排列與組合（解析版） -高考數(shù)學備考復習重點資料歸納

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第12章計數(shù)原理

12.1排列與組合

夠知識梳理

1.兩種計數(shù)原理：

（1）分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機種不同的方

法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+〃種不同的方法.

（2）分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有用種不同的方法，做第

2步有〃種不同的方法，那么完成這件事共有N=〃?X〃種不同的方法.

2.排列組合

（1）排列、組合的定義

①排列：從〃個不同元素中取出機（加二〃）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃

個不同元素中取出m個元素的一個排列。

②組合：從〃個不同元素中取出個元素，合成一組，叫做從〃個不同元素中取

出m個元素的一個組合。

（2）排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質

排列數(shù)組合數(shù)

從n個不同元素中取出m>n€N*）從〃個不同元素中取出皿m,n

定義

個元素的所有不同排列的個數(shù)￡N*）個元素的所有不同組合的個數(shù)

n!n(n-l)(n-2)—(n-zn+l)

公式A7—〃(〃一1)(〃一2)…(〃-，〃+1)一,?！ㄒ籄1,n\

性質A2=〃!，0!=1cs=i,C7=C;F,c7+cri=c%

3.求解排列應用問題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列

對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元

插空法

素排列的空檔中

定序問題除

對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

法處理

間接法正難則反、等價轉化的方法

國題型歸納

題型一?兩種計數(shù)原理

考點1.分類加法計數(shù)原理

I.將編號1，2,3,4的小球放入編號為1,2,3盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒

子的編號不能相同，則不同的放球方法有（）

A.6種B.9種C.12種D.18種

【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下

情況時，放球方法有：當1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法;

當1與3號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法:

當1與4號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

當2與3號球放在同一盒子中時.有2種不同的放法:

當2與4號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

當3與4號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

因此,不同的放球方法有12種.

故選：C.

2.已知兩條異面直線a,b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€

數(shù)為（）

A.40B.16C.13D.10

【解析】根據(jù)直線與直線外一點可以確定一個平面，得：

。上任一點與直線人確定一平面，共5個，

人上任一點與直線〃確定一平面，共8個，

由加法原理得共有5+8-13個.

故選：C.

考點2.分步乘法計數(shù)原理

3.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個互不相等的數(shù)mb,組成復數(shù)其中虛

數(shù)有（）

A.36個B.42個C.30個D.35個

【解析】???mb互不相等且為虛數(shù)，

???所有b只能從｛1,2,3,4,5,6｝中選一個有6種，

a從剩余的6個選一個有6種，

，根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有6X6=36（個）.

故選：A.

4.在狂歡節(jié)上，有六名同學想報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一

項，每個項目都有人報名，則共有1個種不同的報名方法.

【解析】根據(jù)題意，要求每項限報一人，且每人至多參加一項，

則第一個項目有6種報名方法，

第二個項目有5種報名方法，

第三個項目有4種報名方法，

則共有6X5X4=120種不同的報名方法；

故答案為：120.

考點3.兩種計數(shù)原理的綜合應用

1.與數(shù)字有關的問題

1.由0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成420個無重復數(shù)字的四位偶數(shù).

【解析】當。在末位時可組成脫=120個無重復四位偶數(shù)；

當含0且0不在末位時可組成用???颼=120個無重復數(shù)字；

當不含0時可組成網(wǎng)?用=180個無重復的數(shù)字，

共計120+120+180=420個無重復數(shù)字.

故答案為：420.

2.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）

A.144個B.120個C.96個D.72個

【解析】根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、

4中其中1個；

分兩種情況討論：

①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3

個位置上，有A43=24種情況，此時有3X24=72個，

②首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3

個位置上，有｛3=24種情況，此時有2X24=48個，

共有72+48=120個.

故選：B.

2.涂色問題

3.現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方

法共有（）

A.720種B.1440種C.2880種D.4320種

【解析】第1個區(qū)域有6種不同的涂色方案，第2個區(qū)域有5種不同的涂色方案，第3

個區(qū)域有4種不同的涂色方案，

第4個區(qū)域有3種不同的涂色方案，第5個區(qū)域有4種不同的涂色方案，第6個區(qū)域有3

種不同的涂色方案，

故有6X5X4X3X4X3=4320.

故選：D.

4.將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域

花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是（）

A.420B.180C.64D.25

【解析】方法一：由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可

分步進行，

區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，

A,。不同色，。有3種，C有2種涂法，有5X4X3X2=120種，

4,。同色，。有4種涂法，。有3種涂法，有5X4X3=60種，

工共有180種不同的涂色方案.

