2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：四邊形 壓軸解答題練習(xí)題（含答案解析）

第第頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：四邊形壓軸解答題練習(xí)題一．解答題（共25小題）1．課本再現(xiàn)（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、E在一條直線上，連接BD和AE相交于點(diǎn)P，線段BD與AE有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說(shuō)明上述關(guān)系成立的理由嗎？深入探究（2）如圖2，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與（1）中相同．①線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是；②∠DPE的度數(shù)為．拓展應(yīng)用（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求邊CD的長(zhǎng)度．2．問(wèn)題探索：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上且∠EDF＝90°，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是；問(wèn)題解決：（2）如圖2，某大學(xué)校園內(nèi)有一塊四邊形的花圃ABCD，滿足AB＝80m，BC＝20m，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，花圃內(nèi)鋪設(shè)了一條小路BD，BD平分∠ABC，為方便學(xué)生賞花，現(xiàn)計(jì)劃修建一條徑直的通道DE與小路BD相連，且DE⊥BD，入口點(diǎn)E恰好在BA的延長(zhǎng)線上．解答下列問(wèn)題：①求證：AD＝CD；②求入口到點(diǎn)A的距離AE的長(zhǎng)．3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A、C重合），連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BE交直線CD于F，將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BG，連接GA，GC，GF．（1）求證：△ABE≌△CBG；（2）試探究CE+CG與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求GA+GB的最小值．4．【定義】如果一個(gè)四邊形的其中一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”．如圖1，在四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，則四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形．【應(yīng)用】（1）如圖1，在對(duì)補(bǔ)四邊形ABCD中，∠A＝100°，則∠C＝；（2）如圖2，在對(duì)補(bǔ)四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，則BC＝；（3）如圖3，在對(duì)補(bǔ)四邊形ABCD中，AC平分∠BAD．①求證：BC＝CD；②若∠BAD＝60°，請(qǐng)?zhí)骄緼B、AC、AD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．5．【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，DE是△ABC的中位線，求證：DE∥AC，DE=1證明：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使DF＝DE，連接AF……請(qǐng)你把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．【類比遷移】（2）如圖2，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將點(diǎn)F分別繞著點(diǎn)D，E旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)G和H，連接GH，猜想GH和AC的關(guān)系，并證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)部，將點(diǎn)F分別繞著點(diǎn)D，E旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)G和H，順次連接AG，GB，BH，HA得到四邊形AGBH，試求四邊形AGBH的面積．6．“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線．將△ABD沿射線BC的方向平移，得到△EFG，其中點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，如圖2，當(dāng)線段EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，連接DG，GC，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：【數(shù)學(xué)思考】（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形DFCG的形狀：；【深入探究】（2）如圖3所示，老師將圖2中的△EFG繞點(diǎn)F按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△PFQ，其中點(diǎn)E、G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、Q，線段PF、QF分別與邊BD交于點(diǎn)M、N．①“勤學(xué)小組”提出問(wèn)題：當(dāng)PQ∥BD時(shí)，試猜想線段PM和FM的數(shù)量關(guān)系，并證明；②“善思小組”提出問(wèn)題：若△ABC中，AB＝6，BC＝8，當(dāng)△FMN為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△FMN的面積．7．（1）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，在邊BC上任取一點(diǎn)D，連接AD，將△ADB沿著AD翻折，得到△ADB'，且點(diǎn)B'在直線AC的上方．連接BB'并延長(zhǎng)與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．①AD與BE之間有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；②若sin∠BAC=45，請(qǐng)?zhí)骄緼D與（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，sinA=45，AB＝5，AD＝6，點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，滿足AEEB=32，將BE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ME．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交AD于點(diǎn)N，連接MD，MN，DF、若EF＝8．綜合與實(shí)踐線段的計(jì)算和角的計(jì)算有緊密聯(lián)系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節(jié)課的學(xué)習(xí)片段，請(qǐng)完成探索過(guò)程：【探索發(fā)現(xiàn)】（1）課上老師提出問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，當(dāng)AB＝16時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)度．下面是小華根據(jù)老師的要求進(jìn)行的分析及解答過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全解答過(guò)程：未知線段已知線段?因?yàn)镃，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，所以O(shè)C=12OA，OD=1所以CD＝OC+OD=12OA+1=12因?yàn)锳B＝12，所以CD＝④．線段中點(diǎn)的定義線段的和、差等式的性質(zhì)【知識(shí)遷移】（2）小華舉一反三，發(fā)現(xiàn)有些角度的計(jì)算也可以用類似的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化．如圖2，已知∠AOC＝80°，OB是角內(nèi)部的一條射線，OD，OE分別是∠AOB，∠BOC的平分線，求∠DOE的度數(shù)．請(qǐng)同學(xué)們嘗試解決該問(wèn)題．【拓展延伸】（3）老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖3，長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F，G在邊CD上，連接EF，EG，將∠BEG對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EG上的點(diǎn)B′處，得折痕EM，將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′處，得折痕EN．若∠FEG＝26°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠MEN的度數(shù)為．9．【綜合與探究】數(shù)學(xué)課上，李老師布置了一道題目：如圖①，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊AB，BC上，∠EDF＝45°，連接EF，求證：EF＝AE+CF．【思路梳理】（1）“勤奮”小組的同學(xué)給出了如下的思路分析過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：∵AD＝CD，∴將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，可使AD與CD重合，∴∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，DE＝DG，∵∠DCB＝∠A＝90°，∴∠FCG＝180°，即點(diǎn)F，C，G共線，∴∠EDG＝∠EDC+∠CDG＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDF＝45°，又∵DF＝DF，∴≌△DEF，（）（寫(xiě)依據(jù)）∴EF＝FG＝CG+CF＝AE+CF．【類比引申】（2）“智慧”小組的同學(xué)在“勤奮”小組同學(xué)的基礎(chǔ)上，改變了條件：如圖②，在四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，∠EDF＝45°，連接EF．若∠A，∠C都不是直角，且∠A+∠C＝180°，則（1）中的結(jié)論是否還成立？并說(shuō)明理由．【聯(lián)想拓展】（3）“創(chuàng)新”小組的同學(xué)提出了下面的問(wèn)題：如圖③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D，E均在邊AC上，且∠DBE＝45°．