用空間向量研究距離、夾角問題（第二課時）高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

第二課時

問題：如何利用空間向量研究角度問題？

直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角直線方向向量的夾角方向向量與法向量的夾角法向量的夾角①線線角

判斷：兩直線所成角就是它們的方向向量所成角。本質(zhì)：兩直線所成角就是它們的方向向量所成角或其補(bǔ)角。例7如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.ACDBMN

追問1：這個問題的已知條件是什么？根據(jù)以往的經(jīng)驗，你打算通過什么途徑將這個立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題？

基底法幾何法坐標(biāo)法

①線線角追問1：這個問題的已知條件是什么？根據(jù)以往的經(jīng)驗，你打算通過什么途徑將這個立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題？

基底法幾何法坐標(biāo)法

請同學(xué)們課后完成！

例7如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.

追問1：這個問題的已知條件是什么？根據(jù)以往的經(jīng)驗，你打算通過什么途徑將這個立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題？

基底法幾何法坐標(biāo)法

例7如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.

將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題的途徑：

途徑1：通過建立一個基底，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題；

途徑2：通過建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示問題中涉及的點、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題.實際上，空間直角坐標(biāo)系也是基底，是“特殊”的基底.

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算

回到圖形問題

②線面角

基底法幾何法坐標(biāo)法

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題

③面面角(1)二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.①記作二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q、C-AB-D②二面角θ的范圍是[0，π](2)平面與平面的夾角的定義：平面α與平面β相交所形成的4個二面角中，把其中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．③面面角例8如圖示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點，點Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.

求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.ACBA1C1B1QPRxyz例8如圖示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點，點Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.

求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題

小結(jié)：空間角的向量求法

求法：先求兩向量夾角余弦值→設(shè)空間角為θ→下結(jié)論(取絕對值or定正負(fù))①線線角

P381.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點，BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是().ACBA1C1B1F1D1xyzA①線線角1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點，BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是().AABCC1A1F1D1H

2.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分別是AD，BC的中點，求異面直線AN,CM所成角的余弦值.ACDBNMEP41①線線角幾何法向量基底法：求基底的夾角余弦值②線面角

P38-2.PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是().

C

2.PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是().解2:如圖示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則PCBAxyzO②線面角5.四棱錐P-ABC中，底面為直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M,N分別為PC,PB的中點。(1)求證：PB⊥DM；

(2)求直線BD和平面ADMN所成角.坐標(biāo)法公式法or幾何法②線面角5.四棱錐P-ABC中，底面為直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M,N分別為PC,PB的中點。(1)求證：PB⊥DM；(2)求直線BD和平面ADMN所成角.②線面角

P38-3.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值.ACBA1C1B1xyzO③面面角

P41-1.如圖,二面角α-l-β的棱上有兩個點A,B,線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi),并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α與平面β的夾角.αlβABCD③面面角

問題１:此題二面角的幾何法求解思路是怎么樣的?

問題２:此題二面角的幾何法求解思路受阻，請問轉(zhuǎn)換空間向量思想如何來求解?

P41-1.如圖,二面角α-l-β的棱上有兩個點A,B,線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi),并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α與平面β的夾角.αlβABCD③面面角

P41-1.如圖,二面角α-l-β的棱上有兩個點A,B,線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi),并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α與平面β的夾角.αlβABCDE③面面角6.在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中點，求平面EAC與平面ABCD的夾角.幾何法公式法③面面角4.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(1)直線AD與直線BC所成角的大小;DBCAxyzO綜合應(yīng)用4.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=