2024年高考數(shù)學一輪復習練習題：空間直線、平面的平行

第3節(jié)空間直線、平面的平行

考試要求從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直

線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明.

知識診斷?基礎夯實

知識梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果平面外一條直線

a____

與此平面內(nèi)的一條直a,bua,a//b0a

判定定理

線平行，那么該直線與//a

此平面平行

一條直線和一個平面

平行，如果過該直線的a//a,au8,。Cl￡

性質(zhì)定理

平面與此平面相交，那=b=>a//b

么該直線與交線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面內(nèi)的

au￡,buB,aCib

兩條相交直線與另

判定定理=P,a//a,b//an

一個平面平行，那

Z__/a〃￡

么這兩個平面平行

兩個平面平行，則

其中一個平面內(nèi)的a//B，aua=>a//

性質(zhì)

直線平行于另一個￡

平面

兩個平面平行，如

果另一個平面與這

性質(zhì)定理

兩個平面相交,那BCy=b=a//b

么兩條交線平行

I常用結(jié)論

1.平行關系中的三個重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a邛,則a〃及

(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若a〃人p//y,則a〃/

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若b±a,則

2.三種平行關系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

心,/-判定定理二工七判定定理hhJf/-

線線平行二比：、線面平行..玄、面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.()

⑵若直線a〃平面a,P《a,則過點P且平行于直線。的直線有無數(shù)條.()

(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.()

(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行

或在平面內(nèi)，故(1)錯誤.

(2)若?！╝,Pe?,則過點尸且平行于。的直線只有一條，故(2)錯誤.

(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交,

故(3)錯誤.

2.下列說法中，與“直線。〃平面a”等價的是()

A.直線a上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)

B.直線a與平面a內(nèi)的所有直線平行

C.直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線不相交

D.直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都不相交

答案D

解析因為a〃平面a,所以直線a與平面a無交點，因此a和平面a內(nèi)的任意

一條直線都不相交，故選D.

3.（2021?湖州期末）設a,/是兩個不同的平面,根是直線且mua,則“加〃夕’是

“a〃尸”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析根據(jù)mua,m//「得不到p,因為a,4可能相交，只要m和a,§

的交線平行即可得到加〃用；

反之，a〃夕，機ua,所以加和用沒有公共點，所以｝即由a〃P能得到機〃及

所以“m〃曠是"a〃夕’的必要不充分條件.

4.（多選）（2021.濟寧期末）已知加、〃為兩條不重合的直線，a、夕為兩個不重合的

平面，則下列說法正確的是（）

A.若機〃a,〃〃用且a〃夕，則加〃〃

B.若機〃〃，m_Lot>n.\-P，則a〃P

C.若m//n,nua,a〃￡,ma￡,則加〃用

D.若加〃〃，n-La,a_L￡,則加〃夕

答案BC

解析A.若機〃a,n///3Ka//p,則可能加〃“，m、〃異面，或加，〃相交，A

錯誤;

B.若m//n,m^a,則n,La,又n_Ly5,故a〃夕，B正確；

C.若m//n,nua,則m//a或mua,又a〃用，機。￡,故m〃/3,C正確;

D.若m//n,則"z_La,又a_Lp,則m//B或mu8,D錯誤.

5.（多選）（2022.青島質(zhì)檢）在正方體ABC。一ALBICLDI中，E,F,%-------C.

G分別是A15,BiG,3囪的中點，下列四個推斷中正確的是A|K\

（）

A.RG〃平面AALDLD-------峪

B.ER〃平面BCiDi

C.RG〃平面3GD1

D.平面ERG〃平面BCD

答案AC

解析?在正方體ABC。一A山C1D中，E,F,G分別是在Bi,BiCi,碗的中

點，

：.FG//BCi,'：BCi//ADi,：.FG//ADx,

,.?RGi平面AAbDbD,AD1U平面AAbDbD,

.MG〃平面AALDLD,故A正確；

-：EF//AxCx,ACi與平面BCLDI相交，

...ER與平面BCLDI相交，故B錯誤；

?：E,F,G分別是ALBI,BICI,BBi的中點,：.FG//BCx,

\'FGd^BC\Dx,BCiu平面BCiDi,

...RG〃平面BCLDI,故C正確；

?「ER與平面BCLDI相交，平面ERG與平面BCLDI相交，故D錯誤.