當(dāng)AD＝1，CE＝2時(shí)，直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)度．10．我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．（1）寫(xiě)出兩種你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱，（2）如圖（1），請(qǐng)你在圖中畫(huà)出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊，且對(duì)角線相等的所有勾股四邊形OAMB．（3）如圖（2），在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，且AB＝BC，連接BD．探究BD、AD、和CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．11．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，連接DP、DQ；若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），△DPQ的面積為Scm2（S＞0）．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，PQ＝；當(dāng)t＝3時(shí)，PQ＝．（2）當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，用含t的代數(shù)式表示S．（4）如圖2，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q不重合的情況下，連接AP，四邊形APQD的面積是長(zhǎng)方形ABCD的面積的23時(shí)，直接寫(xiě)出t12．【操作思考】（1）如圖1，已知方格紙每個(gè)小方格都是長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，已知線段AB的端點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，其位置如圖所示．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格紙上畫(huà)出以AB為斜邊的所有互不全等的直角三角形，要求這些三角形的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．【聯(lián)系應(yīng)用】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=13，D，E是BC邊的三等分點(diǎn)，連接【拓展延伸】（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)H是邊AB的三等分點(diǎn)時(shí)，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延長(zhǎng)HG交AD于點(diǎn)M，求MD的長(zhǎng)．13．綜合與探究問(wèn)題情境：在△ABC中，AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)．將△CDB以點(diǎn)D為中心逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′，C′，B′C′與AC的交點(diǎn)為E．猜想證明：（1）如圖1，當(dāng)B′C′∥AB時(shí)，判斷四邊形ADB′E的形狀，并說(shuō)明理由；深入探究（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在BC邊上時(shí)，①猜想線段AE，B′E的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若AC＝10，AB＝12，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BB′的長(zhǎng)度．14．在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．在長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部（包含邊界），以EF為直角邊作等腰直角三角形EFP，且∠EFP＝90°．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q．（1）如圖①，當(dāng)AE＝1時(shí)，設(shè)AQ＝x，PQ＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)E的位置如圖②所示時(shí)，點(diǎn)F在AB邊上運(yùn)動(dòng)，用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）（3）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P所形成的區(qū)域的面積隨著AB的長(zhǎng)度變化而變化，設(shè)點(diǎn)P所形成的區(qū)域的面積為s，AB的長(zhǎng)度為n．請(qǐng)直接寫(xiě)出s與n的函數(shù)表達(dá)式及對(duì)應(yīng)n的取值范圍．15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著射線BC以3cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)端點(diǎn)A時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AP＝cm，BQ＝cm；（用含t的代數(shù)式表示）（2）連接BP，AQ，若BP與AQ互相平分，求此時(shí)t的值；（3）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．【學(xué)習(xí)新知】等邊對(duì)等角是等腰三角形的性質(zhì)定理．如圖1，可以表述為：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．【新知應(yīng)用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，則∠B＝；若∠B＝70°，則∠A＝．【嘗試探究】如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若連接CA，則CA平分∠BCD．某數(shù)學(xué)小組成員通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使得DE＝BC，連接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性質(zhì)可以證明．請(qǐng)你參考他們的想法，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．【拓展應(yīng)用】借助上一問(wèn)的嘗試，繼續(xù)探究：如圖3所示，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，連接CA，CA平分∠BCD嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（4，0），動(dòng)點(diǎn)P（m，0）（﹣4＜m＜4），M、N分別為點(diǎn)P關(guān)于直線AB、OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接AM，AN．（1）如圖1，當(dāng)0＜m＜4時(shí)，∠MAN＝；（2）如圖2，當(dāng)﹣4＜m＜0時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得BMBN=3，若存在，求點(diǎn)（3）當(dāng)﹣4＜m＜0時(shí)，四邊形ANBM的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變？若不變，請(qǐng)求出四邊形ANBM的面積；若改變，請(qǐng)描述四邊形ANBM的面積隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律．18．【教材呈現(xiàn)】將正方形的四個(gè)頂點(diǎn)用線段連接，什么樣的連法最短？研究發(fā)現(xiàn)，并非對(duì)角線最短，而是如圖所示的連法最短（即用線段AE、DE、EF、BF、CF把四個(gè)頂點(diǎn)連接起來(lái)）．已知如圖1：∠DAE＝∠ADE＝30°，∠AEF＝∠BFE＝120°．（1）由圖1可知，線段AB和EF的位置關(guān)系為：；【問(wèn)題探究】（2）某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，圖1所示圖形（是/不是）軸對(duì)稱圖形，于是他們?nèi)鐖D2構(gòu)造了△AF′D≌△BFC，發(fā)現(xiàn)△AF′E是三角形，請(qǐng)結(jié)合以上結(jié)論，猜想線段AE與OE的數(shù)量關(guān)系，并證明．【問(wèn)題解決】（3）在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若AB＝6，求最短連法的線段和，即AE+DE+EF+BF+CF的值．19．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)E在邊AD上，連結(jié)CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是；CE與AD的位置關(guān)系是；（2）拓展探究：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，猜想BP與CE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，若OC=3，AP=213，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形20．對(duì)于點(diǎn)P，直線l和圖形N，給出如下定義：若點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′在圖形N的內(nèi)部或邊上，則稱點(diǎn)P為圖形N關(guān)于直線l的“鏡像點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），設(shè)點(diǎn)T（0，t），直線l1為過(guò)點(diǎn)T（0，t）且與y軸垂直的直線．（1）若t＝﹣2，在點(diǎn)P1（0，﹣4），P2（2，﹣5.5），P3（﹣1，﹣2.2）中，點(diǎn)是△ABC關(guān)于直線l1的“鏡像點(diǎn)”；（2）當(dāng)t≠0時(shí)，若x軸上存在△ABC關(guān)于直線l1的“鏡像點(diǎn)”，則t的最小值為；（3）已知直線l2過(guò)點(diǎn)T（0，t）且與第一、三象限的角平分線平行．①若直線l2上存在△ABC關(guān)于直線l1的“鏡像點(diǎn)”，直接寫(xiě)出t的取值范圍；②已知邊長(zhǎng)為1的正方形DEFH的對(duì)角線的交點(diǎn)為Q（t，0），且正方形DEFH的邊與坐標(biāo)軸平行．若正方形DEFH邊上的所有點(diǎn)都是△ABC關(guān)于直線l2的“鏡像點(diǎn)”，直接寫(xiě)出t的取值范圍．21．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，D（0，8），將矩形OBCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．