2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.4數(shù)學(xué)建模活動決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

3.4數(shù)學(xué)建?；顒?確定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)從實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)算求解、驗(yàn)證模型、改進(jìn)模型的全過程,駕馭建模方法,培育數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)閱讀課本第125~127頁的內(nèi)容,完成下列問題:1.一次函數(shù)2.二次函數(shù)課堂探究(一)【問題導(dǎo)入】例:陜西省目前已經(jīng)是全球最大的連片種植蘋果區(qū)域,蘋果產(chǎn)量占全世界六分之一,種植面積高達(dá)1000多萬畝.2024年11月,小明家所在的村鎮(zhèn)蘋果豐收,可是當(dāng)?shù)剞r(nóng)夫卻發(fā)愁:是現(xiàn)在就把蘋果出售還是儲存起來,等冬季蘋果數(shù)量少價(jià)格高了再出售.利用數(shù)學(xué)建模方法解決:確定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)1.一般狀況下,影響商品價(jià)格的因素有哪些?2.如何用數(shù)學(xué)符號語言來描述上述探討的結(jié)果?3.如何建立蘋果收益的數(shù)學(xué)模型(函數(shù))?4.如何確定函數(shù)模型f(x)=k1x+l1,g(t)=k2t+l2,h(t)=at2+bt+c,其中k1<0,k2>0,a≠0中的參數(shù)?(二)【理性相識,概括性質(zhì)】1.數(shù)學(xué)建模的概念:2.數(shù)學(xué)建模過程主要包括:(三)【鞏固練習(xí),學(xué)以致用】通過調(diào)查,收集實(shí)際數(shù)據(jù),來確定參數(shù).例如,收集了如下數(shù)據(jù):x/萬噸8.47.6y/元0.81.2t/天12g(t)/元0.110.12t/天123x/萬噸9.4629.3289.198運(yùn)用待定系數(shù)法,求得函數(shù)模型.(四)【課堂小結(jié),總結(jié)升華】通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?(學(xué)問層面,思想方法層面)核心素養(yǎng)專練課本130頁,3.(2)查閱數(shù)據(jù)或者自行設(shè)計(jì)試驗(yàn)收集數(shù)據(jù),建立有關(guān)停車距離的數(shù)學(xué)模型.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究(一)【問題導(dǎo)入】1.當(dāng)市面上的蘋果比較多時(shí),蘋果的價(jià)格就會降低.這時(shí),假如將蘋果利用肯定的技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲,等到市面上的蘋果變少、價(jià)格上升之后再出售,則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入.不過,須要留意的是,保鮮存儲是有成本的,而且成本會隨著時(shí)間的延長而增大.2.市面上蘋果的量為x萬噸,蘋果的單價(jià)為y元,保鮮存儲的時(shí)間為t天,單位數(shù)量的保鮮存儲成本為C元,且C是t的函數(shù)并記作C=g(t),單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益z元.3.假設(shè)f(x)和g(t)都是一次函數(shù),且f(x)=k1x+l1,g(t)=k2t+l2.并假設(shè)h(t)是一個二次函數(shù),且h(t)=at2+bt+c.則有z=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2,其中k1<0,k2>0,a≠0.4.待定系數(shù)法.(二)【理性相識,概括性質(zhì)】1.對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題就是數(shù)學(xué)建模.2.數(shù)學(xué)建模過程主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)覺問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.(三)【鞏固練習(xí),學(xué)以致用】y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=0.01t+0.1,x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,因此z=-0.001t2+0.06t+0.1.(四)【課堂小結(jié),總結(jié)升華】數(shù)學(xué)建?；顒拥幕具^程學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠?qū)啙嵉膶?shí)際問題,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,解決問題.自主預(yù)習(xí)1.常用的函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y=

反比例函數(shù)模型y=

二次函數(shù)模型一般式:y=

a≠0頂點(diǎn)式:y=

2.數(shù)學(xué)建模:.

3.數(shù)學(xué)建模過程主要包括:.

