2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周練卷3課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

周練卷(三)一、選擇題(本大題共7小題，每小題5分，共35分)1．已知橢圓的方程為eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,16)＝1，則此橢圓的長軸長為(D)A．3 B．4C．6 D．8解析：a2＝16，a＝4，∴2a＝8.2．橢圓25x2＋16y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(D)A．(±3,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,3)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,20)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(3,20)))3．已知橢圓的焦點(diǎn)為(－1,0)和(1,0)，點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為(A)A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(y2,4)＋x2＝14．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是(D)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝15．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|等于(C)A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C.eq\f(7,2) D．4解析：由題可知F1的坐標(biāo)為(eq\r(3)，0)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，∵PF1與x軸垂直，∴|x0|＝eq\r(3).把|x0|＝eq\r(3)代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4).則|PF1|＝eq\f(1,2)，于是|PF2|＝4－|PF1|＝eq\f(7,2).6．假如AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的隨意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則kAB·kOM的值為(C)A．e－1 B．1－eC．e2－1 D．1－e2解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，又eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②①－②并整理可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，又kOM＝eq\f(y0,x0)，所以kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，又e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，所以－eq\f(b2,a2)＝e2－1，即kAB·kOM＝e2－1.故選C.7．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是以F1F2為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，則這個(gè)橢圓的離心率是(A)A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\f(2－\r(3),2)解析：依題意知，∠F1PF2＝90°，又∠PF1F2＝2∠PF2F1，所以∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，所以|PF1|＝c，|PF2|＝eq\r(3)c，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝(eq\r(3)＋1)c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)8．橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，且橢圓的離心率e＝eq\f(1,2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.解析：∵e＝eq\f(1,2)＝eq\f(c,a)，∴a＝2c＝4，∴a2＝16，b2＝12，a2即m2，b2即n2.9．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，短軸長為4，則橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.10．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則△PF1F2的形態(tài)是直角三角形．解析：由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.假設(shè)|PF1|>|PF2|，又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2為直角三角形．11．橢圓eq\f(x2,5a)＋eq\f(y2,4a2＋1)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，則它的離心率e的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))).解析：由題意知5a>4a2＋1，∴eq\f(1,4)<a<1，∴e＝eq\f(\r(5a－4a2＋1),\r(5a))＝eq\f(1,\r(5))eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a＋\f(1,a))))≤eq\f(1,\r(5))eq\r(5－4)＝eq\f(\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝\f(1,2)時(shí)，取“＝”)).三、解答題(本大題共3小題，共45分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)12．(15分)橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)(c>0)，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為2－eq\r(3)，求橢圓的方程．解：∵焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為2－eq\r(3)，∴a－c＝2－eq\r(3).①又已知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，②由①②解得a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1.∴橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.13．(15分)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過左焦點(diǎn)F1且與橢圓的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，且B為線段CF1的中點(diǎn)，若|k|≤eq\f(\r(14),2)，求橢圓離心率e的取值范圍．解：依題意F1(－c,0)，則直線l：y＝k(x＋c)，則C(0，kc)．∵點(diǎn)B為CF1的中點(diǎn)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)，\f(kc,2))).又已知點(diǎn)B在橢圓上，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kc,2)))2,b2)＝1，即eq\f(c2,4a2)＋eq\f(k2c2,4a2－c2)＝1，∴eq\f(e2,4)＋eq\f(k2e2,41－e2)＝1，∴k2＝eq\f(4－e21－e2,e2).由已知，|k|≤eq\f(\r(14),2)，∴k2≤eq\f(7,2)，即eq\f(4－e21－e2,e2)≤eq\f(7,2)，∴2e4－17e2＋8≤0.解得eq\f(1,2)≤e2≤8.又0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.14．(15分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))，P4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點(diǎn)．解：(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)．又由eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>eq\f(1,a2)＋eq\f(3,4b2)知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上．因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))故C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，假如l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(\r(4－t2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(\r(4－t2),2))).則k1＋k2＝eq\f(\r(4－t2)－2,2t)－eq\f(\r(4－t2)＋2,2t)＝－1，得t＝2，不符合題設(shè)．從而可設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)．將y＝kx＋m代入eq\f(x2,4)＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－8km,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(4m2－4,4k2＋1).而k1＋k2＝eq\f(y1－1,x1)＋eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(kx1＋m－1,x1)＋eq\