（1）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠AOB的度數(shù)；（2）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)A，若OD＝2CP，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，擦去折痕AO，線段AP，連接BP，動(dòng)點(diǎn)M在線段OP上（點(diǎn)M與P，O不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段OB的延長(zhǎng)線上，且BN＝PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M，N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．22．（1）【觀察猜想】我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，EF，并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG．若∠EAF＝45°，則BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，且∠EAF＝45°時(shí)，試探究BE，EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，若△ABC的面積為18，BD?CE＝4，請(qǐng)求出△ADE的面積．23．折疊問(wèn)題是幾何變換中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)常利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題，而有直角的圖形折疊又往往會(huì)與勾股定理相關(guān)聯(lián)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“折疊”為主題開(kāi)展了數(shù)學(xué)活動(dòng)：（1）【初步感知】如圖①，在三角形紙片ABC中，∠C＝90°，BC＝12，將∠A沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕和AC交于點(diǎn)E，折痕和AB交于點(diǎn)D，AE＝13，則CE的長(zhǎng)為；（2）【深入探究】如圖②，在平行四邊形紙片ABCD中，∠B＝90°，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，如果AB＝3，BC＝6．求BE的長(zhǎng)；（3）【拓展延伸】如圖③，在平行四邊形紙片ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)E為射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿直線BE折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)為．24．【概念呈現(xiàn)】：當(dāng)一個(gè)凸四邊形的一條對(duì)角線把原四邊形分成兩個(gè)三角形．若其中有一個(gè)三角形是等腰直角三角形，則把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“等腰直角線”，把這個(gè)四邊形叫做“等腰直角四邊形”；當(dāng)一個(gè)凸四邊形的一條對(duì)角線把原四邊形分成兩個(gè)三角形，若其中一個(gè)三角形是等腰直角三角形，另一個(gè)三角形是等腰三角形，則把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“真等腰直角線”，把這個(gè)四邊形叫做“真等腰直角四邊形”．（1）【概念理解】：如圖①，若AD＝1，AD＝DB＝DC，BC=2，則四邊形ABCD（2）【性質(zhì)應(yīng)用】：如果四邊形ABCD是真等腰直角四邊形，且∠BDC＝90°，對(duì)角線BD是這個(gè)四邊形的真等腰直角線，當(dāng)AD=2，AB＝1時(shí)，BC2＝（3）【深度理解】：如圖②，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是等腰直角四邊形，∠BDC＝90°，∠ADE＝90°，BD＞AD＞AB，對(duì)角線BD、AD分別是這兩個(gè)四邊形的等腰直角線，試猜想并說(shuō)明AC與BE的數(shù)量關(guān)系；（4）【拓展提高】：已知：四邊形ABCD是等腰直角四邊形，對(duì)角線BD是這個(gè)四邊形的等腰直角線，且∠DBC＝90°，若AD＝2，AB＝3，∠BAD＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出AC的長(zhǎng)．25．問(wèn)題背景：“半角模型”問(wèn)題．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而得出結(jié)論：；（2）拓展延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠（3）嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE，EF，

參考答案與試題解析一．解答題（共25小題）1．課本再現(xiàn)（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、E在一條直線上，連接BD和AE相交于點(diǎn)P，線段BD與AE有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說(shuō)明上述關(guān)系成立的理由嗎？深入探究（2）如圖2，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與（1）中相同．①線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是BD＝AE；②∠DPE的度數(shù)為60°．拓展應(yīng)用（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求邊CD的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）BD＝AE，理由見(jiàn)解答；（2）BD＝AE；60°；（3）8．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后求出∠ACE＝∠BCD，再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD＝AE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEC＝∠BDC，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠DPE＝∠DCE；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后求出∠ACE＝∠BCD，再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD＝AE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEC＝∠BDC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DPE＝∠DEC；（3）把△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，判斷出△CDE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DE＝CD，∠CED＝60°，再求出∠BED＝90°，然后利用勾股定理列式求出DE，從而得解．【解答】解：（1）BD＝AE，可以看成是△ACE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度角得△BCD，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AB=AC∠ACE=∠BCD∴△ACE＝△BCD（SAS），∴BD＝AE；（2）①線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是BD＝AE；②∠DPE的度數(shù)為60°，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AB=AC∠ACE=∠BCD∴△ACE＝△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，∵∠BDC+∠CDE+∠AED＝∠AEC+∠CDE+∠AED＝∠CDE+∠CED＝120°，∴∠DPE＝180°﹣（∠BDC+∠CDE+∠AED）＝180°﹣120°＝60°；∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°；故答案為：BD＝AE；60°；（3）如圖，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，把△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，則BE＝AD，△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°，∴∠BED＝30°+60°＝90°，在Rt△BDE中，DE=B∴CD＝DE＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作出輔助線構(gòu)造成等邊三角形和直角三角形．2．問(wèn)題探索：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上且∠EDF＝90°，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是DE＝DF；問(wèn)題解決：（2）如圖2，某大學(xué)校園內(nèi)有一塊四邊形的花圃ABCD，滿足AB＝80m，BC＝20m，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，花圃內(nèi)鋪設(shè)了一條小路BD，BD平分∠ABC，為方便學(xué)生賞花，現(xiàn)計(jì)劃修建一條徑直的通道DE與小路BD相連，且DE⊥BD，入口點(diǎn)E恰好在BA的延長(zhǎng)線上．解答下列問(wèn)題：①求證：AD＝CD；②求入口到點(diǎn)A的距離AE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）DE＝DF；（2）①證明過(guò)程見(jiàn)解答；②120m．【分析】（1）連接CD，證明△ADE≌△CDF即可解決問(wèn)題；（2）①連接AC，在BD上截取BG，使BG＝BC，連接CG，可證A，B，C，D四點(diǎn)共圓，△ADC是等邊三角形，故∠ACD＝60°，AC＝CD；②結(jié)合①證明△GBC是等邊三角形，即可證明△ABC≌△DGC，得AB＝DG，BD＝DG+BG＝DG+BC，在Rt△BDE中可得BE＝2BD，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】（1）解：DE＝DF，理由如下：如圖（1），連接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝DC＝DB，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCFAD=CD∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，故答案為：DE＝DF；（2）①證明：連接AC，在BD上截取BG，使BG＝BC，連接CG，如圖：∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝60°，∵∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠DAC＝∠DBC＝60°，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，AC＝CD；②解：∵∠DBC＝60°，BG＝BC，∴△GBC是等邊三角形，∴∠BCG＝60°，BC＝CG，∴∠BCG＝∠ACD，∴∠BCA＝∠GCD，在△ABC和△DGC中，AC=CD∠BCA=∠GCD∴△ABC≌△DGC（SAS），∴AB＝DG＝80m，∴BD＝DG+BG＝DG+BC＝80+20＝100（m），∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE中，∠EBD＝60°，∴∠E＝30°，∴BE＝2BD＝200m，∴AE＝BE﹣AB＝200﹣80＝120（m）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A、C重合），連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BE交直線CD于F，將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BG，連接GA，GC，GF．