課堂探究數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.下面我們用實(shí)例來介紹,怎樣從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)覺問題,如何通過數(shù)學(xué)建模來求解特定的問題,并探討怎樣整理數(shù)學(xué)建模的結(jié)果.一、建模過程描述與介紹俗話說,“物以稀為貴”.一般來說,當(dāng)市面上某種商品的出售量比較多時(shí),這種商品的價(jià)格就會比較低;而出售量比較少時(shí),價(jià)格就會比較高.例如,當(dāng)市面上的蘋果比較多時(shí),蘋果的價(jià)格就會降低.這時(shí),假如將蘋果利用肯定的技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲,等到市面上的蘋果變少、價(jià)格上升之后再出售,則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入.不過,須要留意的是,保鮮存儲是有成本的,而且成本會隨著時(shí)間的延長而增大.針對上述這種日常生活中的現(xiàn)象,我們可以提出一些什么問題呢?當(dāng)然,我們可以探討的問題許多.例如,為什么會發(fā)生這些現(xiàn)象?什么狀況下不會發(fā)生這樣的現(xiàn)象?能夠利用哪些技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲?哪種保鮮存儲的成本最低?等等.類似的這些問題,因?yàn)椴粌H僅涉及量的關(guān)系,所以假如只用數(shù)學(xué)手段探討,將是非常困難的.不過,上述現(xiàn)象中,涉及量的增大與削減的問題,這可以用數(shù)學(xué)符號和語言進(jìn)行描述.仍以蘋果為例,設(shè)市面上蘋果的量為x萬噸,蘋果的單價(jià)為y元,上述現(xiàn)象說明,y會隨著x的增大而減小,且y也會隨著x的減小而增大,也就是說,假如y是x的函數(shù)并記作y=f(x)的話,f(x)是減函數(shù).同樣地,假如設(shè)保鮮存儲的時(shí)間為t天,單位數(shù)量的保鮮存儲成本為C元,且C是t的函數(shù)并記作C=g(t)的話,g(t)是一個增函數(shù).由于市面上蘋果的量x會隨著時(shí)間t的改變而改變,因此可以認(rèn)為x是t的函數(shù),并記作x=h(t).從上面這些描述不難看出,在第t天出售蘋果時(shí),單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益z元可以用t表示出來,即z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t).此時(shí),假如f(x),g(t),h(t)都是已知的,則能得到z與t的詳細(xì)關(guān)系式.有了關(guān)系式之后,就能解決如下問題:z是否有最大值?假如z有最大值,那么t為多少時(shí)z取最大值?怎樣才能確定上述f(x),g(t),h(t)呢?這可以通過合理假設(shè)以及收集數(shù)據(jù)、確定參數(shù)來完成.例如,為了簡潔起見,我們可以假設(shè)f(x)和g(t)都是一次函數(shù),且f(x)=k1x+L1,g(t)=k2t+L2;并假設(shè)h(t)是一個二次函數(shù),且h(t)=at2+bt+c.則有z=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+L1-L2,其中k1<0,k2>0,a≠0.上述各參數(shù)可以通過收集實(shí)際數(shù)據(jù)來確定.例如,假如我們收集到了如下實(shí)際數(shù)據(jù).x/萬噸8.47.6y/元0.81.2t/天12C/元0.110.12t/天123x/萬噸9.4629.3289.198利用待定系數(shù)法,依據(jù)前面的假設(shè)就可以確定出y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=0.01t+0.1,x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,因此z=-0.001t2+0.06t+0.1.留意到上式可以改寫成z=-0.001(t-30)2+1,所以此時(shí)在t=30時(shí),z取最大值1.也就是說,在上述狀況下,保鮮存儲30天時(shí),單位商品所獲得的利潤最大,為1元.這樣一來,我們就建立了一個確定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)的模型,并通過有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了說明.當(dāng)然,實(shí)際狀況與上面的建模結(jié)果可能會出現(xiàn)偏差.因?yàn)槲覀兗僭O(shè)f(x)和g(t)都是一次函數(shù)等就已經(jīng)把問題進(jìn)行了簡化,假如條件允許的話,可以先不假設(shè)函數(shù)的詳細(xì)形式,在收集盡量多的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,通過對數(shù)據(jù)的分析來最終得出函數(shù)的詳細(xì)形式,這樣也就能優(yōu)化我們最終建立的模型.以上我們用敘述的方式,讓大家經(jīng)驗(yàn)了一個簡潔的數(shù)學(xué)建模全過程.由此可以看出,對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題就是數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模過程主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)覺問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.