2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.1回歸分析學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE第三章統(tǒng)計(jì)案例本章學(xué)問要覽本章共分為兩大節(jié)：第一大節(jié)是回來分析的基本思想及其初步應(yīng)用．本節(jié)在《數(shù)學(xué)3》中統(tǒng)計(jì)學(xué)問的基礎(chǔ)上，通過典型案例“女高校生的身高和體重的關(guān)系”進(jìn)一步探討一元線性回來模型，分析模型中產(chǎn)生隨機(jī)誤差的緣由，從相關(guān)系數(shù)的角度探討了兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，從而讓我們了解在什么狀況下可以考慮運(yùn)用線性回來模型．其次大節(jié)是獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用．本節(jié)通過典型案例“吸煙是否與患肺癌有關(guān)系”的探討，介紹了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法和初步應(yīng)用．本章學(xué)問的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是了解線性回來模型與函數(shù)模型的差異，了解推斷刻畫模型擬合效果的方法——相關(guān)指數(shù)和殘差分析，理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及試驗(yàn)步驟；難點(diǎn)是說明殘差變量的含義，了解總偏差平方和分解的思想，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，了解隨機(jī)變量χ2的含義．由于本章內(nèi)容是在學(xué)習(xí)完必修課程中的“統(tǒng)計(jì)”“概率”的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)的，因此，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)留意復(fù)習(xí)相關(guān)的學(xué)問，要通過對(duì)一些典型統(tǒng)計(jì)案例的探討，進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些常見的統(tǒng)計(jì)方法，增加對(duì)統(tǒng)計(jì)思想、統(tǒng)計(jì)方法的理解，提高運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想、統(tǒng)計(jì)方法視察問題、處理問題的實(shí)力．學(xué)習(xí)時(shí)盡可能運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代化技術(shù)手段來處理數(shù)據(jù)．§1回來分析學(xué)問點(diǎn)一回來分析[填一填](1)函數(shù)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．回來分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的常用方法．[答一答]1．線性回來直線方程y＝a＋bx與一次函數(shù)y＝a＋kx有何區(qū)分？提示：一次函數(shù)y＝a＋kx是y與x的確定關(guān)系，給x一個(gè)值，y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，而線性回來直線方程是y與x的相關(guān)關(guān)系的近似反映，兩個(gè)數(shù)據(jù)x，y組成的點(diǎn)(x，y)可能適合線性回來直線方程，也可能不適合．學(xué)問點(diǎn)二相關(guān)系數(shù)[填一填]變量之間相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1,1]，|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高，|r|值越接近于0，Q越大，變量之間的線性相關(guān)程度越低．當(dāng)r>0時(shí)，b>0，兩個(gè)變量的值總體上呈現(xiàn)出同時(shí)增減的趨勢(shì)，此時(shí)稱兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，b<0，一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量有削減的趨勢(shì)，稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，稱兩個(gè)變量線性不相關(guān)．[答一答]2．如何由樣本的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2·\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))判定兩變量的相關(guān)性？提示：當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r<0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，r的肯定值越接近于1，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的肯定值越接近于0，表明兩變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常當(dāng)|r|>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．學(xué)問點(diǎn)三可線性化的回來分析[填一填]通過變換先將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，利用最小二乘法得到線性回來方程，再通過相應(yīng)變換得到非線性回來方程．[答一答]3．如何將函數(shù)y＝aebx轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)？提示：先對(duì)y＝aebx兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lna＋bx.若記u＝lny，c＝lna.則u＝c＋bx，就把函數(shù)y＝aebx轉(zhuǎn)化成了線性函數(shù)u＝c＋bx.1．對(duì)線性回來方程的理解我們把有相關(guān)關(guān)系(不確定性關(guān)系)的變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系(確定性關(guān)系)，當(dāng)兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量近似地滿意一次函數(shù)關(guān)系時(shí)，我們所求出的函數(shù)關(guān)系y＝a＋bx就是回來直線方程．(1)求b時(shí)利用公式b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，先求出eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(y1＋y2＋…＋yn)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)，再由a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)求a的值，并寫出回來直線方程．