（1）求證：△ABE≌△CBG；（2）試探究CE+CG與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求GA+GB的最小值．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）CG+CE=2BC（3）AG+BG的最小值為25．【分析】（1）過(guò)E作EM⊥BC，EN⊥CD，可證△BEM≌△FEN得BE＝EF，可證四邊形BEFG是正方形，得∠EBG＝90°，BE＝BG，可證∠ABE＝∠CBG，進(jìn)而得到△ABE≌△CBG；（2）結(jié)合（1）得∠BAE＝∠BCG，證明∠ACG＝90°，根據(jù)AE＝CG，CG+CE＝AE+CE＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）延長(zhǎng)DC至H，使CH＝BC＝2，連接BG，GH，由“SAS”可證△BCG≌△HCG，可得BG＝GH，當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)A，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，AG+GH有最小值，由勾股定理求AH的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：過(guò)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，作EN⊥CD于點(diǎn)N，作EH⊥AB于H，連接BG，∵四邊形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，∴EM＝EN，∵∠EMC＝∠MCN＝∠ENC＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠MEF＝∠FEN+∠MEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠EMB＝∠ENF＝90°，EM＝EN，∴△BEM≌△FEN（ASA），∴BE＝EF，∵∠BEF＝∠EBG＝90°，BE＝BG，BE＝EF，∴EF＝BG，EF∥BG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∵∠BEF＝90°，BE＝EF，∴四邊形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，BE＝BG，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG，∵AB＝BC，BE＝BG，∴△ABE≌△CBG（SAS）；（2）解：CG+CE=2BC由（1）知：△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG＝45°，AE＝CG，∴∠BAE+∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠BCG＝90°，即∠ACG＝90°，∴AC⊥GC，∵AE＝CG，∴CG+CE＝AE+CE＝AC，∵∠ACB＝45°，∴AC=2BC∴CG+CE=2BC（3）解：如圖，延長(zhǎng)DC至H，使CH＝BC＝2，連接BG，GH，∵∠BCG＝45°，∠BCH＝90°，∴∠BCG＝∠GCH＝45°，又∵BC＝CH，CG＝CG，∴△BCG≌△HCG（SAS），∴BG＝GH，∴AG+BG＝AG+GH，∴當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)A，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，AG+GH有最小值，即AG+BG有最小值為AH的長(zhǎng)，∴AH=AD2∴AG+BG的最小值為25．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合運(yùn)用正方形的判定與性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．【定義】如果一個(gè)四邊形的其中一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”．如圖1，在四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，則四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形．【應(yīng)用】（1）如圖1，在對(duì)補(bǔ)四邊形ABCD中，∠A＝100°，則∠C＝80°；（2）如圖2，在對(duì)補(bǔ)四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，則BC＝21；（3）如圖3，在對(duì)補(bǔ)四邊形ABCD中，AC平分∠BAD．①求證：BC＝CD；②若∠BAD＝60°，請(qǐng)?zhí)骄緼B、AC、AD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）80°；（2）21；（3）①證明過(guò)程見(jiàn)解答；②AD+AB=3AC【分析】（1）根據(jù)對(duì)補(bǔ)四邊形定義和∠A＝100°，可得∠C；（2）根據(jù)對(duì)補(bǔ)四邊形定義和∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，利用勾股定理即可求出BC；（3）①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，證明△CDE≌△CBF（AAS），得CD＝BC；②證明△ACE≌△ACF（AAS），得AE＝AF，由①得△CED≌△CFB，得ED＝BF，所以AD+AB＝2AE，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】（1）解：∵對(duì)補(bǔ)四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，∠A＝100°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°，故答案為：80°；（2）如圖2，連接BD，∵∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD=A∵DC＝2，∴BC=B故答案為：21；（3）①證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，∵AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∵四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形，∴∠CDA+∠B＝180°，∵∠CDA+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，在△CDE和△CBF中，∠CDE=∠B∠CED=∠∠CFB=90°∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CD＝BC；②解：AD+AB=3AC∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠BAC=12∵∠CED＝∠CFB＝90°，CE＝CF，∴△ACE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，由①知：△CED≌△CFB，∴ED＝BF，∴AD+AB＝AE﹣ED+AF+BF＝2AE，在Rt△AEC中，∠EAC＝30°，∴AE=32∴AD+AB＝2AE=3AC【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)補(bǔ)四邊形，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)補(bǔ)四邊形定義．5．【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，DE是△ABC的中位線，求證：DE∥AC，DE=1證明：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使DF＝DE，連接AF……請(qǐng)你把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．【類比遷移】（2）如圖2，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將點(diǎn)F分別繞著點(diǎn)D，E旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)G和H，連接GH，猜想GH和AC的關(guān)系，并證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)部，將點(diǎn)F分別繞著點(diǎn)D，E旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)G和H，順次連接AG，GB，BH，HA得到四邊形AGBH，試求四邊形AGBH的面積．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）AC∥GH（或AC與GH在同一直線上），AC＝GH．理由見(jiàn)解答；（3）6．【分析】（1）證明△ADF≌△BDE，得AF＝BE，∠F＝∠FEB，然后證明四邊形AFEC為平行四邊形，即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)合（1）根據(jù)三角形中位線【解答】（1）證明：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使DF＝DE，連接AF，∵DE是△ABC的中位線，∴AD＝BD，BE＝EC，∵∠ADF＝∠BDE，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴AF＝BE，∠F＝∠FEB，∴AF∥EC，AF＝EC，∴四邊形AFEC為平行四邊形，∴EF∥AC，EF＝AC，∴DE∥AC，DE=1（2）猜想：AC∥GH（或AC與GH在同一直線上），AC＝GH．理由如下：①當(dāng)點(diǎn)F不在過(guò)點(diǎn)B且與AC平行的直線上時(shí)，方法一：如圖2.1，連接GF，AG，BF，F(xiàn)H，CH，∵點(diǎn)F分別繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)G，∴DG＝DF，G，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線．∴∠ADG＝∠BDF．∵DE是△ABC的中位線，∴AD＝DB，∴△ADG≌△BDF（SAS），∴AG＝BF，∠GAD＝∠FBD，∴AG∥BF．