在實(shí)際的數(shù)學(xué)建模過程中,為了向別人介紹數(shù)學(xué)建模的成果,給別人供應(yīng)參考,我們還須要將建模結(jié)果整理成論文的形式.一般來說,數(shù)學(xué)建模論文的結(jié)構(gòu)可以依據(jù)建模過程來確定例如,如圖所示都可以是數(shù)學(xué)建模論文的主題結(jié)構(gòu).論文標(biāo)題?一、發(fā)覺問題、提出問題?二、分析問題、建立模型?三、確定參數(shù)、計(jì)算求解?四、驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型論文標(biāo)題?一、問題的提出與分析?二、模型的建立與計(jì)算?三、問題的解決與反思論文標(biāo)題?一、背景介紹?二、問題提出與分析?三、模型假設(shè)與符號說明?四、模型的建立?五、模型的求解?六、模型的檢驗(yàn)?七、模型的評價(jià)當(dāng)然,數(shù)學(xué)建模論文中還可以依據(jù)須要增加作者、摘要、參考文獻(xiàn)、附錄等信息.須要提示的是,對于一些綜合性比較大的問題而言,數(shù)學(xué)建模的過程中須要做的事情比較多,比如數(shù)據(jù)收集與整理、模型試算、對比不同的模型、將結(jié)果以可視化方式顯示、資料整理與論文撰寫等,因此數(shù)學(xué)建模的過程中,往往采納分工合作的方式進(jìn)行.一般來說,一個數(shù)學(xué)建模小組由3~5人組成.志向的小組中,既要有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué),也要有能嫻熟運(yùn)用計(jì)算機(jī)的同學(xué),還要有寫作表達(dá)實(shí)力強(qiáng)的同學(xué).二、數(shù)學(xué)建模論文示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系1.發(fā)覺問題、提出問題在政府文件中,我們常?？梢钥吹接嘘P(guān)經(jīng)濟(jì)增長與投資、消費(fèi)的內(nèi)容.例如,《國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)創(chuàng)業(yè)投資持續(xù)健康發(fā)展的若干看法》(國發(fā)〔2024〕53號)指出:“近年來,我國創(chuàng)業(yè)投資快速發(fā)展,不僅拓寬了創(chuàng)業(yè)企業(yè)投融資渠道、促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級,增加了經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動能,也提高了干脆融資比重、拉動了民間投資服務(wù)實(shí)體經(jīng)濟(jì),激發(fā)了創(chuàng)業(yè)創(chuàng)新、促進(jìn)了就業(yè)增長.”2024年11月,《國務(wù)院辦公廳關(guān)于進(jìn)一步擴(kuò)大旅游文化體育健康養(yǎng)老教化培訓(xùn)等領(lǐng)域消費(fèi)的看法》(國辦發(fā)〔2024〕85號)指出:“當(dāng)前,我國國內(nèi)消費(fèi)持續(xù)穩(wěn)定增長,為經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)、穩(wěn)中有進(jìn)發(fā)揮了基礎(chǔ)性作用.順應(yīng)群眾期盼,以改革創(chuàng)新增加消費(fèi)領(lǐng)域特殊是服務(wù)消費(fèi)領(lǐng)域有效供應(yīng)、補(bǔ)上短板,有利于改善民生、促進(jìn)服務(wù)業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級、培育經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動能.”習(xí)慣上,人們總是用收入來衡量經(jīng)濟(jì)狀況,因此所謂經(jīng)濟(jì)增長或者經(jīng)濟(jì)發(fā)展,通常指的是收入增加.那么,怎樣描述投資與經(jīng)濟(jì)增長之間的關(guān)系呢?為什么說消費(fèi)增長有利于經(jīng)濟(jì)發(fā)展呢?這些現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言來描述嗎?2.分析問題、建立模型要用數(shù)學(xué)語言描述經(jīng)濟(jì)增長、投資、消費(fèi)之間的關(guān)系,事實(shí)上是要探討國民收入(簡稱為收入,用Y表示)、國民投資(簡稱為投資,用I表示)、國民消費(fèi)(簡稱為消費(fèi),用C表示)之間的關(guān)系.為了簡潔起見,可以做出以下假設(shè):(1)收入、投資、消費(fèi)都用同一單位來衡量,為了便利,以下均省略單位;(2)收入只用于投資和消費(fèi);(3)消費(fèi)可以分為兩部分,一部分為基本消費(fèi)(用C0表示),另一部分與收入成正比,比例系數(shù)為a.值得留意的是,以上假設(shè)都是合理的.例如一個家庭的收入,一般而言,不是用于投資(比如儲蓄、購買理財(cái)產(chǎn)品等),就是用于消費(fèi)(比如家庭成員的生活支出等);一個家庭的消費(fèi),一部分用于滿意基本生活需求(比如購買食品等),而另一部分則依靠于收入的多少(比如家庭成員的旅游支出等).由假設(shè)可知,收入、投資、消費(fèi)之間的關(guān)系可描述為Y=C+I,C=C0+aY.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,這通常稱為凱恩斯靜態(tài)模型,因?yàn)檫@是英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯最先得出的.