2025年湘教新版高二數學下冊月考試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教新版高二數學下冊月考試卷694考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知（i為虛數單位），那么實數a，b的值分別是（）

A.2；5

B.-3；1

C.-1；1

D.2，-

2、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若則（）A.+－B.－+C.－++D.－+－3、當<1時，復數z＝(3m－2)＋(m－1)i在復平面上對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、【題文】下列有關樣本相關系數的說法不正確的是A.相關系數用來衡量變量與之間的線性相關程度B.且越接近于1，相關程度越大C.且越接近于0，相關程度越小D.且越接近于1，相關程度越大5、【題文】若數列滿足：則（）A.1B.C.D.6、有一條輸電線路出現(xiàn)了故障，在線路的開始端A處有電，在末端B處沒有電，要檢查故障所在位置，宜采用的優(yōu)選法是（）A.0.618法B.分數法C.對分法D.盲人爬山法7、在集合1，2，3，4，5中任取一個偶數a和一個奇數b構成以原點為起點的向量=（a，b）從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作為平行四邊形的個數為n，其中面積不超過4的平行四邊形的個數m，則=（）A.B.C.D.評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)8、直線的斜率是．9、在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，則角C=____10、若直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x2+y2+8x+2y+1=0的周長，則的最小值為______．11、樣本容量為1000的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數據落在[6，14）內的頻數為______．12、如果兩個變量的散點圖由左下角到右上角則這兩個變量成______相關．13、已知過雙曲線x2a2鈭?y2b2=1(a>0,b>0)

右焦點且傾斜角為45鈭?

的直線與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線的離心離e

的取值范圍是______．評卷人得分三、作圖題(共5題，共10分)14、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）15、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）16、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

17、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）18、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共4題，共20分)19、（本小題滿分12分）已知20、袋中有大小相同的5個白球和3個黑球；從中任意摸出4個，求下列事件發(fā)生的概率．

（1）摸出2個或3個白球。

（2）至少摸出一個黑球．

21、若存在實常數和使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足：和則稱直線為和的“隔離直線”．已知為自然對數的底數)．（1）求的極值；（2）函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．22、【題文】（本小題滿分12分）

已知△ABC的面積S滿足且與的夾角為

(I)求的取值范圍;(II)求函數的最小值.評卷人得分五、計算題(共1題，共2分)23、解不等式組．評卷人得分六、綜合題(共4題，共28分)24、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．25、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．26、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．27、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設數列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數列．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、D【分析】

∵==-a+i=-2+bi

∴-a=-2，=b

解得a=2，b=-

故選D

【解析】【答案】由已知中利用復數的運算法則化簡等式左邊，進而根據復數相等的充要條件構造關于a，b的方程組；解方程組可得答案．

2、D【分析】【解析】

因為所以利用向量的加法法則，構成首尾相接的封閉圖形可知－+－【解析】【答案】D3、D【分析】<1，則3m－2>0，m－1<0，點在第四象限．【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、D【分析】【解析】由遞推式可以遞推出歸納可得故數列的周期為3，【解析】【答案】D6、C【分析】【分析】本題考查求根的方法。

可以把電線看做數軸的一段，故障位置看做所求的點，可用二分法求之，每次截取前一次的依次類推。

【點評】本題把二分法遷移到生活中。貼合實際。7、B【分析】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率；

試驗發(fā)生包含的事件是從數字中選出兩個數字；組成向量；

a的取法有2種，b的取法有3種，故向量=（a，b）有6個；

從中任取兩個向量共C62=15種結果；

滿足條件的事件是平行四邊形的面積不超過4的由列舉法列出共有5個；

根據等可能事件的概率得到P==

故選B．

本題是一個等可能事件的概率，a的取法有2種，b的取法有3種，故向量=（a，b）有6個，從中任取兩個向量共C62=15中取法；平行四邊形的面積超過4的由列舉法列出，得到結果．

本題考查等可能事件的概率，考查組合數的應用，考查用列舉法列舉法求計數問題，本題是一個綜合題目．【解析】【答案】B二、填空題(共6題，共12分)8、略

【分析】試題分析：根據直線一般式方程，斜率考點：直線的斜率【解析】【答案】9、【分析】【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab∴cosC==

∵C∈（0；π）

∴C=

故答案為：．

【分析】根據余弦定理，結合三角形的內角和，即可得到結論．10、略

【分析】解：整理圓的方程得（x+4）2+（y+1）2=16；

∴圓心坐標為（-4；-1）

∵直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x2+y2+8x+2y+1=0的周長。

∴直線l過圓心，即-4a-b+1=0

∴4a+b=1

∴=（4a+b）（）=8++≥8+2=16（當且僅當=時等號成立．）

故答案為：16

先根據題意可推斷出直線l過圓的直徑，利用圓的方程求得圓心坐標代入直線方程求得a和b的關系，然后把整理成（4a+b）（）的形式展開后利用基本不等式求得答案．

本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，直線與圓的位置關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．【解析】1611、略