6.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截/r-y?

面，則四邊形EFGH的形狀為.￡/JF/

答案平行四邊形匚引一―

7c

解析平面ABFE〃平面DCGH,

又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面EFGHC平面DCGH=HG,

：.EF//HG.同理EH//FG,

四邊形ERGH是平行四邊形.

I考點突破?題型剖析

|考點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

角度1直線與平面平行的判定

例1如圖所示，正方形A3CD與正方形A3ER所在的平面相

交于A3,在AE、3。上各有一點尸、Q,且AP=DQ.求證：

PQ〃平面BCE.

證明法一如圖所示，作PM〃A3交3E于作QN〃A3

交BC于N,連接MN.

?.?正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AA

又AP=DQ,：.PE=QB,

KPM//AB//QN,

.PMPEQBQN.PMQN

''~AB=AETBD=DC,',~AB=DC

又ABg秀DC,??.PMg秀QN,??.四邊形PMNQ為平行四邊形,

，PQ〃又N.又MNu平面BCE,尸?！镀矫鍮CE,

...PQ〃平面BCE.

法二如圖，在平面ABEF內(nèi)，過點尸作PM//BE交A3于

點連接QM.

則〃平面BCE,

".'PM//BE,

APAM

=

:?PE=MB，又AE=BD,APDQ9

?cl八八.APDO.AMDO

..PE^BQ,??麗=BQ，??麗二Q夕

：.MQ//AD,又AD〃BC,：.MQ//BC,

...MQ〃平面BCE,又PMn〃Q=M,

I.平面PMQ〃平面BCE,又PQu平面PMQ,...PQ〃平面BCE.

角度2直線與平面平行的性質(zhì)

例2如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平

行四邊形，〃是PC的中點，在DM上取一點G,過G和以

作平面交3。于點”,求證：PA//GH.

證明如圖所示，連接AC交3。于點。，連接0M,

p

M

?四邊形A3CD是平行四邊形，

???。是AC的中點，

又般是PC的中點，：.PA//OM,

又QWu平面BMD,RW平面BMD,

...玄〃平面BMD,

又平面B4HGA平面BMD=GH,

：.PA//GH.

感悟提升(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點).

②利用線面平行的判定定理(a。a,bua,a//b^a//a).

③利用面面平行的性質(zhì)(a〃A，aua=a〃￡).

④利用面面平行的性質(zhì)(a〃A，￡,a//a=a〃￡).

(2)應用線面平行的性質(zhì)定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線

作輔助平面確定交線.

訓練1如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACER

是矩形，M是線段ER的中點.

(1)求證：AM〃平面BDE；

(2)若平面ADMH平面BDE=l,平面ABMA平面BDE=m,

試分析/與機的位置關系，并證明你的結(jié)論.

⑴證明如圖，記AC與3。的交點為。，連接0E

因為。，M分別為AC,ER的中點，

四邊形ACER是矩形，

所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM〃OE.

又因為OEu平面BDE,平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

⑵解/〃加，證明如下：

由(1)知AM〃平面BDE,

又AMu平面ADM,平面ADMH平面BDE=l,

所以1//AM,

同理，AM〃平面3DE,

又AMu平面ABM,平面ABMn平面BDE=m,

所以m//AM,所以l//m.

考點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例3如圖，四棱柱ABCD-AiBxCxDi的底面ABCD是正方

形.

(1)證明：平面ALBD〃平面CDS；

(2)若平面ABCDn平面8必。=/,證明：B1D1//L

證明(1)由題設知BBi幺秀DDi,所以四邊形BBiDiD是平行四邊形，所以

BD//B1D1.

又BDC平面CDiBi,瓦De平面CDLBI,

所以平面CDiBi.

因為4。品秀BiCi修秀BC,

所以四邊形ALBCDI是平行四邊形，所以AbB〃DC.

又4冽平面CDLBI,DCu平面CDiBi,

所以A山〃平面CDIBL.

又因為3DnAbB=3,BD,AiBu平面AiBD,

所以平面AbBD〃平面CDiBi.

