2024年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)一模試卷

2024年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的）

1.（3分）我國(guó)的珠穆朗瑪峰高于海平面8848.86%,可記為+8848.86機(jī)，吐魯番盆地大部分地面低于海平

面500m（）

A.500mB.-500mC.8348.86mD.-8348.86m

2.（3分）小明自己動(dòng)手做了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從正面、左面、上面觀察它，得到的三視圖如圖所示（）

A.圓錐B.圓柱C.三棱柱D.三棱錐

3.（3分）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.x3+x3=x6B.x3*x9=x27C.（x2）3=x5D.（2x）3=8x3

4.（3分）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)〃―序（）

--------------------------------*

b--------0a

A.a-2bB.aC.2b-aD.-a

5.（3分）在單詞冽a比e冽萌cs（數(shù)學(xué)）中任意選擇一個(gè)輔音字母的概率是（）

A.B.&C.J—D.&

11111111

6.（3分）把圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角至少為（），旋轉(zhuǎn)后的五角星能與自

7.（3分）用配方法解一元二次方程-5x-1=0,配方正確的是（）

A（5、233R（5、2__41

416416

第1頁(yè)（共27頁(yè)）

5)2季D—T

C(x2,4

8.（3分）如圖，在矩形/8C。中，AB=2企，BC=2,將△A8E沿折疊，使點(diǎn)3落在矩形內(nèi)點(diǎn)G處,

B.華D.1

"IC3

9.（3分）下列關(guān)于兩個(gè)變量關(guān)系的四種表達(dá)式中，正確的是（

①圓的周長(zhǎng)C是半徑r的函數(shù)；

②表達(dá)式y(tǒng)S中，y是x的函數(shù);

③如表中，〃是加的函數(shù)；

m-3-2-1123

n-2-3-6832

④如圖中，曲線(xiàn)表示夕是x的函數(shù).

C.①②③D.①②③④

10.（3分）如圖,在正方形48c〃中，N3=4,點(diǎn)E是8c延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AF=CE,E尸與對(duì)角線(xiàn)NC相

交于點(diǎn)G,與CD相交于點(diǎn)M,DG,則下列結(jié)論：①FG=EG；②更△；③（）

AF5

第2頁(yè)（共27頁(yè)）

A,D

BCh

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.本題要求把正確結(jié)果填在答題紙規(guī)定

11.（3分）分解因式：x3-9xy2^.

12.（3分）如圖是某超市4,2兩種水果連續(xù)五天的單價(jià)調(diào)研情況，比較這五天中，單價(jià)平均值高的

13.（3分）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形鐵絲框/2CZ）即變形為以點(diǎn)/為圓心，為半徑的扇形（忽略

鐵絲的粗細(xì)）（陰影部分）的面積為,該扇形所對(duì)的圓心角是度.（結(jié)

果用含ir的式子表示）

F

14.（3分）在周長(zhǎng)為261T的。。中,CD是。。的一條弦，48是。。的切線(xiàn)，若和CD之間的距離為

18,則弦CD的長(zhǎng)為

15.（3分）如圖，長(zhǎng)青化工廠(chǎng)與B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠(chǎng)從/地購(gòu)買(mǎi)一批1000元/噸的原

料運(yùn)回工廠(chǎng)"km）,鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（fbn）,且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)16000元.噸,

這批產(chǎn)品的銷(xiāo)售款比原料費(fèi)多?元.

第3頁(yè)（共27頁(yè)）

*A較露120km…路10km

八的鐵路110km,…一"長(zhǎng)青化工廠(chǎng)

公路20km/

16.（3分）已知拋物線(xiàn)C：y=-/+2x,點(diǎn)￡是直線(xiàn)AB：y=x-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)E向左移動(dòng)4個(gè)單

位得到點(diǎn)F,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.