方法二：分步，比如先排BCD兩兩不同色，有5X4X3=60種，再排A,只要與8c

不同，有3種，故共180種

故選:B.

3.幾何圖形問題

5.如圖，連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形的個數(shù)

為（）

A.40B.30C.20D.10

【解析】與正八邊形有2條公共邊的三角形共有8個；

與正八邊形有1條公共邊的三角形共有8X4=32個；

由分類加法計數(shù)原理知，共有32+8=40（個）.

故選：A.

6.如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”，在一個長

方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是

（）

A.60B.48C.36D.24

【解析】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，

一個長方體的面可以和它相對的面上的4條棱和兩條對角線組成6個，

一共有6個面，共有6義6=36種結果，

長方體的對角面組成兩組，共有6個對角面，共有12種結果，

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有36+12=48種結果，

故選：B.

4.經(jīng)典真題

7.如圖，小明從街道的七處出發(fā)，先到尸處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參

加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）

【解析］從E到尸，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，

從上到尸最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相

同，

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42c2?=6

種走法.

同理從尸到G,最短的走法，有C31c2?=3種走法.

???小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6X3=18種走法.

故選：B.

8.受新冠肺炎疫情影響，某學校按上級文件指示，要求錯峰放學，錯峰有序吃飯.高三年

級一層樓六個班排隊，甲班必須排在前三位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班

排隊吃飯的不同安排方案共有（）

A.240種B.120種C.188種D.156種

【解析】根據(jù)題意，甲班必須排在前三位，分3種情況討論：

①，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情況有4A2?=8種，將剩余的三個班級全

排列，安排到剩下的三個位置，有A33=6種情況，

此時有8X6=48種安排方案；

②，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情況有3Ar=6種，將剩余的三個班級全

排列，安排到剩下的三個位置，有A33=6種情況，

此時有6X6=36種安排方案；

2

③、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情況有3A2=6種，將剩余的三個班級全

排列，安排到剩下的三個位置，有A33=6種情況，

此時有6X6=36種安排方案；

則一共有48+36+36=120種安排方案；

故選:B.

題型二.排列數(shù)、組合數(shù)的計算

考點1.具體計算

1.已知〃，機為正整數(shù)，且〃2”，則在下列各式中錯誤的是()

A.Al=120

B-用2=,4；

Cfm1nm_rm+1

?Tcn+1—cn+1

D.CAn=c^ni

【解析】對于①，Al=6X5X4=120,故①正確，

對于②，???比2=純，，用2=424；，故②正確，

A7

對于③，當〃=3,〃?=3時，颼+C如豐C酣,故③錯誤，

對于④，CL=7——寸T里7——HT=a、i=c*,故④正確.

n(n—m)![n—(n—m)]!7n!(n—m)!n

故選：C.

2.計算C33+C43+--+C93得到結果為()

A.210B.165C.126D.120

【解析】C33+C43+-+C93=C44+C43+'?-+C93=C54+C53+---+C93=Cj+Q?=C104=

10x9x8x7

4X3X2X12I(J

故選：A.

考點2.證明等式

3.求滿足下列方程組的正整數(shù)的解：

⑴用n=28礫

n+1九-rn-2rn

(Grn+3-G6n+11-—Gn十1九十「

【解析】(1)由嚴孫=28"：,可得方(2n-1)(2w-2)=2%(〃-1),而〃22,

(2n-3)!(n-2)!

故2〃?1=7,可得〃=4；

「、(n+3)!(n+1)!n!,5+1)!=垢(n+3)(n+2)n(n+l)

(2)------------------------------=---------------+------------,rijf,j-----------------------------------=

2!(n+l)!2!(n-l)!2!(n-2)!l!n!22

n(n-l)

+n+1,

2

所以2〃+3=+2,則〃2?3〃-4=(〃一4)(〃+io)=o,而“22,

故〃=4.

4.（1）解不等式：徽7>3優(yōu)；

（2）求證：

①優(yōu)=就%；

②僚?瞄言=制?*

【解析】（1）曜i>3優(yōu),

由組合的性質可得：0Wm-lW8或mW8,解可得1W“W8；

8!

原不等式可化為

(m-l)!(9-m)!〉3xm!(8_m)!’

化簡可得；4W>27,解得加>了,

又由相的范圍，可得〃?=8；又1W〃?W8；

所以m=l或〃?=8.

不等式的解集為{7,8}.

⑵①證明：卷M—nST)!n!=M,

n-mm!(n-l-m)!m\(n-ni)l

?rm_九rm

,?n-n—mCn-

nST)!n!

