《周期變化》同步學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《周期變化》同步學(xué)案問(wèn)題情境導(dǎo)入如圖是水車(chē)的示意圖，水車(chē)上A點(diǎn)到水面的距離為y.假設(shè)水車(chē)勻速且5min轉(zhuǎn)一圈，那么y的值每經(jīng)5min就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，因此，y隨時(shí)間的變化是周期變化.如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)定量描述函數(shù)的這種周期變化呢？這需要我們來(lái)研究一下周期函數(shù).新課自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.周期函數(shù)與周期.一般地，對(duì)于函數(shù)，，如果存在一個(gè)_____T，使得對(duì)任意的，都有且滿(mǎn)足_____，那么函數(shù)稱(chēng)作周期函數(shù),_____稱(chēng)作這個(gè)函數(shù)的周期.2.最小正周期.如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的_____，那么這個(gè)最小_____就稱(chēng)作函數(shù)的最小正周期.若不加特別說(shuō)明，本書(shū)所指周期均為函數(shù)的_____.答案1.非零常數(shù)非零常數(shù)T2.正數(shù)正數(shù)最小正周期預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.下列是定義在R上的四個(gè)函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)圖象的是A.B.C.D.2.定義在R上周期為3的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，則（）A.1B.2C.7D.3.函數(shù)是周期函數(shù)，10是函數(shù)的一個(gè)周期，且，則_____.4.函數(shù)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，則_____.答案1.答案：D解析：周期函數(shù)的圖象每隔一個(gè)周期重復(fù)出現(xiàn)，選項(xiàng)D不符合.2.答案：B解析：.3.答案：解析：.4.答案：0解析：，.新知合作探究探究點(diǎn)1利用圖象求周期知識(shí)詳解1.求周期函數(shù)的周期的直觀方法：圖象法，即通過(guò)觀察函數(shù)圖象求其周期.2.周期T是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值，體現(xiàn)在圖象上就是圖象具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.典例探究例1已知作周期性運(yùn)動(dòng)的鐘擺的高度h（單位：mm）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.（1）求該函數(shù)的周期；（2）求時(shí)鐘擺的高度.解析（1）觀察圖象可得函數(shù)的周期.（2）利用周期性將求時(shí)鐘擺的高度轉(zhuǎn)化為求時(shí)鐘擺的高度.答案（1）由圖象可知，該函數(shù)的周期為1.5s.（2）設(shè)，由函數(shù)的周期為1.5s，可知.所以時(shí)鐘擺的高度為20mm.方法歸納利用函數(shù)的圖象求周期T時(shí)，注意對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，每增加T的整數(shù)倍，其函數(shù)值保持不變，這種變化是重復(fù)進(jìn)行的.變式訓(xùn)練1一機(jī)械振動(dòng)中，某質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移x（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.（1）則該函數(shù)的周期為_(kāi)____;（2）當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移為_(kāi)____.答案（1）（2）解析：（1）由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)的周期為.（2）設(shè)，函數(shù)的周期為，，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位移為.探究點(diǎn)2利用周期函數(shù)的定義求周期知識(shí)詳解1.一般地，對(duì)于函數(shù)，，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)任意的，都有且滿(mǎn)足，那么函數(shù)稱(chēng)作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱(chēng)作這個(gè)函數(shù)的周期.2.如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就稱(chēng)作函數(shù)的最小正周期若不加特別說(shuō)明，本書(shū)所指周期均為函數(shù)的最小正周期.[特別提示]（1）函數(shù)的周期性的定義是對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x來(lái)說(shuō)的如果只有個(gè)別x滿(mǎn)足，不能說(shuō)T是的周期.例如函數(shù)，滿(mǎn)足，但，就是說(shuō)，6不能滿(mǎn)足對(duì)于x在定義域內(nèi)的每一個(gè)值都有，因此6不是的周期.（2）“”是定義域內(nèi)的恒等式，即對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值都成立，T是非零常數(shù)，周期T是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值.周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，若T是周期，則一定也是周期.典例探究例2已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，求證：函數(shù)是周期函數(shù).解析只需找到一個(gè)非零實(shí)數(shù)T，使得對(duì)任意的，都滿(mǎn)足即可.答案時(shí)，，，函數(shù)是周期函數(shù)，2是它的一個(gè)周期.方法技巧利用周期函數(shù)的定義求周期的思路：對(duì)于抽象函數(shù)研究周期問(wèn)題，通常是利用周期函數(shù)的定義找到一個(gè)非零實(shí)數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)任意x，總有成立.變式訓(xùn)練2已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，求證：函數(shù)是周期函數(shù).答案，，，函數(shù)是周期函數(shù)，2是它的一個(gè)周期.探究點(diǎn)3函數(shù)周期的應(yīng)用知識(shí)詳解1.周期函數(shù)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為可求范圍內(nèi)的函數(shù)值，常常與函數(shù)的其他性質(zhì)（如：奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等）綜合處理問(wèn)題.2.常見(jiàn)周期函數(shù)的形式：周期函數(shù)除常見(jiàn)的定義式外，還有如下四種形式：（1）；（2）；（3）；（4）.以上四種形式的函數(shù)都是以為周期的周期函數(shù)，這四個(gè)結(jié)論需要記熟.典例探究例3設(shè)是以1為一個(gè)周期的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的值.解析利用求解.答案是以1為一個(gè)周期的函數(shù)，，從而.又當(dāng)時(shí)，，.方法指導(dǎo)1.解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是利用化歸的思想，借助于周期函數(shù)的定義把待求問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入求解便可.2.如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，倘若要研究該函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合周期函數(shù)的定義域可知，完全可以只研究該函數(shù)一個(gè)周期上的特征，再加以推廣便可以得到函數(shù)在定義域內(nèi)的有關(guān)性質(zhì).變式訓(xùn)練3設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值是（）A.B.C.D.答案D解析：由于，而，則，即函數(shù)的周期為6，于是，.又函數(shù)為偶函數(shù)，因此，因此，也即.易錯(cuò)易混解讀例已知是數(shù)集I上周期為T(mén)的函數(shù)，則是數(shù)集上的（）A.周期為T(mén)的函數(shù)B.周期為示的函數(shù)C.非周期函數(shù)D.周期為的函數(shù)錯(cuò)解B或D錯(cuò)因分析錯(cuò)解是憑感覺(jué)判斷的，或?qū)χ芷诤瘮?shù)的定義理解不到位導(dǎo)致的，并沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo).正解因?yàn)槭菙?shù)集Ⅰ上周期為T(mén)的函數(shù)，則對(duì)任意的，且時(shí)有，所以，即是周期為T(mén)的函數(shù).故選A.糾錯(cuò)心得解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用周期函數(shù)的定義來(lái)判斷，不能憑空想象，用定義求周期時(shí)，若對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都滿(mǎn)足，就說(shuō)是周期為T(mén)的函數(shù)，即以代換x，得到的函數(shù)與原函數(shù)相等，就說(shuō)明這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，本題中函數(shù)就滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì).課堂快速檢測(cè)1.下圖所示的是定義在R上的四個(gè)函數(shù)的圖象，不是周期函數(shù)圖象的是（）A.B.C.D.2.定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若的周期為1，且當(dāng)，時(shí)，，則（）A.B.C.D.3.已知是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，則是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.周期函數(shù)D.圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)4.設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意，都有且當(dāng)時(shí)，，則（）A.10B.C.D.5.函數(shù)是以2為周期的函數(shù)，且，則____