三、解答題（本大題共8小題，滿(mǎn)分72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（10分）⑴計(jì)算：+2-2-2COS45°+|2-V2|;

f2x+3>x+ll

18.（7分）如圖，我國(guó)某海域上有/、3兩個(gè)小島，2在N的正東方向.有一艘漁船在點(diǎn)。處捕魚(yú)，在B

島測(cè)得漁船在北偏西60°的方向上，且測(cè)得3、C兩處的距離為2仍舊

（1）求/、C兩處的距離；

（2）突然，漁船發(fā)生故障，而滯留C處等待救援.此時(shí)，測(cè)得。在小島/的北偏西15°方向上距/

島30海里處.求救援船到達(dá)C處所用的時(shí)間.（結(jié)果保留根號(hào)）

19.（10分）“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”是中國(guó)三大頂尖數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)之一，為激勵(lì)中國(guó)數(shù)學(xué)家在發(fā)展中國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)中做

出突出貢獻(xiàn)而設(shè)立，小華對(duì)截止到2023年第十六屆“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲），

下面是部分信息.

以“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡統(tǒng)計(jì)圖（數(shù)據(jù)分成5組：50Wx<60,60Wx<70,70Wx<80,

80Wx<90,90Wx<100）：

第4頁(yè)（共27頁(yè)）

“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡

6.“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在60Wx<70這一組的是：

6365656565666768686869696969

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

(1)補(bǔ)全“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡頻數(shù)分布直方圖；

(2)直接寫(xiě)出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡數(shù)據(jù)中位數(shù)；若以各組的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)

據(jù)，求出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(3)小華準(zhǔn)備從“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在80^x<90和90Wx<100這兩組中任意選取兩

人了解他們的數(shù)學(xué)故事，求選取的兩人年齡正好在同一組的概率.

20.(7分)如圖，在平行四邊形/BCD中，。是DC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作/。的平行線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

F.

(1)證明：△E。。g△NOD；

(2)若/￡是NA4。的角平分線(xiàn)，請(qǐng)判斷四邊形BFE。是什么特殊四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

AD

F

21.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yi==辦+6的圖象與反比例函數(shù)y2上的圖象交于點(diǎn)/

(1,加)和8(-2,-1)

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出〃<絲時(shí)，x的取值范圍；

第5頁(yè)(共27頁(yè))

(3)過(guò)點(diǎn)8作軸，于點(diǎn)。，點(diǎn)C是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

22.(9分)呼和浩特素有“召城”之稱(chēng)，塞上老街是一個(gè)重要的旅游街區(qū)，不僅有各式傳統(tǒng)文化遺物向游

人訴說(shuō)著歷史，現(xiàn)塞上老街某文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)店在旅游文化節(jié)期間準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圍巾，其中乙種圍巾的

進(jìn)價(jià)比甲種圍巾的進(jìn)價(jià)少10元，乙種圍巾的售價(jià)為每條100元，若用2000元購(gòu)進(jìn)甲種圍巾的數(shù)量與用

1800元購(gòu)進(jìn)乙種圍巾的數(shù)量相同.

(1)求甲、乙兩種圍巾每條的進(jìn)價(jià)；

(2)要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種圍巾共300條的總利潤(rùn)不少于4000元，且不超過(guò)4100元，問(wèn)該文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)

店有幾種進(jìn)貨方案；

(3)文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)店準(zhǔn)備對(duì)甲種圍巾進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，甲種圍巾每星期可賣(mài)出40條，市場(chǎng)調(diào)查反映，甲種圍

巾每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出10條，若該專(zhuān)賣(mài)店一星期要購(gòu)進(jìn)甲、乙共200條圍巾且全部售出，如

何給甲種圍巾定價(jià)才能使一星期總利潤(rùn)最大

23.(10分)如圖，是。。的直徑，C是上異于/、8的點(diǎn)，直線(xiàn)EC與3。垂直，垂足為

?BD.

(1)求證：CE是OO的切線(xiàn).

(2)如果/是。E的中點(diǎn)，SABCD=2,求S^ACE的值.

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)N(xo，m),B(xo+2,〃)在拋物線(xiàn)y=x2-26x+12上.

(1)當(dāng)b=4,xo=3時(shí)，比較/和"的大小，并說(shuō)明理由；

(2)若對(duì)于3.5WxoW5,都有加<“<12,求6的取值范圍；

第6頁(yè)(共27頁(yè))

(3)若6取(2)中求得的6取值范圍內(nèi)的一個(gè)整數(shù)時(shí)，得拋物線(xiàn)Ci，將Ci向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得

拋物線(xiàn)C2,求出C2的解析式；拋物線(xiàn)C2與x軸交于E,F兩點(diǎn),與丁軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)尸是以點(diǎn)。為圓

心，點(diǎn)。是線(xiàn)段EP的中點(diǎn)，求線(xiàn)段00的最大值.

