2025年上海嘉定區(qū)九年級中考一模數學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年第一學期九年級質量調研數學樣卷（時間100分鐘，滿分150分）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題；2．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．下列關于的函數中，一定是二次函數的是（

）A． B．C． D．2．拋物線一定經過點（

）A． B． C． D．3．下列兩個三角形一定相似的是（

）A．兩個直角三角形 B．有一個內角為的兩個直角三角形C．兩個等腰三角形 D．有一個內角是的兩個等腰三角形4．如圖，在直角梯形中，，，如果對角線，那么的值是（

）A． B． C． D．5．下列命題正確的是（

）A．如果，那么 B．如果和都是單位向量，那么C． D．如果，那么6．如圖，兩條不平行的直線與直線相交于點，四條平行線分別交直線于點、、、，分別交直線于點、、、，則有．如果，，，那么在下列結果中，線段之差最大的是（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置】7．已知，那么．8．如果拋物線的開口向下，那么的取值范圍是．9．將拋物線向右平移3個單位，得到新拋物線的頂點坐標是．10．已知點、在函數的圖像上，如果，那么．（填“>”、“=”、“<”）11．已知某二次函數一部分自變量和函數值的對應情況如表所示，根據表中信息可知這個函數圖像的對稱軸是直線．…124……1111143…12．如圖，，、相交于點，如果，那么的值是．

13．如圖，在中，點、分別在邊、上，且，，連接，如果，，那么．（用含向量、的式子表示）14．在等腰中，，如果，那么的值是．15．手影戲是一種獨特的藝術形式，它通過手勢和光影創(chuàng)造出生動的形象．它的原理是利用光的直線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像．如圖，為了投影出一個動物造型，手的長度是15厘米，，光源到手的距離是100厘米，手到幕布的距離是20厘米．此時的長度是厘米．16．如圖，某商場開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，已知樓梯高，坡面的坡度，則至少需要紅地毯m．