②■^^n-k-n—mm!(n—1-m)!-fc!(7n—771)!,

mln\

優(yōu)瑞=n!

mk

,rk.r-—rm.「k

,,GnGn-k-Gncw

題型三.排列、組合的基本方法

考點1.捆綁法、插空法

1.某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，二班有2位，其

它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰好被排在一

起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.----

102040120

【解析】由題意知本題是一個古典概型，

???試驗發(fā)生包含的所有事件是10位同學參賽演講的順序共有：Aio10：

滿足條件的事件要得到“一班有3位同學恰好被排在一起而二班的2位同學沒有被排在一

起的演講的順序”可通過如下步驟：

①將一班的3位同學“捆綁”在一起，有A33種方法；

②將一班的“一桐”看作一個對象與其它班的5位同學共6個對象排成一列，有466種方法;

③在以上6個對象所排成一列的7個間隙（包括兩端的位置）中選2個位置，將二班的2

位同學插入，有A??種方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理（乘法原理），共有A33?A66%72種方法.

???一班有3位同學恰好被排在一起（指演講序號相連），

而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為：「=蝮察=4.

“10

故選：B.

2.（2014?北京）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品8相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不

相鄰，則不同的擺法有36種.

【解析】先考慮產(chǎn)品A與5相鄰，把A、8作為一個元素有川種方法，而A、3可交換

位置，所以有2*二48種擺法，

又當4、B相鄰又滿足A、C相鄰，有2屬=12種擺法，

故滿足條件的擺法有48-12=36種.

故答案為：36.

3.某班組織文藝晚會，準備從43等8個節(jié)目中選出4個節(jié)目演出，要求：4,8兩個節(jié)

目至少有一個選中，且A,8同時選中時，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序

的和數(shù)為（）

A.I860B.1320C.1140D.1020

【解析】分兩類：第一類，A,8只有一個選中，則不同演出順序有?立川種；

第二類：A,B同時選中，則不同演出順序有叱鹿掰種.

共有：◎琮&+或的裾=1140（種）.

故選：C.

4.（2014?重慶）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的

演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

【解析】分2步進行分析：

1、先將3個歌舞類節(jié)目全排列，有A33=6種情況，排好后，有4個空位，

2、因為3個歌舞類節(jié)目不能相鄰，則中間2個空位必須都安排節(jié)目，

分3種情況討論：

①將中間2個空位安排1個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目，有C2LM2=4種情況，

排好后，最后1個小品類節(jié)目放在2端，有2種情況，

此時同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是4x2=8種；

②將中間2個空位安排2個小品類節(jié)目，有A22=2種情況，

相聲類節(jié)目放在2端，有2種情況，

此時有4種安排方法；

③將中間2個空位安排3個節(jié)目，

將一個小品類節(jié)目和相聲類節(jié)目作為一個整體放在其中一個空位，剩下一個空位安排另

一個小品類節(jié)目，

此時有C2'X2X2=8種安排方法，

則中間空位的安排方法有8+4+8=20種，

則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是6x20=120種，

故選：B.

考點2.定序問題

1.某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這

3個節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）

A.504B.210C.336D.120

【解析】,?,由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，

三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，

原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結果，

原來的6個和剛插入的一個，形成8個空，有8種結果，同理最后一個節(jié)目有9種結果

根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有插法種數(shù)為7x8x9=504,

故選：A.

2.某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所

示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無

論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為

25200.（用數(shù)字作答）

【解析】由題意可得，一共有10條燈謎，共有用8種方法，其中按2332組成的4列相對

位置不變，

410

&10

故結合倍縮法可知共有=25200種，即這10條燈謎依次被選中的所有不同順

4弘弘弘稱

序方法數(shù)為25200.

故答案為：25200.

3.今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有」

種不同的方法（用數(shù)字作答）.

【解析】由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題.

先在9個位置中選4個位置排白球，有。94種排法，再從剩余的5個位置中選2個位置

排紅球，有C52種排法，

剩余的三個位置排黃球有C3?種排法，

所以共有C94<52<33=1260.

答案：1260.

考點3.不同元素分組問題

I.有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）

A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法

B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法

C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法

D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有G62c42c22=90種分配方

法，A錯誤；

對于從先將6本書分為4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有C64A33=90種

分配方法，B錯誤；

對于C,6本不同的書先分給甲乙每人各2本，有C62c42種方法；其余2本分給丙丁,

有也2種方法，

所以不同的分配方法有C62c42A22=180種，C錯誤；

對于。，先將6本書分為2-2-I-1的4組，再將4組分給甲乙丙丁四人，有

x/u4=1080種分法,。正確.

故選：D.