第7頁(yè)(共27頁(yè))

2024年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的）

1.（3分）我國(guó)的珠穆朗瑪峰高于海平面8848.86小，可記為+8848.86加，吐魯番盆地大部分地面低于海平

面500m（）

A.500mB.-500mC.8348.86mD.-8348.86%

【解答】解：：高于海平面8848.86相，可記為+8848.86加，

，低于海平面500m,應(yīng)記為-5007〃，

故選：B.

2.（3分）小明自己動(dòng)手做了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從正面、左面、上面觀察它，得到的三視圖如圖所示（）

A.圓錐B.圓柱C.三棱柱D.三棱錐

【解答】解：,??主視圖和左視圖都是三角形，

，此幾何體為錐體，

:俯視圖是一個(gè)圓，

???此幾何體為圓錐.

故選：A.

3.（3分）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.x3+x3=x6B.x3,x9=x27C.（x2）3=x5D.（2x）3=8x3

【解答】解：A.xW=4x3,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、x3-x4=x12,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、J?）3=/,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、（2x）3=4x3,原計(jì)算正確，符合題意；

故選：D.

第8頁(yè)（共27頁(yè)）

4.（3分）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)-臼-小)

b0a

A.a-2bB.aC.lb-aD.-a

【解答】解：由數(shù)軸可得。>0,6c0,

.?.Q-b>3,

\a-b\=a-b,向=向=-6,

\a-b\-4匕2=a-b-(-b)=Q-6+Z)=Q,

故選：B.

5.（3分）在單詞冽〃比e冽而cs（數(shù)學(xué)）中任意選擇一個(gè)輔音字母的概率是（）

A.-LB.-LC.J—D.旦

11111111

【解答】解：?.?單詞〃皿妨e〃Wics（數(shù)學(xué)）中共有11個(gè)字母，有7個(gè)輔音字母，

...任意選擇一個(gè)輔音字母的概率是二.

11

故選：C.

6.（3分）把圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角至少為（），旋轉(zhuǎn)后的五角星能與自

【解答】解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，旋轉(zhuǎn)角至少為72°.

故選：C.

7.(3分)用配方法解一元二次方程2f-5x-1=0,配方正確的是()

A/_5、2R/_5、2__41

?(x-)=77-(x-v)

A416416

C(__5\22fD/5、229

x而)(x/

【解答】解：由27-2%-1=0得，

2x2-5x=4,

第9頁(yè)（共27頁(yè)）

x2.5=1

82

，％號(hào)）2,+得）2,

y/5s2丁33

故選：A.

8.（3分）如圖，在矩形/BCD中，AB=2&，BC=2,將△48E沿/￡折疊，使點(diǎn)8落在矩形內(nèi)點(diǎn)G處,

A.2B.亞C.AD.I

323

【解答】解：；AB=2我，BC=4,A8CD是矩形，

?.ZB=90°,BE=CE=\,

AE=V(2V7)2+18=3)

由折疊可得GE=3￡=1,BGLAE,

..181

-s四邊形皿的心漕也而杷潮丁:嗚竹

2AB?BE=4?

""AE-3

:.GE=BE=CE=3

；./8=/2,/3=N3,

VZ1+Z2+Z2+Z4=18O°,

.\Z2+Z7=90o,

3

故N2GC=90。，CG=VBC2-BG

3

故選：A.

第10頁(yè)（共27頁(yè)）

9.（3分）下列關(guān)于兩個(gè)變量關(guān)系的四種表達(dá)式中，正確的是（）

①圓的周長(zhǎng)C是半徑7?的函數(shù)；

②表達(dá)式y(tǒng)=4中，＞是x的函數(shù);

③如表中，”是加的函數(shù)；

m-3-2-1123

n-2-3-6832

④如圖中，曲線(xiàn)表示夕是X的函數(shù).

C.①②③D.①②③④

【解答】解：①、②、③說(shuō)法正確、②、③符合題意；

④、曲線(xiàn)不表示y是X的函數(shù).

故選：C.