同理BF＝CH，BF∥CH，∴AG＝CH，AG∥CH，∴四邊形AGHC為平行四邊形，∴AC∥GH，AC＝GH；方法二：如圖2.2，連接GF，F(xiàn)H，DE，∵點(diǎn)F分別繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)G，∴DG＝DF，G，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理，F(xiàn)E＝EH，E，H，F(xiàn)三點(diǎn)共線．∴DE∥GH，DE=1又DE∥AC，DE=1∴AC∥GH，AC＝GH；②當(dāng)點(diǎn)F在過(guò)點(diǎn)B且與AC平行的直線上時(shí)，如圖2.3，連接FD并延長(zhǎng)交直線AC于G'，連接FE并延長(zhǎng)交直線AC于H′，∵BF∥AC，∴∠A＝∠ABF，又AD＝BD，∠ADG'＝∠BDF，∴△ADG′≌△BDF（ASA），∴AG'＝BF．FD＝DG'，∴G'可以看作是點(diǎn)F繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°而得到，又點(diǎn)F分別繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)G，∴G'與G重合，∴AG＝BF，同理，H'與H重合，CH＝BF，∴GH和AC在同一直線上，AG＝CH，∴AG+GC＝CH+GC，即AC＝GH，綜上所述，AC∥GH（或AC與GH在同一直線上），AC＝GH；（3）如圖3，連接GH，由（2）可知，AC＝GH，AC∥GH，又AC＝4，∠BAC＝90°，∴GH＝4，GH⊥AC，∴四邊形AGBH的面積=1【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形張婷婷，考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全都是三角形的判定與性質(zhì)，箏形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理的運(yùn)用．6．“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線．將△ABD沿射線BC的方向平移，得到△EFG，其中點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，如圖2，當(dāng)線段EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，連接DG，GC，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：【數(shù)學(xué)思考】（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形DFCG的形狀：矩形；【深入探究】（2）如圖3所示，老師將圖2中的△EFG繞點(diǎn)F按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△PFQ，其中點(diǎn)E、G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、Q，線段PF、QF分別與邊BD交于點(diǎn)M、N．①“勤學(xué)小組”提出問(wèn)題：當(dāng)PQ∥BD時(shí)，試猜想線段PM和FM的數(shù)量關(guān)系，并證明；②“善思小組”提出問(wèn)題：若△ABC中，AB＝6，BC＝8，當(dāng)△FMN為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△FMN的面積．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）矩形；（2）①PM＝FM，理由見(jiàn)解答；②3．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)先證明四邊形DBFG是平行四邊形，則DG與CF平行且相等，四邊形DFCG是平行四邊形，再證明∠DFC＝90°，即可得結(jié)論；（2）①先證明∠E＝∠EFG＝∠A＝∠BDF，根據(jù)如圖3，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答；②先根據(jù)勾股定理計(jì)算AC＝10，DF＝3，如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD于H，利用面積法可得FH的長(zhǎng)，根據(jù)三角形中位線求出MN，最后利用三角形的面積公式即可解答．【解答】解：（1）四邊形DFCG是矩形，理由如下：由平移得：EF∥AB，BD∥FG，BD＝FG，∴∠EFC＝∠ABC＝90°，∵BD為Rt△ABC中斜邊AC邊上的中線，∴BD＝AD＝CD=12∴BF＝CF，∵BD∥FG，BD＝FG，∴四邊形DBFG是平行四邊形，∴DG＝BF，DG∥BF，∴DG＝CF，DG∥CF，∴四邊形DFCG是平行四邊形，∵∠DFC＝90°，∴?DFCG是矩形；故答案為：矩形；（2）①PM＝FM，理由如下：如圖2，∵△ABD平移得到△EFG，∴∠E＝∠A，AD＝EG，BD＝FG，BD∥FG，∴∠EFG＝∠BDF，由（1）知：BD＝AD，∴EG＝FG，∴∠E＝∠EFG＝∠A＝∠BDF，如圖3，∵△EFG旋轉(zhuǎn)得到△PFQ，∴∠P＝∠GEF，EF＝PF，∵PQ∥MN，∴∠P＝∠FMN，∴∠FMN＝∠BDF，∴FM＝DF，由（1）知：四邊形DFCG是矩形，∴∠GDF＝90°，∵EG＝FG，∴ED＝DF=12∴FM=12FP＝②∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∴AD＝CD＝BD＝5，∵DF⊥BC，∴BF＝CF＝4，∴DF＝3，如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD于H，S△BDF=12×4×3=∴FH=12∵PQ∥BD，∴MN=12PQ=1∴△FMN的面積=12?MN?FH【點(diǎn)評(píng)】本題四邊形的綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（1）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，在邊BC上任取一點(diǎn)D，連接AD，將△ADB沿著AD翻折，得到△ADB'，且點(diǎn)B'在直線AC的上方．連接BB'并延長(zhǎng)與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．①AD與BE之間有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；②若sin∠BAC=45，請(qǐng)?zhí)骄緼D與（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，sinA=45，AB＝5，AD＝6，點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，滿足AEEB=32，將BE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ME．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交AD于點(diǎn)N，連接MD，MN，DF、若EF＝【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）①AD⊥BE，證明見(jiàn)解答；②3BE＝4AD，證明見(jiàn)解答；（2）11．【分析】（1）①根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和線段垂直平分線的判定即可解答；②如圖1，延長(zhǎng)AD交BE于Q，根據(jù)sin∠BAC=BCAB=45，設(shè)BC＝4x，AB＝5x，則AC＝3x（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥AD于P，交CB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥GH于H，連接FM，交AD于O，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥GH于K，先證明△CBE≌△FME（SAS），得FM＝CB＝6，相當(dāng)于△BEC繞點(diǎn)E，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△MEF，再證明△CGE≌△EHF（AAS）和△EPN∽△EHF，即可解答．【解答】解：（1）①AD⊥BE，證明如下：由翻折得：AB＝AB'，BD＝B'D，∴AD是BB'的垂直平分線，∴AD⊥BB'，∴AD⊥BE；②3BE＝4AD，證明如下：如圖1，延長(zhǎng)AD交BE于Q，由①知：AD⊥BE，∴∠AQB'＝90°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BAC=BC設(shè)BC＝4x，AB＝5x，則AC＝3x，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°＝∠AQE，∴∠CDQ+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠ADC+∠CDQ＝180°，∴∠E＝∠ADC，∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴△DCA∽△ECB，∴ACBC設(shè)CD＝3b，CE＝4b，由勾股定理得：AD=(3x)2+(3b)2=3∴ADBE∴3BE＝4AD；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥AD于P，交CB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥GH于H，連接FM，交AD于O，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥GH于K，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∵CF⊥EF，∴∠CEF＝90°，由旋轉(zhuǎn)得：∠BEM＝90°，BE＝EM，∴∠CEF＝∠BEM，∴∠BEC＝∠MEF，∵CE＝EF，∴△CBE≌△FME（SAS），∴FM＝CB＝6，相當(dāng)于△BEC繞點(diǎn)E，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△MEF，∴FM⊥BC，∵AD∥BC，∴FM⊥AD，∠GBE＝∠A，∵GH⊥AD，∴GH⊥BC，∴∠G＝∠H＝90°，∴∠HEF+∠EFH＝90°，∵∠CEF＝90°，∴∠HEF+∠GEC＝90°，∴∠EFH＝∠GEC，∵CE＝EF，∴△CGE≌△EHF（AAS），∴CG＝EH，EG＝FH，∵AB＝5，AEBE∴AE＝3，BE＝2，Rt△AEP中，sinA=PE∴PE3∴PE=12由勾股定理得：AP=A同理得：EG=85，BG∴FH＝GE=85，EH＝CG＝6∵PN∥FH，∴△EPN∽△EHF，∴PNHF=PE∴PN=8∴DN＝AD﹣AP﹣PN＝6?8∴四邊形DMNF的面積＝S△DNM+S△DNF=12?DN?OM+12=12?DN=1＝11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，三角形的面積，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握三角形全等和相似的判定及性質(zhì)，利用邊的比設(shè)未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．綜合與實(shí)踐線段的計(jì)算和角的計(jì)算有緊密聯(lián)系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節(jié)課的學(xué)習(xí)片段，請(qǐng)完成探索過(guò)程：【探索發(fā)現(xiàn)】（1）課上老師提出問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，當(dāng)AB＝16時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)度．