(2)線性回來方程中的截距a和斜率b都是通過樣本估計(jì)而來的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差．(3)回來直線方程y＝a＋bx中的b表示x增加1個(gè)單位時(shí)y的改變量為b，而a表示y不隨x的改變而改變的量．(4)可以利用回來直線方程y＝a＋bx預(yù)報(bào)在x取某一個(gè)值時(shí)，y的估計(jì)值．2．對(duì)相關(guān)系數(shù)的理解散點(diǎn)圖能幫助我們尋求線性相關(guān)關(guān)系，但在實(shí)際問題中，有時(shí)很難說這些點(diǎn)是不是分布在某條直線旁邊，為了解決上述問題，我們有必要對(duì)x與y作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱相關(guān)性檢驗(yàn)．對(duì)于變量x與y隨機(jī)抽取到的n對(duì)數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(lxy,\r(lxxlyy))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).相關(guān)系數(shù)公式的作用在于，我們對(duì)一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度可作出定量的分析，而不是僅憑畫出散點(diǎn)圖，直覺地從散點(diǎn)圖的形態(tài)得出數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度，r具有以下性質(zhì)：|r|≤1，并且|r|越接近于1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，|r|越接近于0，線性相關(guān)程度越弱．3．如何依據(jù)原始數(shù)據(jù)求出擬合函數(shù)？(1)可先由原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖；(2)對(duì)于一些函數(shù)模型的圖形要熟識(shí)．如教材第8項(xiàng)的冪函數(shù)曲線y＝axb、指數(shù)曲線y＝aebx、倒指數(shù)曲線y＝aeeq\f(b,x)和對(duì)數(shù)曲線y＝a＋blnx要熟識(shí)；(3)由散點(diǎn)圖找出擬合比較好的函數(shù)類型；(4)將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)；(5)求出回來方程．題型一求線性回來方程[例1]某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果如下表：(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求物理成果y對(duì)數(shù)學(xué)成果x的線性回來方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果是96，試預(yù)料他的物理成果．[思路探究]先利用散點(diǎn)圖分析物理成果與數(shù)學(xué)成果是否線性相關(guān)，若相關(guān)再利用線性回來模型求解．[解](1)散點(diǎn)圖如圖．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(25054－5×73.2×67.8,27174－5×73.22)≈0.625.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝67.8－0.625×73.2≈22.05.所以y對(duì)x的回來直線方程是y＝22.05＋0.625x.(3)x＝96，則y＝0.625×96＋22.05≈82，即可以預(yù)料他的物理成果是82.規(guī)律方法求回來直線方程的基本步驟：假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的運(yùn)用時(shí)間x(單位：年)和所支出的修理費(fèi)用y(單位：萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0由資料可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)試求線性回來方程；(2)估計(jì)該設(shè)備運(yùn)用10年時(shí)，修理費(fèi)用是多少．解：(1)列表如下：于是b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.∴線性回來方程為y＝1.23x＋0.08.(2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬(wàn)元)．估計(jì)該設(shè)備運(yùn)用10年時(shí)，修理費(fèi)用是12.38萬(wàn)元．題型二相關(guān)系數(shù)的問題[例2]關(guān)于兩個(gè)變量x和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235y711212466115325試推斷x與y之間是否有線性相關(guān)關(guān)系．[思路探究]首先求出r的值，再推斷相關(guān)關(guān)系．[解]eq\x\to(x)＝eq\f(1,7)×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(2,i)＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2\i\su(i＝1,7,y)\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))＝eq\f(18542－7×27.4×81.3,\r(5414－7×27.42×124393－7×81.32))≈0.8375.由于r≈0.8375與1比較接近，∴x與y具有線性相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法回來分析是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的基礎(chǔ)上的，對(duì)于相關(guān)關(guān)系不明確的兩個(gè)變量，可先作散點(diǎn)圖，由圖粗略的分析它們是否具有相關(guān)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，求其回來方程，并作回來分析．某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位：百萬(wàn)元)與銷售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070推斷x與y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系．解：畫出(x，y)的散點(diǎn)圖，如圖所示．eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝47.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝120，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝9900，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1080，r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r(120－4×529900－4×47.52))≈0.9827.故x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系．題型三可線性化的回來分析[例3]某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式．