10.（3分）如圖，在正方形A8CD中，48=4,點(diǎn)E是2c延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AF=CE,即與對(duì)角線(xiàn)/C相

交于點(diǎn)G,與CD相交于點(diǎn)DG,則下列結(jié)論：①FG=EG；②更"；③（

AF5

C.3個(gè)D.4個(gè)

第11頁(yè)（共27頁(yè)）

【解答】解：①過(guò)點(diǎn)尸作交NG于如下圖所示:

:四邊形/2C。為正方形，跖與對(duì)角線(xiàn)/C相交于點(diǎn)G,

/.ZBAC=ZACD=45°,ZBCD=90°,

為等腰直角三角形，ZDCE=9Q°,

：.AF=FH,ZFHA=45°,

尸HG=180°-ZFK4=180°-45°=135°,

\"AF=CE,

:.FH=CE,

VZECG=ZDCE+ZACD=90a+45°=135°,

：.4FHG=NECG=\35°,

在△月和△ECG中，

2FHG=NECG

-NFGH=NEGC，

TH=CE

A^FHG^^ECGCAAS),

：.FG=EG,

故結(jié)論①正確；

②：四邊形/BCD為正方形，AB=4,

；.4B=BC=CD=AD=4,AB//CD,

?:BF=2AF,

：.AF=1,BF=3,

：.AF=CE=5,

:.BE=BC+CE=4+[=7,

,:AB〃CD,

：.AECMsAEBF,

第12頁(yè)（共27頁(yè)）

???CM---CE,

BFBE

???CM_BF_3，，

CEBE5

即生工

AF5

故結(jié)論②正確；

③在RtZ\AEF中，BF=3,

由勾股定理得：EF^-7BF4+BE2=（^34>

由①正確可知：FG=EG,

：.點(diǎn)G為mABEF斜邊所的中線(xiàn)，

：.BG=1￡F=^^,

32

故結(jié)論③不正確；

④在RtZ\4D/中，/尸=1,

由勾股定理得：DF=yjh$3+卜02=近^,

在RtZ\DCE中，CE=1,

由勾股定理得：+CD2=VI7，

：.DF=DE,DF2+DE&=34,

又：￡尸=倔，

：.DF2+DE2=EF^,

：.ZEFD=90°,

即△。所為等腰直角三角形，

又；FG=EG,

根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一定理得：/FDG=45°,

在RtZ\5EF中，BF=3,

：.NBFG￥45°,

ZFDG^ZBFG,

故結(jié)論④不正確.

綜上所述：正確的結(jié)論是①②，共2個(gè).

故選：B.

第13頁(yè)（共27頁(yè)）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.本題要求把正確結(jié)果填在答題紙規(guī)定

11.（3分）分解因式：9-9孫2="（x+3y）（%-3y）.

【解答】解：X3-9盯2

=x（x2-9力

=x（x+3j）（x-3y）,

故答案為：x（x+4y）（x-3y）.

12.（3分）如圖是某超市/,B兩種水果連續(xù)五天的單價(jià)調(diào)研情況，比較4這五天中，單價(jià)平均值高的

是B種水果,單價(jià)較穩(wěn)定的是4種水果.

【解答】解：一種水果單價(jià)平均值為5+&°+8?5+2?°=4.4（千克），

5

3種水果單價(jià)平均值為°+6.5+9.6+8.°+8.5=8（千克），

5

單價(jià)平均值高的是8種水果，

由水果單價(jià)的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖可知/種水果的單價(jià)波動(dòng)小，2種水果的單價(jià)波動(dòng)大.

故答案為：B,A.

13.（3分）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形鐵絲框45CZ）跖變形為以點(diǎn)4為圓心，45為半徑的扇形（忽略

鐵絲的粗細(xì)）（陰影部分）的面積為8,該扇形所對(duì)的圓心角是—02一度.（結(jié)果用含n的式子

―7T一

表示）

【解答】解：由題意可知，，諦的長(zhǎng)為2X4=5,

設(shè)就所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為“nKx2,

180

第14頁(yè)（共27頁(yè)）

解得〃=3",

兀

扇形面積為＞1X8X2=8,

6

故答案為：8,120.

n

14.（3分）在周長(zhǎng)為2611的。。中，CD是。。的一條弦，N5是。。的切線(xiàn)，若N8和CD之間的距離為

18,則弦CD的長(zhǎng)為24.

