.16.已知的三個頂點是，求：（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）的角平分線所在直線的方程.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）對于求邊BC上的中線所在直線方程：首先要找到BC中點坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，然后利用兩點式求直線方程；（2）對于求邊BC上的高所在直線方程：先求BC邊的斜率，根據(jù)斜率公式，高與BC垂直，兩條垂直直線斜率乘積為，再利用點斜式求直線方程；（3）對于求的角平分線所在直線方程：先求AB和BC邊的斜率，根據(jù)夾角公式，設(shè)角平分線斜率為，求出，再利用點斜式求出直線方程.【小問1詳解】首先求BC中點坐標(biāo)，已知，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，BC中點，已知中線過和兩點，根據(jù)兩點式，即，化簡得，整理得.【小問2詳解】先求BC邊的斜率，已知，根據(jù)斜率公式，因為高與BC垂直，設(shè)高斜率為，則，解得，又因為高過點，根據(jù)點斜式，整理得.【小問3詳解】先求AB邊的斜率，BC邊的斜率，設(shè)角平分線斜率為，根據(jù)夾角公式得，化簡交叉相乘得，繼續(xù)化簡，即或，繼續(xù)化簡（舍去），或，即，因為角平分線的斜率應(yīng)該在和之間，所以，又因為角平分線過點，根據(jù)點斜式，整理得.17.已知數(shù)列滿足且.（1）求；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求.【正確答案】（1）（2）證明見詳解；【分析】（1）已知的值，代入遞推公式得出，再代入遞推公式即可得到的值.（2）由兩式消元得到，將變?yōu)榈玫降仁剑擘偈较玫?，?gòu)造出數(shù)列，得到等式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得出.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，【小問2詳解】∵，∴得到，∴，則代入①得：，則∴，且，∴數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.∴，∴18.已知圓內(nèi)有一點，傾斜角為的直線過點且與圓交于兩點.（1）當(dāng)時，求的長；（2）是否存在弦被點三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由；（3）記圓與軸的正半軸交點為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.【正確答案】（1）（2）存在，（3）證明見解析【分析】（1）由題意求出直線方程，利用圓的幾何性質(zhì)求弦長即可；（2）假設(shè)存在，求出弦心距OQ，討論直線的斜率是否存在，利用點到直線距離即可得解；（3）分類討論直線斜率是否存在，存在時由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式化簡即可證明.【小問1詳解】因為，所以，直線的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以【小問2詳解】取的中點為，如圖，假設(shè)存在弦被點三等分，設(shè)，，則，，解得，當(dāng)斜率不存在時，，故斜率存在，設(shè)斜率為，則：，，解得，即存在弦被點三等分，直線的斜率為.【小問3詳解】由題意知，,當(dāng)直線斜率不存在時，，，不妨取，則，此時直線斜率存在時，設(shè)方程為，代入圓的方程可得，設(shè)，則，又，所以綜上，為定值.19.已知點，向量，點在一條直線上，且滿足.（1）求；（2）證明在同一個圓上，并求該圓的圓心和半徑；（3）過引圓的切線，記切線與軸的交點為，求證.【正確答案】（1）；（2）和；（3）證明見解析.【分析】（1）設(shè)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)表示結(jié)合等差數(shù)列的通項公式計算即可；（2）設(shè)坐標(biāo)，利用向量共線的充要條件及數(shù)量積的坐標(biāo)表示消元計算即可；（3）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系計算切線方程得