2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題一（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)真題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合時(shí)=卜,一2x<o},TV={-2,-1,0,1,2},則已N=().

A.0B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出集合M，然后再利用集合的交運(yùn)算即可求解.

【詳解】由集合“=卜,2-2%<0}={司0<%<2},N={-2,-1,0,1,2},

所以MN={1}.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交運(yùn)算、一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知復(fù)數(shù)z=*竺為純虛數(shù)(其中，為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)()

3+z

A.-3B.3

C-11

3D3

【答案】A

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，依據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，列出方程組，即可求解.

1+ai_（l+m）（3-z）_3+a3a~l.

【詳解】由題意,復(fù)數(shù)z=3+z-（3+z）（3-z）-IK-101

因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)’可得93+小a=0。’解得a：?

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的分類及其應(yīng)用，著重考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

3.己知。>匕>0,ol,則下列各式成立的是()

ccab

A.]na<lnbB.a<bC.c>cD.<-^—

ba

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特別值法，逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx在(0,+?)上單調(diào)遞增，所以。〉/7〉0時(shí)，]na>lnb,故A

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)閥=c*(c>l)在R單調(diào)遞增函數(shù)，所以?！?>0,ca>cb，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于3選項(xiàng)：因?yàn)椤?gt;>>0，。>1，可取。=2,匕=1，c=2,此時(shí)，優(yōu)=22=41'=12=1,所以精>^,

故3選項(xiàng)錯(cuò)誤；

c-12-1c-12-11

對(duì)于。選項(xiàng)：因?yàn)椤?gt;Z?>0,ol,可取〃=2,b=l,c=2,止匕時(shí)，----=-----=1,----=----=—,

b1a22

c-1c-1

所以——>——，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

ba

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

4.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神奇圖案，蘊(yùn)含了

深邃的宇宙星象之理，被譽(yù)為“宇宙魔方”，是中華文化陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源.河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六

共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑

點(diǎn)為陰數(shù)，若從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的肯定值為5的概率為()

0-00-0-0-0-0

0

??0

:\4???<>0

0

0

0

\\1屎I0

0

:;??，?J6

?O

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9；陰數(shù)為2,4,6,8,10,利用古典概型概率求法求解.

【詳解】：陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9；陰數(shù)為2,4,6,8,10,

???從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)的全部組合共有5x5=25個(gè)，

滿意差的肯定值為5的有(1,6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4)共5個(gè)，

則其差的肯定值為5的概率為p=^=|.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了分析求解問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

5.函數(shù)/(x)=LeRsin2x的部分圖象大致是()

8

【答案】C

【解析】

【分析】

推斷函數(shù)的性質(zhì)，和特別值的正負(fù)，以及值域，逐一解除選項(xiàng).

【詳解】/(—x)=—"X),?,?函數(shù)是奇函數(shù)，解除D,

(卜寸，/(x)>0,時(shí)，/(%)<0,解除3,

當(dāng)時(shí),sin2x￡（0,1），-e?w一，一e"

8(88Ju(?！?

xe[o，Tj時(shí)，/(x)e(O,l),解除A，

C符合條件，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式推斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般依據(jù)選項(xiàng)推斷函數(shù)的奇偶性，零

點(diǎn)，特別值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等解除選項(xiàng).

6.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=2r+2x-a,則/(—1)=()

A.3B.-3C.-2D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】

由/(0)=1-。=0,可求。，代入可求/(I),然后結(jié)合奇函數(shù)的定義得/(-1)=—/(I),進(jìn)而求得了(—1)

的值.

【詳解】/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且X..0時(shí)，f(x)^2x+2x-a,

f(0)=1—a=0,

\a=1,/(l)=4-a=3,

則⑴=-3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)，即若函數(shù)/(尤)為奇函數(shù)且在％=0有定義，則/(0)=。，理解這一學(xué)問(wèn)點(diǎn)

是求解本題的關(guān)鍵.