；.R=13,

：.OF=OD=13,

是。。切線(xiàn)，

C.OFLAB,

?：AB//CD,

：.EF±CD即OELCD,

：.CE=ED,

?；EF=18,0^=13,

：.OE=5,

在尺77\0￡。中，'：ZOED^90°,OE=5,

22

:，ED=VOD-OE=V732-82=12，

：.CD=2ED=24.

故答案為24.

15.（3分）如圖，長(zhǎng)青化工廠(chǎng)與4,8兩地有公路、鐵路相連.這家工廠(chǎng)從/地購(gòu)買(mǎi)一批1000元/噸的原

料運(yùn)回工廠(chǎng)（fkm）,鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/。?的?），且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)16000元400噸,

第15頁(yè)（共27頁(yè)）

這批產(chǎn)品的銷(xiāo)售款比原料費(fèi)多1400000元.

\一族裔20km…路10km

八g鐵路110km,…一」長(zhǎng)青化工廠(chǎng)

公路20km/

【解答】解：設(shè)工廠(chǎng)從/地購(gòu)買(mǎi)了x噸原料，制成運(yùn)往3地的產(chǎn)品〉噸,

根據(jù)題意得.6⑵丫+期）=16000,

12.2（110y+120x）=97200

解得卜=400.

[y=300

.\6000j-1000x=6000X300-1000X400=1400000（元）.

答：批產(chǎn)品的銷(xiāo)售款比原料費(fèi)多1400000元.

故答案為：400,1400000.

16.（3分）已知拋物線(xiàn)C：y=-：+2x,點(diǎn)￡是直線(xiàn)NB：y=x-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)E向左移動(dòng)4個(gè)單

位得到點(diǎn)F,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)a的取值范圍為7Wa<2或a=3.

r2

【解答】解：由題意，y=-x-+2x,

,y=x-6

尸或產(chǎn)

ly=-3[y=0

點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-1,-2）,0）.

當(dāng)點(diǎn)￡在直線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段環(huán)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，

,:E,尸的距離為4、2的水平距離是5,即-1W0<2；

當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，線(xiàn)段時(shí)與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)2的右側(cè)時(shí)，當(dāng)。=6時(shí)，1）,線(xiàn)段兒W與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上，-lWa<6或a=3.

故答案為：-1W0<5或a=3.

三、解答題（本大題共8小題，滿(mǎn)分72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（10分）⑴計(jì)算:V8+2~2-2COS45°+|2^2|;

f2x+3>x+ll

（2）解不等式組：+5

2X-1<2-X-

3

【解答】解：（1）原式=2&+旦-2義亞加

42

第16頁(yè)（共27頁(yè)）

=3-?.

4

'2x+2>x+ll①

（2）解：，?x+5/-

解不等式①得：x22,

解不等式②得：x<_￡

5

所以，此不等式組無(wú)解.

18.（7分）如圖，我國(guó)某海域上有/、B兩個(gè)小島，8在N的正東方向.有一艘漁船在點(diǎn)C處捕魚(yú)，在8

島測(cè)得漁船在北偏西60。的方向上，且測(cè)得2、C兩處的距離為2s歷

（1）求/、C兩處的距離；

（2）突然，漁船發(fā)生故障，而滯留C處等待救援.此時(shí)，測(cè)得。在小島/的北偏西15°方向上距/

島30海里處.求救援船到達(dá)C處所用的時(shí)間.（結(jié)果保留根號(hào)）

【解答】解：（1）如圖1,過(guò)C作CEL4B于點(diǎn)E,

圖1

由題意得：3c=20加海里，NCAE=90°-45°=45°,

CE=^8C=172=10^-△/EC是等腰直角三角形,

22

:.AC=4^CE=?M=20（海里），

答：/、C兩處的距離為20海里；

（2）如圖5,過(guò)點(diǎn)。作DFL/C于點(diǎn)R

第17頁(yè)（共27頁(yè)）

D,

15°

E

圖2

在RtZXN。/中，/。=30海里,

：.AF=AD'cosZDAF=30xX=}5（海里）,

2

DF=ADsmZDAF=30X返_=15%，

2

/.CF=AC-AF=20-15=3（海里），

在Rtz^cr甲中，由勾股定理得：CD=VDF2<F2=V（15A/4）2+57V7（海里），

.?.1077+40=近,

4

答:救援船到達(dá)。處所用的時(shí)間為五小時(shí).