[解](1)作散點(diǎn)圖．(2)從散點(diǎn)圖可看出函數(shù)模型為y＝aebx型．設(shè)u＝lny，c＝lna，則u＝c＋bx.eq\i\su(i＝1,12,x)i＝1380，eq\i\su(i＝1,12,u)i≈35.5428，eq\i\su(i＝1,12,x)eq\o\al(2,i)＝173000，eq\i\su(i＝1,12,x)iui≈4369.29，eq\x\to(x)＝115，eq\x\to(u)≈2.9619，b＝eq\f(\i\su(i＝1,12,x)iui－12×\x\to(x)×\x\to(u),\i\su(i＝1,12,x)\o\al(2,i)－12\x\to(x)2)＝eq\f(4369.29－12×115×2.9619,173000－12×1152)≈0.0197，c＝eq\x\to(u)－beq\x\to(x)＝2.9619－0.0197×115＝0.6964，∴u＝0.6964＋0.0197x，y＝e0.6964·e0.0197x.規(guī)律方法函數(shù)模型為指數(shù)型，可兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，再求出回來直線方程．電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后起先放電．由閱歷知道，此后電壓U隨時(shí)間t改變的規(guī)律用公式U＝Aebt(t<0)表示．現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下所示：t012345678910U100755540302015101055試求電壓U對(duì)時(shí)間t的回來方程．(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題化為線性回來分析問題)解：依據(jù)提示公式，兩邊取對(duì)數(shù)得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，則y＝a＋bt.由前兩組數(shù)據(jù)得a＝ln100，b＝lneq\f(3,4).∴y＝ln100＋lneq\f(3,4)·t.依據(jù)上述公式樣本點(diǎn)可轉(zhuǎn)換為t012345678910y4.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.6其散點(diǎn)圖為由散點(diǎn)圖可知y與t線性相關(guān)，可用y＝bt＋a表示，利用科學(xué)計(jì)算器，可得b≈－0.3，a≈4.6，∴y＝－0.3t＋4.6，即lnU＝－0.3t＋4.6.∴U＝100e－0.3t.——誤區(qū)警示系列——未進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)導(dǎo)致錯(cuò)誤[例4]在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521求出y與x之間的回來方程．[錯(cuò)解]由已知條件制成下表：ixiyixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)10.251640.062525620.51260.2514431551254224445414161∑7.75362321.3125430所以eq\x\to(x)＝1.55，eq\x\to(y)＝7.2，所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈－3.53.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈12.67.所求的y與x之間的回來方程是y＝－3.53x＋12.67.[錯(cuò)解分析]本題干脆求回來方程，沒有畫出散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性的檢驗(yàn)，而本題的樣本點(diǎn)恰好不是線性相關(guān)的．依據(jù)散點(diǎn)圖如圖1所示，可以發(fā)覺圖像近似一個(gè)反比例函數(shù)，考慮函數(shù)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt.[正解]依據(jù)散點(diǎn)圖(如圖1)可知y與x呈現(xiàn)出近似的反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簣D1圖2t4210.50.25y1612521由散點(diǎn)圖(如圖2)也可以看出，這些點(diǎn)基本上分布在一條直線旁邊，可以認(rèn)為y與t具有線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.06251∑7.753694.2521.3125430所以eq\x\to(t)＝1.55，eq\x\to(y)＝7.2.所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)≈4.1344.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)≈0.7917，所以y＝4.1344t＋0.7917.所以y與x的回來方程是y＝eq\f(4.1344,x)＋0.7917.在試驗(yàn)中得到變量y與x數(shù)據(jù)如下表：x0.06670.03880.03330.02730.0225y39.442.941.043.149.2由試驗(yàn)知，y與eq\f(1,x)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試求y與x之間的回來曲線方程，并預(yù)料當(dāng)x0＝0.038時(shí)y0的值．解：令u＝eq\f(1,x)，由題目所給數(shù)據(jù)可得下表所示的數(shù)據(jù)：iuiyiueq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)uiyi115.039.42251552.36591225.842.9665.641840.411106.82330.041.090016811230436.643.11339.561857.611577.46544.449.21971.362420.642184.48∑151.8215.65101.569352.026689.76計(jì)算得b≈0.29，a≈34.32，所以y＝34.32＋0.29u.所求曲線方程為y＝34.32＋eq\f(0.29,x).當(dāng)x0＝0.038時(shí)，y0＝34.32＋eq\f(0.29,0.038)≈41.95.1．已知某車間加工零件的個(gè)數(shù)x與所花費(fèi)時(shí)間y(h)之間的線性回來方程為y＝0.01x＋0.5，則加工600個(gè)零件大約須要__________h．(A)A．6.5 B．5.5C．3.5 D．0.5解析：將x＝600代入回來方程即得A.2．設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回來直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有(C)A．a(chǎn)與r符號(hào)相同B．a(chǎn)與r符號(hào)相反C．b與r符號(hào)相同D．b與r符號(hào)相反解析：依據(jù)b與r的計(jì)算公式可知，b與r符號(hào)相同．3．設(shè)某高校的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回來方程為y＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(D)A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回來直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\