(2)由(1)知平面ALBD〃平面CDiBi,

又平面ABCOn平面BiDiC=l,

平面ABCDn平面A1BD=BD,

所以直線/〃直線BD,

在四棱柱ABCD—ALBCLDI中，四邊形BDDLBI為平行四邊形,

所澳BiDi〃BD,所以

感悟提升1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).

2.面面平行條件的應用

(1)兩平面平行，分別構造與之相交的第三個平面，交線平行.

(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.

提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩

條直線是相交直線.

訓練2如圖，在三棱柱ABC—A13C1中，E,F,G分別為

BiCi,AiBi,AB的中點.

⑴求證：平面AiCiG〃平面3ER

(2)若平面AiCiGn3C=H,求證：H為3C的中點.

證明(1)VE,尸分別為BiCi,AiBi的中點，尸〃4G,

,.,AiCiu平面4GG,ERI平面4C1G,

...EE〃平面AiCiG,

又F,G分別為ALBI,A3的中點，

：.AiF=BG,又AiF〃BG,

：.四邊形AiGBF為平行四邊形，

則BF//AiG,

；AiGu平面AiGG,平面AiCiG,

??.3R〃平面AiCiG,

又EFCBF=F,EF,BEF,

平面AiGG〃平面3EF.

(2),.?平面ABC〃平面AiBiCi,平面AiCiGH平面AiBiCi=

AiCi,平面4CG與平面ABC有公共點G,則有經(jīng)過G的

直線，設交3C于點H,

則ACi〃GH,得GH〃AC,

?.?G為A3的中點，??.//為的中點.

|考點三平行關系的綜合應用

例4如圖，在四棱錐P-ABCD中,AD〃BC,AB=BC=^AD,

E,F,8分別為線段AD,PC,CD的中點，AC與BE交于。點，G是線段OR

上一點.

⑴求證：AP〃平面3EB

(2)求證：GH〃平面以D

證明(1)如圖，連接EC,因為AD〃3C,BC=^AD,

所以3C〃AE,BC=AE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以。為AC的中點.

又因為R是尸C的中點，所以R9〃AP,

因為ROu平面BEF,AP。平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

(2)連接。H,因為FH分別是PC,CD的中點，

所以FH〃PD,

因為PDu平面PAD,FHQ平面PAD,

所以切〃平面PAD.

又因為。是AC的中點，H是CD的中點，

所以OH〃AD,

因為ADu平面PAD,0H(I平面PAD,

所以0H〃平面PAD.

又FHCOH=H,FH,OHu平面OHF,

所以平面OHF〃平面PAD.

又因為GHu平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

感悟提升三種平行關系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

,,▼判定定理,I判定定理I

線線平行一.一線面平行=3京=面面平行

性F質(zhì)定理性質(zhì)

訓練3如圖，四邊形A5CD與四邊形ADER均為平行四邊形，M,N,G分別是

AB,AD,ER的中點.求證：

(1)3E〃平面DMF；

(2)平面BDE〃平面MNG.

證明(1)如圖，連接AE,則AE必過DR與GN的交點。，因為四邊形ADER

為平行四邊形，所以。為AE的中點.

連接M0,則為AABE的中位線，所以3E〃M0,

又3EC平面DMF,MOu平面DMF,

所以3E〃平面DMF.

(2)因為N,G分別為平行四邊形ADER的邊AD,ER的中點，所以DE〃NG,

又。放平面MNG,NGu平面MNG,

所以DE〃平面MNG.

因為“為A3的中點，N為AD的中點，

所以MN為△A3。的中位線，

所以BD//MN,

又3ZK平面MNG,MNu平面MNG,

所以平面MNG,

又DE與BD為平面內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面3DE〃平面MNG.

I分層訓練?鞏固提升

|A級基礎鞏固

1.(多選)已知?,B，y是三個不重合的平面，I是直線.給出下列命題，其中正確

的命題是（）

A.若I上兩點到a的距離相等，則l//a

B.若以a,1//J3,則a"

C.若a〃/3,血￡,且/〃a,則/〃夕

D.若mXa,"_1_夕，且a_l_p,則m//n

答案BC

解析對于A,若直線/在平面a內(nèi)，/上有兩點到a的距離為0,相等，此時/

不與a平行，所以A錯誤；

對于B,因為/〃人所以存在直線mu￡使得/〃機，因為所以加，a,又

muB,所以夕，a,所以B正確；

對于C,l//a,故存在mua使得/〃加，因為a〃B，所以機〃人因為/〃機，U

￡,所以l〃0,C正確；

對于D,因為機_La,n.L/3,a_L/^,所以機所以D錯誤.