3

19.（10分）“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”是中國(guó)三大頂尖數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)之一，為激勵(lì)中國(guó)數(shù)學(xué)家在發(fā)展中國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)中做

出突出貢獻(xiàn)而設(shè)立，小華對(duì)截止到2023年第十六屆“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲）,

下面是部分信息.

以“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡統(tǒng)計(jì)圖（數(shù)據(jù)分成5組：50Wx<60,60Wx<70,70Wx<80,

80?90,90Wx<100）：

“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡

扇形統(tǒng)計(jì)圖

6.“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在60Wx<70這一組的是:

6365656565666768686869696969

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

第18頁(yè)（共27頁(yè)）

（1）補(bǔ)全“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡頻數(shù)分布直方圖；

（2）直接寫(xiě)出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡數(shù)據(jù)中位數(shù)；若以各組的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)

據(jù)，求出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；

（3）小華準(zhǔn)備從“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在80Wx<90和90Wx<100這兩組中任意選取兩

人了解他們的數(shù)學(xué)故事，求選取的兩人年齡正好在同一組的概率.

【解答】解：（1）“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”的總?cè)藬?shù)有：3?10%=30（人）,

年齡在"70Wx<80”的人數(shù)為：30-3-14-7-2=8(人),

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下:

“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡

皿皿頻數(shù)分布直方圖

（2）把30個(gè)人的年齡從小到大排列，排在第15和第16個(gè)數(shù)分別是69,故中位數(shù)加=更迫,

2

數(shù)據(jù)的平均數(shù)為」-X(55X3+65X14+75X8+85X3+95X2)仁71(歲);

30

（3）80Wx<90組中的三個(gè)數(shù)據(jù)分別記為4,2,3,90Wx<100組中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記為/、B,列表如下:

623AB

5(1,2)(7,3)(1,A)(3,B)

2(2,8)(2,3)(2,A)(2,B)

3(7,1)(3,8)(3,A)(3,B)

A(A,5)(.A,2)(.A,3)(A,B')

B(B,2)(.B,2)CB,3)(B,A)

由表可知，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有20種，兩人年齡正好在同一組（記為事件/）的結(jié)果有5種,

所以p(A)

3206

20.（7分）如圖，在平行四邊形中，。是DC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)2作/。的平行線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

第19頁(yè)（共27頁(yè)）

F.

（1）證明：AEOC沿AAOD；

（2）若/￡是/胡。的角平分線(xiàn)，請(qǐng)判斷四邊形3FE。是什么特殊四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】（1）證明：：四邊形/3C。為平行四邊形,

：.AB//CD,AB=CD,

：.AB//OF,

又,：BF〃AO,

四邊形尸。為平行四邊形，

：.BF=AO,BF//AO,

:點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，

?'-OC=OD=yCD-

OC=yAB>

???OF=OCKFVABKF，

;AB=OF

；?AB^ABKF，

.2

??CF專(zhuān)AB，

：.CF=OC,

'：BF//AO,

：.ZCBF=ZCEO,ZCFB=ZCOE,

在△CBF和△C￡。中，

，ZCBF=ZCEO

<ZCFB=ZCOE>

CF=OC

第20頁(yè)（共27頁(yè)）

.?.△C瓦匹△C￡。(AAS),

：.BF=EO,

：.EO=AO,

在△EOC和△NOD中，

rEO=AO

?ZE0C=ZA0D

,OC=OD

.?.△EOCg△NOD&S)；

(2)解：四邊形3廠(chǎng)￡。是矩形，理由如下:

?：4E是NB4D的角平分線(xiàn)，

，NDAE=/BAE,

V四邊形/BCD為平行四邊形，

C.AD//BC,

：./DAE=NBEA,

：.NBAE=/BEA,

：.AB=BE,

由(1)可知：四邊形4BFO為平行四邊形,

：.AB=OF,

：.BE=OF,

由(1)可知：/g△CEO(AAS),

：.BF=OE,

又,：BF〃AO,

，四邊形BFEO為平行四邊形，

,:BE=OF,

，平行四邊形瓦石。為矩形.