【分析】解：樣本數據落在[6；14）內的頻率為。

1-（0.02+0.03+0.03）×4=0.68；

對應的頻數為。

1000×0.68=680．

故答案為：680．

根據頻率和為1與頻率=即可求出答案．

本題考查了頻率和為1與頻率、頻數和樣本容量的應用問題，是基礎題目．【解析】68012、略

【分析】解：有線性相關的定義可知：兩個變量的散點圖由左下角到右上角則這兩個變量成正相關．

故答案為：正．

直接利用線性相關的定義；寫出結果即可．

本題考查線性相關定義的理解，基本知識的考查．【解析】正13、略

【分析】解：要使直線與雙曲線的右支有兩個交點；需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率；

即ba<tan45鈭?=1

即b<a

隆脽b=c2鈭?a2

隆脿c2鈭?a2<a

整理得c<2a

隆脿e=ca<2

隆脽

雙曲線中e>1

故e

的范圍是(1,2)

故答案為(1,2)

要使直線與雙曲線的右支有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即ba<1

求得a

和b

的不等式關系，進而根據b=c2鈭?a2

轉化成a

和c

的不等式關系；求得離心率的一個范圍，最后根據雙曲線的離心率大于1

綜合可得求得e

的范圍．

本題主要考查了雙曲線的簡單性質.

在求離心率的范圍時，注意雙曲線的離心率大于1

．【解析】(1,2)

三、作圖題(共5題，共10分)14、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．16、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

17、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．18、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共4題，共20分)19、略

【分析】

【解析】略【解析】【答案】20、略

【分析】

（1）設摸出的4個球中有2個白球；3個白球分別為事件A；B；

則

∵A，B為兩個互斥事件∴

即摸出的4個球中有2個或3個白球的概率為

（2）設摸出的4個球中全是白球為事件C；

則

至少摸出一個黑球為事件C的對立事件。

其概率為

【解析】【答案】（1）設摸出的4個球中有2個白球；3個白球分別為事件A；B，分別計算出基本事件總數及滿足事件A，B的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

（2）設摸出的4個球中全是白球為事件C；分別計算出基本事件總數及滿足事件C的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，可得至少摸出一個黑球的對立事件的概率，進而根據對立事件概率減法公式，得到答案．

21、略

【分析】【解析】試題分析：(1)．當時，．當時，此時函數遞減；當時，此時函數遞增；∴當時，取極小值，其極小值為．(2)：由（1）可知函數和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．設隔離直線的斜率為則直線方程為即．由可得當時恒成立．由得．下面證明當時恒成立．令則當時，．當時，此時函數遞增；當時，此時函數遞減；∴當時，取極大值，其極大值為．從而即恒成立．∴函數和存在唯一的隔離直線．考點：函數極值最值及不等式恒成立問題【解析】【答案】（1）當時，取得極小值0（2）存在隔離直線22、略

【分析】【解析】(1)由題意知,①②

由②÷①,得即由得即又為與的夾角,∴∴

(2)

∵∴

∴即時,的最小值為3.【解析】【答案】(I)(II)3五、計算題(共1題，共2分)23、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x?1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式組得解集為（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分別解不等式≤2與x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．六、綜合題(共4題，共28分)24、略

【分析】【分析】根據OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標是b，因而F點的縱坐標是b，即FM=b，則得到AF=b，同理BE=a，根據（a，b）是函數y=的圖象上的點，因而b=，ab=，則即可求出AF?BE．【解析】【解答】解：∵P的坐標為（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐標為（0，）；M點的坐標為（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F點的坐標為（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E點的坐標為（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF?BE=1．

故答案為：1．25、略

【分析】【分析】（1）由待定系數法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現(xiàn)在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最??；點D的位置即為所求．（5分）

設直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點D的坐標為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數求點D的坐標也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設直線l與x軸的交點記為點E．

由（2）知：當AD+CD最小時；點D的坐標為（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD與⊙A相切．（9分）

②∵另一點D與D（1；2）關于x軸對稱；

∴D（1，-2）．（11分）26、略

【分析】【分析】根據OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標是b，因而F點的縱坐標是b，即FM=b，則得到AF=b，同理BE=a，根據（a，b）是函數y=的圖象上的點，因而b=