22

7.如圖，已知雙曲線餐-9=1(6〉。〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡、工，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線的

b

直線交雙曲線于點(diǎn)4,若片鳥(niǎo)的內(nèi)切圓半徑為：，則雙曲線的離心率為(

A.氈B.』C.9D.逑

3432

【答案】C

【解析】

【分析】

b

設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為片(-c,0),8(G0),設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為丁=一九,可得直線AK

a

b

的方程為y=2(x-c),聯(lián)立雙曲線的方程可得A的坐標(biāo)，設(shè)|A￡|=〃z,|AE|=〃，運(yùn)用三角形的等積

a

法，以及雙曲線的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)變形可得。，c的方程，結(jié)合離心率公式可得所求

值.

【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為耳(-。,0),馬(c,0),

b

設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=—%,

a

L22

可得直線AF2的方程為y=-(x-c),與雙曲線二—與=1S＞。＞0)聯(lián)立，

aab

可得4------,--------),

2clac

設(shè)|AFX\=m,|AF2\=n,

由三角形面積的等積法可得L2(加+〃+2c)=L2c?"廠一礦),

2422ac

4c2

化簡(jiǎn)可得加+〃=-----4a-2c?

a

由雙曲線的定義可得加—〃=2〃②

在三角形AKK中“sin0=b(c—,(6為直線AF2的傾斜角)，

2ac

b.nbb

由tan9=—,sin2^+cos20=1^sin~/r=-

ac77

2_2

可得〃=二工，③

2a

由①②③化簡(jiǎn)可得3。2—2〃?！?4=0，

即為(3C-5Q)(C+Q)=0,

c5

可得3c=5a,則e=￡==.

a3

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、雙曲線的定義、坐標(biāo)求解、離心率求解，考查方程思想的運(yùn)

用及三角形等積法，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于難題.

8.如圖，體積為￡的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，4

個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，%為小球相交部分(圖中陰影部分)的體積，匕為

大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是

c.K〉KD.K〈匕

【答案】D

【解析】

【分析】

先設(shè)大球半徑為R,小球半徑為.，依據(jù)題中條件，分別表示出匕匕,匕,進(jìn)而可作差比較大小.

2一

【詳解】設(shè)大球半徑為H，小球半徑為依據(jù)題意丫=?&=4.子(1)3一乂+匕,

所以匕一匕=。爐—4-?！?3=與爐=：＞0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查球的體積的相關(guān)計(jì)算，熟記公式即可，屬于?？碱}型.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題

目要求的，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.2024年10月31日，工信部宣布全國(guó)5G商用正式啟動(dòng)，三大運(yùn)營(yíng)商公布5G套餐方案，中國(guó)正式跨入5G

時(shí)代.某通信行業(yè)詢問(wèn)機(jī)構(gòu)對(duì)我國(guó)三大5G設(shè)備商進(jìn)行了全面評(píng)估和比較，其結(jié)果如雷達(dá)圖所示（每項(xiàng)指標(biāo)值

滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則（）

A.尸設(shè)備商的研發(fā)投入超過(guò)。設(shè)備商與"設(shè)備商

B.三家設(shè)備商的產(chǎn)品組合指標(biāo)得分相同

C.在參加評(píng)估的各項(xiàng)指標(biāo)中，0設(shè)備商均優(yōu)于斤設(shè)備商

D.除產(chǎn)品組合外，產(chǎn)設(shè)備商其他4項(xiàng)指標(biāo)均超過(guò)0設(shè)備商與#設(shè)備商

【答案】ABD

【解析】

【分析】

依據(jù)雷達(dá)圖中是越外面其指標(biāo)值越優(yōu)，由圖可知/物均正確.

【詳解】雷達(dá)圖中是越外面其指標(biāo)值越優(yōu)，

戶設(shè)備商的研發(fā)投入在最外邊，即戶設(shè)備商的研發(fā)投入超過(guò)0設(shè)備商與年設(shè)備商，故A正確；

三家設(shè)備商的產(chǎn)品組合指標(biāo)在同一個(gè)位置，即三家設(shè)備商的產(chǎn)品組合指標(biāo)得分相同，故B正確；

A設(shè)備商的研發(fā)投入優(yōu)于。設(shè)備商，故C錯(cuò)誤；

除產(chǎn)品組合外，戶設(shè)備商其他4項(xiàng)指標(biāo)均在最外邊，故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)表的綜合視察實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

22

10.已知產(chǎn)是橢圓*+2=1的右焦點(diǎn),橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)玖z.=l,2,3,…），歸制,歸月忻間,…

組成公差為d（d>0）的等差數(shù)列，則（）

A.該橢圓的焦距為6B.|F引的最小值為2

3?