下面是小華根據(jù)老師的要求進(jìn)行的分析及解答過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全解答過(guò)程：未知線段已知線段?因?yàn)镃，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，所以O(shè)C=12OA，OD=12所以CD＝OC+OD=12OA+12=12AB因?yàn)锳B＝12，所以CD＝6④．線段中點(diǎn)的定義線段的和、差等式的性質(zhì)【知識(shí)遷移】（2）小華舉一反三，發(fā)現(xiàn)有些角度的計(jì)算也可以用類似的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化．如圖2，已知∠AOC＝80°，OB是角內(nèi)部的一條射線，OD，OE分別是∠AOB，∠BOC的平分線，求∠DOE的度數(shù)．請(qǐng)同學(xué)們嘗試解決該問(wèn)題．【拓展延伸】（3）老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖3，長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F，G在邊CD上，連接EF，EG，將∠BEG對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EG上的點(diǎn)B′處，得折痕EM，將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′處，得折痕EN．若∠FEG＝26°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠MEN的度數(shù)為103°或77°．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）OB，OB，AB，6；（2）40°；（3）103°或77°．【分析】（1）根據(jù)題干給出的思路作答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出∠DOB和∠EOB，然后根據(jù)∠DOE＝∠DOB+∠EOB進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，角的和差定義分兩種情況計(jì)算即可．【解答】解：（1）因?yàn)镃，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，所以O(shè)C=12OA，OD=所以CD＝OC+OD=12OA+12因?yàn)锳B＝12，所以CD＝6；故答案為：OB，OB，AB，6；（2）如圖，因?yàn)镺D，OE分別是∠AOB，∠BOC的平分線，所以∠DOB=12∠AOB，∠BOE所以∠DOE＝∠DOB+∠BOE=12∠AOB+1因?yàn)椤螦OC＝80°，所以∠DOE＝40°；（3）∠MEN的度數(shù)為103°或77°．如圖，點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，由折疊的性質(zhì)可知EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF=12∠AEF，∠MEG=1∴∠NEF+∠MEG=12∠AEF+12∠BEG=12（∠AEF+∠BEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝26°，∴∠NEF+∠MEG=1∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝77°+26°＝103°；若點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)，同理可得∠MEN＝77°．綜上所述：∠MEN的度數(shù)為103°或77°．故答案為：103°或77°．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查角的計(jì)算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義，線段的計(jì)算，線段中點(diǎn)定義，線段的和差計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．9．【綜合與探究】數(shù)學(xué)課上，李老師布置了一道題目：如圖①，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊AB，BC上，∠EDF＝45°，連接EF，求證：EF＝AE+CF．【思路梳理】（1）“勤奮”小組的同學(xué)給出了如下的思路分析過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：∵AD＝CD，∴將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，可使AD與CD重合，∴∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，DE＝DG，∵∠DCB＝∠A＝90°，∴∠FCG＝180°，即點(diǎn)F，C，G共線，∴∠EDG＝∠EDC+∠CDG＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDF＝45°，又∵DF＝DF，∴△DGF≌△DEF，（SAS）（寫(xiě)依據(jù)）∴EF＝FG＝CG+CF＝AE+CF．【類比引申】（2）“智慧”小組的同學(xué)在“勤奮”小組同學(xué)的基礎(chǔ)上，改變了條件：如圖②，在四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，∠EDF＝45°，連接EF．若∠A，∠C都不是直角，且∠A+∠C＝180°，則（1）中的結(jié)論是否還成立？并說(shuō)明理由．【聯(lián)想拓展】（3）“創(chuàng)新”小組的同學(xué)提出了下面的問(wèn)題：如圖③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D，E均在邊AC上，且∠DBE＝45°．當(dāng)AD＝1，CE＝2時(shí)，直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）△DGF；SAS；（2）成立，理由見(jiàn)詳解；（3）5．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定求解即可；（2）將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，可使AD與CD重合，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ADE＝∠CDG，DE＝DG，判定△DFG≌△DFE，即可求解；（3）將△BAD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCG，可使AB與BC重合，連接EG，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ABD＝∠CBG，∠A＝∠BCG，BD＝BG，判定△BED≌△BEG，根據(jù)勾股定理，即可求解．【解答】解：（1）∵AD＝CD，∴將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，可使AD與CD重合，∴∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，DE＝DG，∵∠DCB＝∠A＝90°，∴∠FCG＝180°，即點(diǎn)F，C，G共線，∴∠EDG＝∠EDC+∠CDG＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDF＝45°，在△DFG和△DFE中，DG=DE∠FDG=∠FDE∴△DGF≌△DEF（SAS），∴EF＝FG＝CG+CF＝AE+CF；故答案為：△DGF；SAS；（2）∵AD＝CD，∴將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，可使AD與CD重合，如圖②，則∠A＝∠DCG，又∵∠A+∠DCF＝180°，∴∠DCG+∠DCF＝180°，即∠FCG＝180°，F(xiàn)，C，G三點(diǎn)共線，∵∠ADC＝90°，∠DEF＝45°，∴∠ADE+∠CDF＝45°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠ADE＝∠CDG，DE＝DG，∴∠CDG+∠FDC＝45°，即∠FDG＝45°，∴∠FDG＝∠FDE，在△DFG和△DFE中，DG=DE∠FDG=∠FDE∴△DFG≌△DFE（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝FC+CG，CG＝AE，∴EF＝AE+CF；（3）∵AB＝BC，∴將△BAD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCG，可使AB與BC重合，連接EG，如圖③，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ABD＝∠CBG，∠A＝∠BCG，BD＝BG，∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°，∴∠ABD+∠EBC＝45°，∴∠CBG+∠EBC＝45°，即∠EBG＝45°，∴∠EBD＝∠EBG，∵BE＝BE，∴△BED≌△BEG（SAS），∵DE＝EG，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCA＝45°，∴∠BCG＝∠A＝45°，∴∠ECG＝∠BCA+∠BCG＝90°，在Rt△ECG中，EG2＝CE2+CG2，∵EG＝DE，CG＝AD＝1，CE＝2，∴DE=C【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，主要考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．10．我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．（1）寫(xiě)出兩種你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱長(zhǎng)方形，正方形，（2）如圖（1），請(qǐng)你在圖中畫(huà)出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊，且對(duì)角線相等的所有勾股四邊形OAMB．（3）如圖（2），在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，且AB＝BC，連接BD．探究BD、AD、和CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）長(zhǎng)方形，正方形；（2）圖形見(jiàn)解答；（3）結(jié)論：CD2+AD2＝BD2，理由見(jiàn)解答．【分析】（1）根據(jù)勾股四邊形的定義即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)勾股四邊形的定義利用網(wǎng)格即可解決問(wèn)題；（3）連接BD．