一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象,可以通過凱恩斯靜態(tài)模型中量之間的關(guān)系來體現(xiàn).例如,假如不存在透支消費(fèi),那就意味著消費(fèi)不大于收入,即C≤Y,因此aY<C0+aY≤Y,從而有a<1.另外,假如將消費(fèi)看成收入的函數(shù),則這個函數(shù)在隨意區(qū)間[Y1,Y2]內(nèi)的平均改變率均為ΔCΔY=這表示收入每增加一個單位,消費(fèi)將增加a個單位.因此,a通常稱為邊際消費(fèi)傾向.3.確定參數(shù)、計(jì)算求解(1)收入與消費(fèi)的關(guān)系為了探討經(jīng)濟(jì)增長(即收入)與消費(fèi)的關(guān)系,可以將收入看成消費(fèi)的函數(shù),即ΔYΔC=1a,其中C0與a均為參數(shù).可以算出,這個函數(shù)在隨意區(qū)間內(nèi)的平均改變率均為Y=1aC-C0a例如,當(dāng)C0=10,a=45時(shí),有Y=54C-252假如消費(fèi)C=30,那么Y=54×30-252=假如消費(fèi)C=35,那么Y=54×35-252=31.可以看到,消費(fèi)增長5個單位時(shí),收入增加了6.25個單位.(2)收入與投資的關(guān)系為了探討經(jīng)濟(jì)增長(即收入)與投資的關(guān)系,可以將收入看成投資的函數(shù),通過消去C求解Y可得Y=11-aI+C01-a,此時(shí),C0與a均為參數(shù)可以算出,這個函數(shù)在隨意這表示投資每增加1個單位,收入將增加11-例如,當(dāng)C0=10,a=45時(shí),有Y=5I+50,因此假如投資I=10,那么Y=5×10+50=100;假如投資I=15,那么Y=5×15+50=125.可以看到,投資增長5個單位時(shí),收入增加了25個單位.4.驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型從上述計(jì)算結(jié)果可以看出,當(dāng)消費(fèi)增長或者投資增長時(shí),都將導(dǎo)致收入增加(這樣一來,我們也就完成了本章導(dǎo)語中投資與經(jīng)濟(jì)增長之間關(guān)系問題的解答).而且,一般狀況下,收入增加比消費(fèi)增長或投資增長快.事實(shí)上,當(dāng)0<a<1時(shí),可知1a>1且11-這就是說,平均改變率1a和11-a都大于可以看出,凱恩斯靜態(tài)模型能夠較好地描述收入、投資與消費(fèi)的關(guān)系.這個模型中,為了簡潔起見,假設(shè)了基本消費(fèi)以外的消費(fèi)與收入成正比,但實(shí)際的狀況可能會更加困難,模型的改進(jìn)可以從這方面入手.三、活動要求與提示1.與其他同學(xué)一起探討如下問題:(1)從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)覺問題并進(jìn)行建模時(shí),所發(fā)覺的問題要具有什么特征時(shí)才便利運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問加以解決?(2)對同一個現(xiàn)象甚至同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí),能否運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行描述?2.參考數(shù)學(xué)建模論文示例,以“確定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)”為題,將“建模過程描述與介紹”中的有關(guān)內(nèi)容整理成一篇數(shù)學(xué)建模論文.(提示:論文的主體結(jié)構(gòu)可以不同于示例.)3.依據(jù)優(yōu)勢互補(bǔ)的原則,跟其他同學(xué)組成一個數(shù)學(xué)建模小組,在以下兩個題目中,任選一個進(jìn)行數(shù)學(xué)建模實(shí)踐.(1)經(jīng)濟(jì)生活中,商品的需求量與供應(yīng)量都與商品的價(jià)格有關(guān).一般來說,商品的價(jià)格越低,想購買這種商品的人就越多,因此需求量越大,但此時(shí)因?yàn)殇N售的利潤低,因此賣的人就會越少,從而供應(yīng)量越小、與其他同學(xué)一起分工合作,查閱有關(guān)資料,依據(jù)數(shù)學(xué)建模的步驟與方法,給出商品的需求量與供應(yīng)量模型,并探討它們之間的關(guān)系.(2)不管是駕駛汽車還是騎自行車,當(dāng)發(fā)覺路況有改變須要緊急停車時(shí),停車距離會與許多因素有關(guān).例如,人的反應(yīng)時(shí)間、車的速度、車與人的質(zhì)量等都會影響停車距離.與其他同學(xué)一起分工合作,查閱有關(guān)數(shù)據(jù)或者自行設(shè)計(jì)試驗(yàn)收集數(shù)據(jù),建立有關(guān)停車距離的數(shù)學(xué)模型.核心素養(yǎng)專練1.如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖像,圖①是產(chǎn)品日銷售量y(單位:件)與時(shí)間t(單位;天)之間的函數(shù)關(guān)系,圖②是一件產(chǎn)品的銷售利潤z(單位:元)與時(shí)間t(單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤,下列結(jié)論錯誤的是()圖①圖②A.第24天的銷售量為200件B.第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元C.第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等D.第30天的日銷售利潤是750元2.用一段長為8cm的鐵絲圍成一個矩形模型,則這個模型