C.d的值可以為一D.d的值可以為一

105

【答案】ABC

【解析】

【分析】

22

先由橢圓二+二=1,得到焦距，推斷A是否正確，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P,分析1尸￡1的取值范圍，推斷BCD是

2516

否正確，得到答案.

22

【詳解】由橢圓土+匕=1,得a=5,b=4,c=3,故/正確；

2516

橢圓上的動(dòng)點(diǎn)尸，a-c<\PF\<a+c,即有2W|P4區(qū)8,

故|明|的最小值為2,B正確;

設(shè)|F州，歸國(guó)，…組成的等差數(shù)列為{q},公差d>0,則q22“<8,

6333

又F,所以—,所以0<d42,所以d的最大值是3,

n-121-1101010

故C正確，〃錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】本題以橢圓學(xué)問(wèn)為載體，考查了橢圓的幾何性質(zhì)，等差數(shù)列的相關(guān)學(xué)問(wèn)，屬于中檔題.

11.對(duì)于四面體A3CD,下列命題正確的是（）

A.由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是_8。0的垂心

B.分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)

C.若分別作ABC和八鉆。的邊A5上的高，則這兩條高所在直線異面

D.最長(zhǎng)棱必有某個(gè)端點(diǎn)，由它引出另兩條棱的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)棱

【答案】BD

【解析】

【分析】

依題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合一一分析可得；

【詳解】解：如圖取AB、AC,AD，BC、BD、DC的中點(diǎn)J,H,G

對(duì)于A.三角形的垂心是三條高線的交點(diǎn)，而A點(diǎn)的位置可以隨意改變，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B.E7〃CD〃JH,JEUAB/UH,JEZH為平行四邊形，同理EEGH也是平行四邊形，

FG,EH的交點(diǎn)為平行四邊形EEGH對(duì)角線的中點(diǎn)，EH，〃的交點(diǎn)為平行四邊形JEZH對(duì)角線

的中點(diǎn)，

故三條線段交于一點(diǎn)，故B正確；

若四面體為正四面體，則兩條高線剛好相交于A5的中點(diǎn)，故C為錯(cuò)誤；

對(duì)于D.假設(shè)D錯(cuò)誤，設(shè)A6最長(zhǎng)，則AC+ADWA5,BC+BD<AB,相加得

AC+AD+BC+BD<2AB,

在，ABC,AABD中，AC+BC>AB,AD+BD>AB,所以4。+4￡>+3。+5￡>>245沖突，

故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象實(shí)力邏輯思維實(shí)力，屬于中檔題.

12.高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列

為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用[可表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=[x]

rrri4,%

稱為高斯函數(shù)，例如：[―3.5]=-4,[2』=2.己知函數(shù)〃x)=之；—2,則()

A.VXGT?,[X]<X<[X]+1

B.g(x)=[〃x)]是偶函數(shù)

C.\/x,y&R,[x]+[y]<[x+y]

D.若/(%)的值域?yàn)榧?，3/GM,使得[F]=1,[曰=2,[3]=3,…，=〃—2同時(shí)成立,

則正整數(shù)"的最大值是5

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由取整函數(shù)的定義推斷.

【詳解】由定義得國(guó)w尤<國(guó)+1,故A正確;

因?yàn)椤ā?三4,、4

—2=2—^^.易知/（X）=2—在R上是增函數(shù);

l+ex

?：工>0，，l+e">l，；?—2</(X)<2,.?*(％)="(司]的值域?yàn)閧—2,—1,0,1},故B錯(cuò)誤.