以BD為邊向下作等邊三角形BDQ，有等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBQ＝60°，BD＝BQ，證出∠ABD＝∠CBQ，證明△ABD≌△CBQ，得出AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，證出∠DCQ＝90°，再由勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）是勾股四邊形的圖形的名稱：長(zhǎng)方形，正方形；故答案為：長(zhǎng)方形，正方形；（2）如圖（1），即為所求的勾股四邊形，點(diǎn)M（3，4）或M′（4，3）；（3）結(jié)論：CD2+AD2＝BD2，理由：在四邊形ABCD中，∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°，如圖（2），連接BD，以BD為邊向下作等邊三角形BDQ，∴∠DBQ＝60°，BD＝BQ，∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，在△ABD和△CBQ中，AB=CB∠ABD=∠CBQ∴△ABD≌△CBQ（SAS），∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∴∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴CD2+CQ2＝DQ2，∵CQ＝AD，DQ＝BD，∴CD2+AD2＝BD2．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了四邊形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．11．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，連接DP、DQ；若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），△DPQ的面積為Scm2（S＞0）．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，PQ＝5cm；當(dāng)t＝3時(shí)，PQ＝1cm．（2）當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，用含t的代數(shù)式表示S．（4）如圖2，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q不重合的情況下，連接AP，四邊形APQD的面積是長(zhǎng)方形ABCD的面積的23時(shí)，直接寫(xiě)出t【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）5cm；1cm；（2）t=8（3）S=24?9t(0＜t＜（4）t=169或329【分析】（1）先根據(jù)t＝1和t＝3求出BP，CQ，再求出PQ的值即可；（2）根據(jù)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出t的值即可；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜83，即P、Q相遇前，當(dāng)83≤t≤4，即P、Q相遇后，點(diǎn)（4）分三種情況討論：當(dāng)0＜t＜83，即P、Q相遇前，當(dāng)83≤t≤4，即P、Q相遇后，當(dāng)4＜t≤8，點(diǎn)Q從點(diǎn)【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，BP＝1cm，CQ＝2×1＝2（cm），∴PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝8﹣1﹣2＝5（cm），當(dāng)t＝3時(shí)，BP＝3cm，CQ＝2×3＝6（cm），∴PQ＝BP+CQ﹣BC＝3+6﹣8＝1（cm），故答案為：5cm；1cm；（2）t+2t＝8，解得：t=8即當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時(shí)，t的值為83（3）當(dāng)0＜t＜83，即P、PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，∴S=1當(dāng)83≤t≤4，即P、Q相遇后，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣8＝（3t﹣8）cm，∴S=1綜上分析可知：S=24?9t(0＜t＜（4）四邊形ABCD的面積為6×8＝48（cm2），∴以A、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積是：48×2當(dāng)0＜t＜83，即P、PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，則12解得：t=16當(dāng)83≤t≤4，即P、Q相遇后，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣8＝（3t﹣8）cm，則12解得：t=32當(dāng)4＜t≤8，點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PQ＝t﹣2（t﹣4）＝（8﹣t）cm，則12解得：t=16綜上分析可知：當(dāng)t=169或329或163時(shí)，四邊形APQD的面積是長(zhǎng)方形【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，方程思想與分類討論是解題的關(guān)鍵．12．【操作思考】（1）如圖1，已知方格紙每個(gè)小方格都是長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，已知線段AB的端點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，其位置如圖所示．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格紙上畫(huà)出以AB為斜邊的所有互不全等的直角三角形，要求這些三角形的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．【聯(lián)系應(yīng)用】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=13，D，E是BC邊的三等分點(diǎn)，連接【拓展延伸】（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)H是邊AB的三等分點(diǎn)時(shí)，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延長(zhǎng)HG交AD于點(diǎn)M，求MD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）圖形見(jiàn)解答；（2）90°；（3）DM的值為32或3【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格畫(huà)圖即可；（2）結(jié)合（1）中的圖形，利用直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）分兩種情況：①當(dāng)BH＝1時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝1，∠B＝∠HGC＝90°，通過(guò)HL證明Rt△CGM≌Rt△CDM，得到GM＝DM，于是設(shè)GM＝DM＝x，則AM＝3﹣x，HM＝1+x，在Rt△AHM中，根據(jù)勾股定理建立方程，求解即可；②當(dāng)AH＝1時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝2，∠B＝∠HGC＝90°，通過(guò)HL證明Rt△CGM≌Rt△CDM，得到GM＝DM，于是設(shè)GM＝DM＝a，則AM＝3﹣a，HM＝2+x，在Rt△AHM中，根據(jù)勾股定理建立方程，求解即可．【解答】解：（1）如圖1，△ABC，△ABD，△ABE即為所求；（2）如圖2，ACCE=12在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=1∴AC＝CD＝DE＝BE，∴∠1＝45°，∴圖2中的∠3等于圖1中的∠BAE，∵圖1中，ACBC=2∴圖2中的∠2等于圖1中的∠ABC，∵圖1中∠BAE+∠ABC＝∠AFC＝45°，∴圖2中∠3+∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°；（3）∵點(diǎn)H是邊AB的三等分點(diǎn)，∴BH＝1或AH＝1，①當(dāng)BH＝1時(shí)，如圖3，則AH＝2，∵四邊ABCD為邊長(zhǎng)為3的正方形，∴BC＝CD＝3，∠B＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝1，∠B＝∠HGC＝90°，∴CG＝CD＝3，在Rt△CGM和Rt△CDM中，CM=CMCG=CD∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），∴GM＝DM，設(shè)GM＝DM＝x，則AM＝3﹣x，HM＝GH+GM＝1+x，在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2，∴（3﹣x）2+22＝（1+x）2，解得：x=3∴DM=3②當(dāng)AH＝1時(shí)，如圖3.1，則BH＝2，∵四邊ABCD為邊長(zhǎng)為3的正方形，∴BC＝CD＝3，∠B＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BC＝CG＝3，BH＝GH＝2，∠B＝∠HGC＝90°，∴CG＝CD＝3，在Rt△CGM和Rt△CDM中，CM=CMCG=CD∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），∴GM＝DM，設(shè)GM＝DM＝a，則AM＝3﹣a，HM＝GH+GM＝2+a，在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2，∴（3﹣a）2+12＝（2+a）2，解得：a=3∴DM=3綜上，DM的值為32或3【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，本題難度適中，熟練掌握折疊的性質(zhì)，利用折疊前后的兩個(gè)圖形全等，以此得到邊與邊之間的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理建立方程并求解是解題關(guān)鍵．13．綜合與探究問(wèn)題情境：在△ABC中，AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)．將△CDB以點(diǎn)D為中心逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′，C′，B′C′與AC的交點(diǎn)為E．猜想證明：（1）如圖1，當(dāng)B′C′∥AB時(shí)，判斷四邊形ADB′E的形狀，并說(shuō)明理由；深入探究（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在BC邊上時(shí)，①猜想線段AE，B′E的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若AC＝10，AB＝12，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BB′的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）四邊形ADB′E是菱形，理由見(jiàn)解析；（2）①AE＝B′E，理由見(jiàn)解析；②365【分析】（1）根據(jù)B′C′∥AB，得到∠B′＝∠BDB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠B′＝∠B，BD＝B′D，繼而得到∠B＝∠BDB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠A，BD＝AD，AC＝18，BC＝12，得到∠A＝∠BDB′得證B′D∥AE，根據(jù)菱形的判定證明即可；（2）①連接AC′，先證明△CDB′≌△C′DA（SAS），再證明△AEC′≌△B′EC（AAS）即可；②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，利用等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解答即可．