21.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yi=ax+6的圖象與反比例函數(shù)y2上的圖象交于點(diǎn)/

(1,加)和8(-2,-1)

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出〃＜絲時(shí)，x的取值范圍；

(3)過(guò)點(diǎn)3作軸，4DL5E于點(diǎn)。，點(diǎn)。是直線(xiàn)BE上一點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

第21頁(yè)(共27頁(yè))

【解答】解：（1）:點(diǎn)2（-2,-1）在反比例函數(shù)y上,

7x

?,?—1?=--k--，

-2

解得人=8,

，這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y上,

2X

:點(diǎn)/（2,m）在反比例函數(shù)上,

2X

所以點(diǎn)/（4,m）的坐標(biāo)滿(mǎn)足上,

2x

即m=Y，

解得機(jī)=2,

...點(diǎn)/的坐標(biāo)為（5,2）,

:一次函數(shù)yi=izx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(2,2)和點(diǎn)3(-2,

.[k+b=2

l-2k+b=-l

解得k=5

b=l

這個(gè)一次函數(shù)的解析式為J4=x+7；

（2）?.?一次函數(shù)勿=辦+6的圖象與反比例函數(shù)y2上的圖象交于點(diǎn)/（8,-I）,

.\n<?8時(shí)，x的取值范圍為x<-2或0Vx<8；

(3)"ADLBE,

ZADC=9Q°,

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2),

.\AD=XA-XD=3-(-2)=3,

設(shè)CZ)=x,則4C=8cz)=2x,

根據(jù)勾股定理：AD2+CD4=AC2,

第22頁(yè)（共27頁(yè)）

即35+/=⑵)8,

解得*1=百，*3=-百(舍去)，

?1.CD=V3

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-8,2-V3)或(-6,2+^3).

22.(9分)呼和浩特素有“召城”之稱(chēng)，塞上老街是一個(gè)重要的旅游街區(qū)，不僅有各式傳統(tǒng)文化遺物向游

人訴說(shuō)著歷史，現(xiàn)塞上老街某文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)店在旅游文化節(jié)期間準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圍巾，其中乙種圍巾的

進(jìn)價(jià)比甲種圍巾的進(jìn)價(jià)少10元，乙種圍巾的售價(jià)為每條100元，若用2000元購(gòu)進(jìn)甲種圍巾的數(shù)量與用

1800元購(gòu)進(jìn)乙種圍巾的數(shù)量相同.

(1)求甲、乙兩種圍巾每條的進(jìn)價(jià)；

(2)要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種圍巾共300條的總利潤(rùn)不少于4000元，且不超過(guò)4100元，問(wèn)該文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)

店有幾種進(jìn)貨方案；

(3)文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)店準(zhǔn)備對(duì)甲種圍巾進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，甲種圍巾每星期可賣(mài)出40條，市場(chǎng)調(diào)查反映，甲種圍

巾每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出10條，若該專(zhuān)賣(mài)店一星期要購(gòu)進(jìn)甲、乙共200條圍巾且全部售出，如

何給甲種圍巾定價(jià)才能使一星期總利潤(rùn)最大

【解答】解：(1)由題意，設(shè)乙種圍巾的進(jìn)價(jià)為x元，

則2000=1800,

'x+10"x

解得:x=90.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是原分式方程的解

二甲種圍巾的進(jìn)價(jià)為90+10=100(元).

答：甲、乙兩種圍巾每條的進(jìn)價(jià)分別為100元和90元.

(2)由題意，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種圍巾a條，

則4000W(120-100)a+(100-90)(300-a)W4100,

lOOWaWUO,

又為正整數(shù)，

可知，該文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)店有11種進(jìn)貨方案.

(3)由題意，設(shè)甲種圍巾降了y元，該文創(chuàng)專(zhuān)賣(mài)店一星期的總利潤(rùn)為w元(0^16),

則w=(120-100-y)(40+lQy)+(100-90)(200-40-10j)=-10/+60j^2400.

-10<4,

第23頁(yè)(共27頁(yè))

，此時(shí)，甲種圍巾的售價(jià)為：120-7=117（元），

甲種圍巾售出：40+10X3=70（條），

乙種圍巾售出：200-70=130（條）.

23.（10分）如圖，N8是OO的直徑，C是。。上異于N、8的點(diǎn)，直線(xiàn)EC與8。垂直，垂足為。2=48

?BD.

（1）求證：CE是OO的切線(xiàn).

（2