Vx,y&R,x=[x]+a,y=[y]+Z>,a,/?e[O,l),

/.x+y=[x]+a+[y]+b,[x+y]=[x]+[y]+[a+b\,

[x]+[y]-[x+y])故c正確；

若小eM,"=(—2,2),使得[戶]=1,[d]=2,[/]=3,…，[/]="-2同時(shí)成立，貝(次，

因?yàn)槎?次，若”26,則不存在/同時(shí)滿意"r(次，血wr〈君".只有“<5時(shí)，存在fe[正，迎)

故D正確；

故答案為：ACD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的新定義，還考查了分析求解問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

r,2cosa+sina

13.已知tana=1,則---------------

cosa+3sina

3

【答案丁

【解析】

【分析】

2cow。+wincy

利用商數(shù)關(guān)系，由tana=1得至！Jsin。=cosa代入---------------求解.

cosa+3sina

.、、上sina1w2cosa+sin。2cosa+cosa3

【詳解】方法一：tana=------=1sinor=cosa,貝U------------------=------------------=—

coscifcos6Z+3sinorcosor+3cosor4

、、上八：八Li人/口2cosa+sin。2+tanor2+13

萬(wàn)法二：分子分母同除cosa,得---------------=-----------=——=-

cos6/+3sinar1+3tana1+34

3

故答案為y

【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知單位向量人滿意卜—4=如，則向量。與人的夾角為.

【答案】y

【解析】

【分析】

首先依據(jù)平面對(duì)量的運(yùn)算律求出a,再依據(jù)夾角公式計(jì)算可得；

【詳解】解：由單位向量a，b滿意—q=得卜—d=3,所以J—2a電+片=3，a-b=~^

所以cos心力卜備7=4，

m2

又(a,。)e[0,兀]，所以,.

2%

故答案為：q-

【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的數(shù)量積的運(yùn)算律以及夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

AX_>+1_L3

15.設(shè)函數(shù)〃力=^—1r40)的最小值為加，且

21011

(x+l『+(x+l[=a()+a1(x+2)+tz2(x+2)H---1-^(x+Z)+^n(x+2)，則用二,

%=.

【答案】(1).2(2).9

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)/(九)，換元后利用y=/+：—2的單調(diào)性求出最小值即可得出加=2,將(％+1『+(%+1)”轉(zhuǎn)化

為(x+2—Ip+(x+2—1廣，再利用綻開(kāi)式的通項(xiàng)即可得到答案.

AX_^X+1QQ

【詳解】由~^-^=2x+—-2,

」\)2X2X

令f=2Z(O,l],

3

因?yàn)楹瘮?shù)y=t+?-2,為減函數(shù)，

所以當(dāng)f=l時(shí)，Vmin=2,

即加=2,

所以(x+l)'"+(x+l)"=(x+2—l『+(x+2—1『，

，1r

因?yàn)?尤+2—1『的綻開(kāi)式通項(xiàng)為：C；1(x+2)"x(-l),

所以當(dāng)11—r=l，即廠=10時(shí)，綻開(kāi)式的項(xiàng)為11(x+2),

又(x+2—l『=(x+2)2—2(%+2)+1,所以％=11—2=9.

故答案為：2；9

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，二項(xiàng)綻開(kāi)式，項(xiàng)的系數(shù)，換元法，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.己知函數(shù)/(x)=cos2x,將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移;個(gè)單位，所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)

不變，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作y=g(x),己知常數(shù);leH,“cN*，

且函數(shù)尸(x)=/(x)+2g(x)在(0,而)內(nèi)恰有2024個(gè)零點(diǎn)，則“=.

【答案】1347

【解析】

【分析】

先求出g(x)=sinx,F(x)=-2sin2x+Asinx+l,令/=sinxw[—l,l],得2r_4一1=0，則關(guān)于/

的二次方程2/—"—1=0必有兩不等實(shí)根％,芍，乂/也=一3，則%、4異號(hào)，再對(duì)「、4分四種狀況

探討得解.

【詳解】將函數(shù)y=/(x)=cos2x的圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)

J=cos2=cos|^2x-=sin2x,再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)

的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)