【解答】解：（1）四邊形ADB′E是菱形；理由如下：∵B′C′∥AB，∴∠B′＝∠BDB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠B′＝∠B，BD＝B′D，∴∠B＝∠BDB′，∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)．∴∠B＝∠A，BD＝AD，AC＝18，BC＝12，∴∠A＝∠BDB′，B′D＝AD，∴B′D∥AE，∴四邊形ADB′E是平行四邊形．∵B′D＝AD，∴四邊形ADB′E是菱形；（2）①AE＝B′E；理由如下：連接AC′，如圖2，∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，∴∠BCD＝∠ACD，BD＝AD，AC＝18，BC＝12，∠CDB＝∠CDA＝90°，∵△CDB以點(diǎn)D為中心逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，∴∠BCD＝∠B′C′D，DC＝DC′，BD＝B′D，∠CDB＝∠B′DC′＝90°，∴AD＝B′D，∵∠CDB′+∠CDC′＝90°，∠C′DA+∠CDC′＝90°，∴∠C′DA＝∠CDB′，在△CDB′和△C′DA中，B′D=AD∠CDB′=∠C′DA∴△CDB′≌△C′DA（SAS），∴CB′＝C′A，∠AC′D＝∠B′CD，∴∠AC′D＝∠B′CD＝∠BCD＝∠ACD，∴∠AC′E＝∠B′CE，在△AEC′和△B′EC中，∠AC′E=∠B′CE∠AEC′=∠B′EC∴△AEC′≌△B′EC（AAS），∴AE＝B′E；②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，∵DB＝DB′，∴MB＝MB′，設(shè)MB＝MB′＝x，∴BB′＝2x，∵AC＝10，AB＝12，∴BD=12AB=6∴CD=B∴CM＝CB﹣MB＝10﹣x，∵DM⊥BC，∴CD2﹣CM2＝BD2﹣BM2＝DM2，∴82﹣（10﹣x）2＝62﹣x2，解得x=18∴BB′=2x=36【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．14．在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．在長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部（包含邊界），以EF為直角邊作等腰直角三角形EFP，且∠EFP＝90°．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q．（1）如圖①，當(dāng)AE＝1時(shí)，設(shè)AQ＝x，PQ＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)E的位置如圖②所示時(shí)，點(diǎn)F在AB邊上運(yùn)動(dòng)，用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）（3）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P所形成的區(qū)域的面積隨著AB的長(zhǎng)度變化而變化，設(shè)點(diǎn)P所形成的區(qū)域的面積為s，AB的長(zhǎng)度為n．請(qǐng)直接寫(xiě)出s與n的函數(shù)表達(dá)式及對(duì)應(yīng)n的取值范圍．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）y＝x﹣1；（2）詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)0＜n≤6時(shí)，s=12n當(dāng)6＜n≤12時(shí)，s=?12n2+12當(dāng)n＞12時(shí)，s＝36．【分析】（1）一線三垂直證△AEF≌△QFP即可得解；（2）由y＝x﹣1可知點(diǎn)P所在線段與AB夾角為45°，據(jù)此作圖即可；（3）根據(jù)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡，先找臨界值，當(dāng)E與A重合時(shí)，當(dāng)E與D重合時(shí)，從而確定點(diǎn)P完整的區(qū)域，進(jìn)而再分類討論求解即可．【解答】解：（1）∵△EFP是等腰直角三角形，且∠EFP＝90°，∴EF＝PF，∵長(zhǎng)方形ABCD，PQ⊥AB，∴∠A＝∠PQF＝90°，∴∠AFE＝∠FPQ＝90°﹣∠PFQ，在△AEF和△QFP中，∠A=∠FQP∠AFE=∠QPF∴△AEF≌△QFP（AAS），∴AF＝PQ＝y(tǒng)，AE＝FQ＝1，∵AQ＝AF+FQ＝y(tǒng)+1＝x，∴y＝x﹣1，即y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1；（2）作法一：如圖，線段MN即為所求；作法提示：①以點(diǎn)A為圓心，EA為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)M，交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E'；②連接E'M并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)N；則線段MN即為所求．作法二：如圖，線段MN即為所求；作法提示：①以點(diǎn)A為圓心，EA為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)M；②在邊AB上截取MF＝DA；③過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線，交CD于點(diǎn)N，連接MN，線段MN即為所求．作法三：作法提示：①以點(diǎn)A為圓心，EA為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)M；②在邊AB上取點(diǎn)F，截取FG＝EA；③作點(diǎn)H，使得HF＝EF，HG＝AF；④連接MH并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)N．線段MN即為所求．作法四：如圖，線段MN即為所求；作法提示：①以點(diǎn)A為圓心，EA為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)M；②過(guò)點(diǎn)M作HM⊥AB；③作射線MG平分∠BMH；④射線MG與CD交于點(diǎn)N，則線段MN即為所求；（3）根據(jù)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡，先找臨界值，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)四邊形AMHD是正方形，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為MN，∴AM＝AD＝MH＝6，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M也與點(diǎn)A重合，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段AH，∴我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，且AB足夠長(zhǎng)的情況下，則點(diǎn)P軌跡所形成的區(qū)域?yàn)樗倪呅蜛MNH，即下圖中陰影部分，①當(dāng)0＜n≤6時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P所形成的區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切蜛BR，∴s=12n②當(dāng)6＜n≤12時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P所形成的區(qū)域?yàn)槲暹呅蜛MRCH，∴CN＝CR＝DN﹣CD＝12﹣n，∴s＝S四邊形AMNH﹣S△CNR＝62?12（12﹣n=?12n2+12③當(dāng)n＞12時(shí)，點(diǎn)P所形成的區(qū)域?yàn)樗倪呅蜛MNH，∴s＝36；綜上，當(dāng)0＜n≤6時(shí)，s=12n當(dāng)6＜n≤12時(shí)，s=?12n2+12當(dāng)n＞12時(shí)，s＝36．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖、軌跡、矩形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和畫(huà)圖能力是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著射線BC以3cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)端點(diǎn)A時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AP＝（12﹣t）cm，BQ＝3tcm；（用含t的代數(shù)式表示）（2）連接BP，AQ，若BP與AQ互相平分，求此時(shí)t的值；（3）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）（12﹣t），3t；（2）t的值為3；（3）存在以點(diǎn)P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為4s或8s．【分析】（1）根據(jù)AD＝12cm，BC＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著射線BC以3cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)BP與AQ互相平分，得四邊形ABQP是平行四邊形，所以AP＝BQ，得12﹣t＝3t，解方程即可解決問(wèn)題；（3）有兩種情況：①點(diǎn)Q在線段BC上，②點(diǎn)Q在線段BC的延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等列出方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵AD＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，∴DP＝tcm，∴AP＝（12﹣t）cm，∵BC＝16cm．點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著射線BC以3cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴BQ＝3tcm，故答案為：（12﹣t），3t；（2）若BP與AQ互相平分，則ABQP是平行四邊形，∴AP＝BQ，∴12﹣t＝3t，解得t＝3，故此時(shí)t的值為3；（3）存在，理由如下：有兩種情況：①點(diǎn)Q在線段BC上，當(dāng)PD＝CQ時(shí)，以點(diǎn)P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)PD＝tcm，QC＝（16﹣3t）cm，∴t＝16﹣3t，解得t＝4；②點(diǎn)Q在線段BC的延長(zhǎng)線上，當(dāng)PD＝CQ時(shí)，以點(diǎn)P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)PD＝tcm，CQ＝（3t﹣16）cm，∴t＝3t﹣16，解得t＝8；綜上