17．平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當兩交點分別是兩腰的黃金分割點時，我們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”．如圖，在梯形中，，，，點、分別在邊、上，如果是梯形的“黃金分割線”，那么．18．如圖，將一塊含角的實心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內繞著它的重心逆時針旋轉．如果這塊三角板的斜邊長12厘米，那么運動前后兩個三角形重疊部分的面積為平方厘米．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．計算：．20．在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，(1)為了確定這條拋物線，需要再添加一個條件，請從以下兩個條件中選擇一個：①它與軸交點的坐標是；②頂點的坐標為．你選擇的條件是（填寫編號），并求、的值．(2)由（1）確定的拋物線與軸正半軸交于點，求的值．21．如圖，在中，點、分別在邊、上，，，且．(1)求線段的長；(2)當，時，求的面積．22．如圖，在中，，，點是邊的中點，連接，作，垂足為點，連接．(1)求證：；(2)取邊的中點，連接，求證：．23．火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車的運行安全．我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來測量軌道的各種參數（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷．某?？苿?chuàng)活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探究：閱讀概述激光三角位移計是由半導體激光向目標物照射激光，聚集目標物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦離目標物的距離發(fā)生改變，聚集反射光的角度也會改變，成像的位置也隨之改變．可以通過成像的位移來計算物體實際的移動距離．發(fā)現(xiàn)原理被測量物體從初始位置移動到最終位置，需要測量的是參考平面與目標測量平面的距離，也就是圖中點與點之間的距離．假設激光通過接收透鏡后仍按照原直線方向傳播，最后在光學成像設備上成像．建立模型如圖，直線直線直線，直線垂直于和，垂足分別為和，線段與線段交于點，．探究（1）設，請用含和的式子表示點到直線的距離．探究（2）已知，，，求的長度．（結果精確到個位，，，）24．在平面直角坐標系中，拋物線經過點2,3和點．(1)求該拋物線的表達式；(2)如圖，該拋物線上有三個點、、，軸，，，與拋物線的對稱軸交于點（點在對稱軸的左側）．①如果點到拋物線對稱軸的距離為，請用含的代數式表示點的橫坐標；②求點的橫坐標．25．如圖1，在中，，過點作，垂足為點，點在邊上（不與點重合），點是邊上的點，且滿足，設．(1)求證：；(2)如圖2，過點作，垂足為點，求證：；(3)設點是的中點，連接并延長交邊于點，當與相似時，求的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】本題考查二次函數的識別，根據形如，這樣的函數叫做二次函數，進行判斷即可．【詳解】解：A、當時，不是二次函數，不符合題意；B、，不是二次函數，不符合題意；C、，是二次函數，符合題意；D、，不是二次函數，不符合題意；故選C．2．B【分析】本題二次函數圖象上的點的特征，根據圖象上的點的橫縱坐標滿足函數解析式，進行判斷即可．【詳解】解：A、當時，，故函數圖象不經過點1,0；B、當時，，故函數圖象經過點；C、當時，，故函數圖象不經過點；D、當時，，故函數圖象不經過點；故選B3．B【分析】本題考查相似三角形的判定，根據相似三角形的判定方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、兩個直角三角形不一定相似，不符合題意；B、根據兩角相等的兩個三角形相似，可以得到有一個內角為的兩個直角三角形一定相似，符合題意；C、兩個等腰三角形不一定相似，不符合題意；D、有一個內角是的兩個等腰三角形不一定相似，比如一個的角是頂角，一個的角為底角，不符合題意；故選B．4．B【分析】本題考查了三角函數的比值關系，平行線的性質，熟悉掌握角三角函數的比值關系是解題的關鍵．利用角的等量代換和三角函數的比值關系求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，故選：B．5．D【分析】本題考查命題與定理，平面向量，解答本題的關鍵是掌握平面向量的基本概念和性質．由平面向量的基本概念和性質，即可判斷．【詳解】解：A、兩向量的模相等，方向不一定相同，故A選項不符合題意；B、兩單位向量的方向可能不同，故B選項不符合題意；C、，故C選項不符合題意；D、如果，那么，正確，故D選項符合題意；故選：D．6．D【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據平行線分線段成比例，分別求出線段之間的數量關系，逐一計算，比較大小即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，∴，∴，，，∵，∴的差最大；故選D．7．##【分析】本題考查了代數式的運算，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵．根據推出，再整體代入運算即可．【詳解】解：∵，∴，∴把代入可得：，故答案為：．8．【分析】本題主要考查了二次函數的性質，根據拋物線開口向下可得出，再結合二次函數的定義即可求出答案．【詳解】解：根據題意可知：且，解得：，故答案為：9．【分析】本題考查二次函數圖象的平移，根據平移規(guī)則：左加右減，上加下減，進行求解即可．【詳解】解：拋物線向右平移3個單位，得到：，∴新拋物線的頂點坐標是；故答案為：．10．【分析】本題考查比較二次函數的函數值大小，根據開口向下的拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越小，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越小，∵，∴，∴；故答案為：．11．【分析】本題考查根據拋物線的對稱性求對稱軸，找到表格中函數值相同的兩個自變量的值，進行求解即可．【詳解】解：由表格可知：當和時，函數值相等，即：點和關于對稱軸對稱，∴對稱軸為直線；故答案為：．12．【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，先根據同高三角形的面積之比等于底邊長之比得到，再證明，最后根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，向量的線性運算，三角形法則求出，證明，求出的值，即可得出結果．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：．14．【分析】本題考查求角的正弦值，勾股定理．過點作，根據，不妨設，，設，勾股定理列出方程求出的長，進而求出的長，再根據正弦的定義即可求解．【詳解】解：過點作，如圖，設，∵，∴不妨設，則：，在中，，在中，，∴，即：，解得：，∴，∴，在中，，故答案為：．15．18【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，先證明，然后根據相似三角形的對應高之比等于相似比求解即可．【詳解】解∶根據題意，得，，，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得，經檢驗，是原方程的解，∴的長度是18厘米，故答案為∶18．16．14【分析】根據坡面的坡度，求出的長度，從而利用平移的知識可得紅地毯的長度為，進而得出答案．【詳解】解：∵，坡面的坡度，∴，∴紅地毯的長度為，故答案為：14．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，利用坡度求出的長度是解答本題的關鍵，另外要掌握平移性質的運用．17．【分析】本題考查黃金分割，相似三角形的判定和性質，過點作交于點，證明，得到，求出的長，利用求出的長即可．【詳解】解：過點作交于點，∵是梯形的“黃金分割線”，∴，，∴四邊形均為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．18．【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，旋轉的性質，重心的性質，根據含30度角的直角三角形的性質，求出的面積，旋轉的性質，重心的性質，推出，且相似比為，利用的面積減去三個小三角形的面積求出重疊部分的面積即可．【詳解】解：如圖，，，∴，∴，∵為重心，∴，∵繞點旋轉180度，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，∴重疊部分的面積為：；故答案為：．19．【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數的混合運算，先把特殊角的三角函數值代入，然后再根據實數的混合運算法則計算即可．【詳解】解：20．(1)②，(2)【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求解是解題的關鍵：（1）選擇②，寫出頂點式，再轉化為一般式求出、的值即可；（2）求出點的坐標，過點作軸，利用正切的定義，進行求解即可．【詳解】（1）解：當選擇條件為①時，只有一個點的坐標無法求出兩個參數的值；故選擇②，此時：，∴；故答案為：②；（2）解：當時，解得：，∴，∴，過點作軸，則：，∴，∴．21．(1)；(2)．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理．根據：，，可證，根據相似三角形的對應邊成比例可得：，從而可求AB的長度；過點作，根據直角三角形的性質可求，利用勾股定理可求，利用三角形的面積公式可求，因為，，可證，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方可知．【詳解】（1）解：，，，，，，，，是線段，，；（2）解：如下圖所示，過點作，，又，，，，，，，，，，，，．22．(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質，等腰直角三角形的判定以及性質，三角形中位線的判定以及性質，掌握這些判定定理以及性質是解題的關鍵．（1）先證明，由相似三角形的性質得出，由線段中點的定義得出，等量代換可得出，結合，進而可得出．（2）取邊的中點D，連接，先證明，由相似三角形的性質得出，，連接交于點H，連接，利用三角形中位線的判定以及性質，等腰直角三角形的判定得出，再證明，，再由相似三角形的性質進一步證明，最后根據相似三角形的性質即可得出．【詳解】（1）證明：∵，點E是邊的中點，于點F，∴，，∴，∴，∴，∴∵，∴．（2）解：取邊的中點D，連接，∵，，∴，∵，∴，，連接交于點H，連接，∵點E是的中點，點D是的中點，∴，，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴．23．（1）（2）60【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，相似三角形的判定和性質，添加輔助線構造直角三角形，是解題的關鍵：（1）過點作于點，對頂角結合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的長即可；（2）作，交于點，解直角三角形，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：過點作于點，則：，，∵，∴，∴，在中，；（2）作，交于點∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．24．(1)(2)①；②【分析】本題考查二次函數的綜合應用，解直角三角形，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求解是解題的關鍵：（1）待定系數法求出函數解析式即可；（2）①連接，過點作直線，根據對稱性結合直角三角形斜邊上的中線推出為等邊三角形，在中，求出的長，進而得到的長，即可得出點的橫坐標；②在中，利用銳角三角函數求出的值，進而求出點