2.如果AB,BC,CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過它們中點的平面和

直線AC的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.AC在此平面內(nèi)D.平行或相交

答案A

解析把這三條線段放在正方體內(nèi)可得如圖，顯然AC〃EF,AC/----夕|D

。平面ERG,?.?Eft平面ERG,故AC〃平面ERG.|：ZV

3.下列命題中正確的是（）\￡_2_y

A.若a,6是兩條直線，且a〃。，那么。平行于經(jīng)過6的任何平AEB

面

B.若直線a和平面a滿足alla,那么。與a內(nèi)的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行

D.若直線a,6和平面a滿足a〃0,alia,bQa,則6〃a

答案D

解析A中，?？梢栽谶^6的平面內(nèi)；B中，。與a內(nèi)的直線也可能異面；C中，

兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知》〃a,正確.

4.若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面a平行的棱有

A.0條B.1條

C.2條D.1條或2條

答案C

解析如圖所示，平面a即平面ERGH,則四邊形ERGH為平

行四邊形，則EF〃GH.

,.?ERt平面BCD,GHu平面BCD,

...EF〃平面BCD.

又,.?ERu平面ACD,平面BCDn平面ACD=CD,：.EF//CD.

又EFu平面EFGH,CZX平面EFGH.

...CD〃平面ERG”,同理，A3〃平面ERGH,

所以與平面a（平面ERGH）平行的棱有2條.

5.（2021.重慶聯(lián)考）如圖，四棱柱A3CD—ALBCLDI中，四邊形A3CD為平行四邊

DFDF1

形，E,R分別在線段。3,DDi上，且赤=石4=5，G在CG上且平面AEP〃

￡,￡>rL）\Z

則器

平面BDiG,)

11

A，2Bq

答案B

解析如圖所示，延長AE交CD于H,連接FH,則

DHr）p1

△DEHsABEA,所以■■=俞=5.因為平面AER〃平面

An乜bZ

BDiG,平面AERA平面CDDiC=FH,平面BDiGA平

面CDDiCi=DiG,所以FH〃DiG.又四邊形CD》。是

1

為

所

因DHDAHB2-

平行四邊形，所以△。切所以蒜=而5?1D1

以「因為戶所以DF=CG,所以，故選

ClC/r=5Z,rL>\nZ=5'RDi=CiG,CC1J=.B.

6.（多選）如圖，透明塑料制成的長方體容器A3CD—ALBCLDI內(nèi)灌進一些水，固

定容器一邊A3于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結(jié)

論，其中正確的是（）

D,

P.

A,Z\B

AB

(2)

EX/F

A

A.沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面ERGH所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜程度的不同，AiCi始終與水面所在平面平行

D.當容器傾斜如圖⑶所示時，AE/H為定值

答案AD

解析根據(jù)棱柱的特征（有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰

兩個四邊形的公共邊都互相平行），結(jié)合題中圖形易知A正確；

由題圖可知水面的邊ER的長保持不變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，

可知B錯誤；

因為AiCi〃AC,ACu平面ABC。，AiCiC平面A3CD,所以AiCi〃平面A3CD,

當平面EFGH不平行于平面ABCD時，4。不平行于水面所在平面，故C錯誤；

當容器傾斜如題圖（3）所示時，因為水的體積是不變的，所以棱柱AEH—3RG的

體積V為定值，又V=S"EH/3,高A3不變，所以S“EH也不變，即AE/H為

定值，故D正確.

7.設a,B，7是三個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，在命題“aCp=m,

nuy,且________,則冽〃〃”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命

題為真命題.

①a〃y,〃u￡；@m//y,n//J3；?n//P，muy.

可以填入的條件有（填序號）.

答案①或③

解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當機〃外〃〃夕時,〃和機可能平

行或異面，②錯誤；當〃〃人機uy時，〃和機在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，

所以機〃?、壅_.

8.下列四個正方體圖形中，A,3為正方體的兩個頂點，M,N,P分別為其所在

棱的中點，能得出A5〃平面MNP的圖形的序號是

AM

B

④

答案①④

解析①中，易知N尸〃A4，，MN//A'B,

平面MNP//平面AA'B,可得出A3〃平面MNP（如圖）.

④中，NP//AB,能得出A3〃平面MNP.

在②③中不能判定A3〃平面MNP.

9.在正四棱柱ABC。一ALBCLDI中，。為底面A3CD的中心,

P是。。的中點，設Q是CG上的點，則點Q滿足條件時，有平面。13Q〃

平面PAO.

答案。為CG的中點

解析如圖所示，設Q為CG的中點，因為P為。Di的中點,

所以Q3〃%.連接因為P,。分別是。的中點,

所以D1B//P0,又DLBC平面PAO,平面PAO,POu平面

PAO,Rlu平面以0,所以。13〃平面以。，QB〃平面心

又DiBCQB=B,D\B,Q3u平面DiBQ,所以平面DLBQ〃平面以。故Q為CC1

的中點時，有平面DLBQ〃平面心。.

10.(2022?百校大聯(lián)考)已知在四棱錐尸一ABCD中，尸。，平面€

ABCD,AD±DC,AB//DC,DC=2AB,。為PC的中點.\

(1)求證：3Q〃平面以。；J

(2)若PD=3,BC=^2,BCLBD,試在線段PC上確定一點A

S,使得三棱錐S—BCD的體積為京

⑴證明取PD的中點G,連接AG,GQ,P

因為。為尸C的中點，所以GQ〃DC,且GQ=1z)C,R\

又因為A3〃DC,DC=2AB,所以GQ〃AB,GQ=AB,

所以四邊形A3QG是平行四邊形，

所以3Q〃AG,

又平面必D,AGu平面心。，所以3Q〃平面以D

(2)解因為在四邊形A3CD中，AB//CD,ADLDC,DC=2AB,

所以點B在線段CD的垂直平分線上，

又因為3C=霹，BCLBD,

所以BD=BC=p,

所以△BCD的面積S=^Xyf2Xy/2=l.

設點S到平面ABCD的距離為h,

1?

所以W><lX/2=w，所以力=2,

又平面A3CD,PD=3,

所以點S在線段PC上靠近點P的三等分點處.

菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=6Q°,E,M,N分別是3C,：

BBi,4。的中點.N；*/

(1)證明：MN〃平面QDE；/fi,L-.z

(2)求點C到平面CiDE的距離.'B

⑴證明如圖，連接3C,ME.

因為M,E分別為BBi,BC的中點，

所以ME〃自C,且ME=；3iC

又因為N為Ai。的中點，所以ND=3ALD.

由題設知ALB建秀DC,

可得BC留秀ALD,故ME?秀ND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，

所以MN//ED.

又MNQ平面CiDE,DEu平面GDE,

所以MN〃平面C1DE.

（2）解過點C作CiE的垂線，垂足為H.

由已知可得DEL3C,DE±CiC,XBCnCiC=C,BC,GCu平面GCE,所以

DE,平面CiCE,

故DELCH.所以CH1平面CiDE,

故CH的長即為點C到平面CLDE的距離.

由已知可得CE=1,CiC=4,

所以CiE=屈,故CH=邛］

從而點C到平面QDE的距離為筆］

|B級能力提升

12.（多選）《九章算術?商功》記載了一個古代數(shù)學名詞“塹堵”.

即兩底面為直角三角形的直棱柱，亦即長方體的斜截平分體.

如圖所示，塹堵（即直三棱柱）ABC—DER中，AB±AC,AB=

AC=2,AD=4,G是RC的中點，則下列說法正確的是（）

A.BE與AG的夾角為5

B.平面ABC內(nèi)存在直線平行于平面AEG

C.三角形AGE為直角三角形

D.點D到平面AGE的距離為呼

答案BC

解析...NAGC即為BE與AG所成的角（或其補角），?「G為CT的

,71

中點，CR=AD=4,AC=2