考點4相同元素分組問題一隔板法

1.某校準備召開高中畢業(yè)生代表會，把6個代表名額分配給高三年級的3個班，每班至少

一個名額，不同的分配方案共有10種.

【解析】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題,

所有分配方法可分為：2、2、2只有一種;

3、2、1有3x2x1=6種;

4、1、1有三種.

?,?共有1+6+3=10種.

故答案為：10

2.有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內的球數(shù)不少于

它的編號數(shù)，共有」20_種不同的放法.

【解析】根據(jù)題意，先在編號為2的盒子中依次放入1個小球，編號為3的盒子中依次

放入2個小球，還剩余17個小球，只需將這17個小球放入3個個盒，每個小盒至少一

個即可，

17個小球之間共16個空位，從中選2個，插入擋板即可，則有Ci62=120種不同的放法，

故答案為：120.

3.將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有1個小球，且每個盒子

中的小球個數(shù)都不同，則共有18種不同放法.

【解析】先考慮每個盒子中至少有1個小球，

用擋板法，9個球中間8個空，插入兩個板，共有C8?=28種，

其中每個盒子中的小球個數(shù)都用同時，有1種放法；

兩個盒子中的小球個數(shù)都相同時，包括：1、1、7；2、2、5；4、4、1,三種情況，每種

情況各有3種放法，共9種放法；

所以不同的放法共有28-1-9=18種放法；

故答案為18.

考點5.錯位排列

1.將編號1，2,3,4的小球放入編號為1,2,3盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒

子的編號不能相同，則不同的放煤方法有12種.

【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中,

當四個小球分組為如下情況時，放球方法有：

當1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當1與4號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法

當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

因此,不同的放球方法有12種.

故答案為：12.

2.5位顧客將各自的帽子放在衣架上，然后，每人隨意取走一頂帽子，則沒有一個人拿到

自己帽子的概率為：

3U

【解析】5位顧客將各自的帽子隨意放在衣帽架上，共有455=120種方法，對5位顧客

編號為I,2,3,4,5,則第1個人有4種方法，不妨取到2號，則2號顧客可以取到1,

3,4,5；2號取到1號時，方法有2種，2號取到3,4,5時，各有3種，共11種，總

共4x11=44種情況，故5人拿的都不是自己帽子的概率2=粽=裝.

故答案為：耳.

30

3.六位同學坐在一排，現(xiàn)讓六位同學重新坐，恰有兩位同學坐自己原來的位置，則不同的

坐法有135種（用數(shù)字回答）.

【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：

①、在六位同學中任選2人，坐自己原來的位置，有?62=15種情況，

②、假設不坐自己位置的4人為4、B、C、D,

A不坐自己的位置，有3種坐法，

假設A坐在了8的位置，B有3種坐法，

剩下C、。，只有一種坐法，

則剩下4人不坐自己的位置，有3x3=9種情況，

故恰有兩位同學坐自己原來的位置的坐法有15x9=135種；

故答案為：135.

題型四.排列、組合綜合問題

考點1.特殊元素、特殊問題優(yōu)先考慮

1.有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法

有（）

A.34種B.48種C.96種D.144種

【解析】先排甲有兩種方法，再把乙、丙兩人捆綁在一起，看作一個復合元素，和剩下

的3人全排，故有心?禺=96種，

故選：C.

2.從6名同學中選派4人分別參加數(shù)學、物理、化學、生物四科知識競賽，若其中甲、乙

兩名同學不能參加生物競賽，則選派方案共有（）

A.180種B.280種C.96種D.240種

【解析】由題意知甲、乙兩名同學不能參加生物競賽，可以分不設甲乙，同時選甲乙，

或選甲乙中的一個，

第一類，不選甲乙時，有用=24種，

第二類，同時選甲乙時，甲乙只能從數(shù)學、物理、化學選2課，剩下的2課再從剩下的4

人選2人即可，有心?題=72種，

第三類，選甲乙的一個時，甲或乙只能從數(shù)學、物理、化學選1課，剩下的3課再從剩

下的4人選3人即可，有2%?&=144種，

根據(jù)分類計數(shù)原理得，24+72+144=240.

故選：D.

3.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙

不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有

（）

A.36種B.42種C.48種D.54種

【解析】由題意知甲的位置影響乙的排列

，要分兩類：一類為甲排在第一位共有A44=24種，

另一類甲排在第二位共有43%3=18種，

???故編排方案共有24+18=42種，

故選：B.

4.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務，要求是：任務A必須排在前三項執(zhí)行，

且執(zhí)行任務月之后需立即執(zhí)行任務￡任務5、任務C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共

有（）

A.36種B.44種C.48種D.54種

【解析】根據(jù)題意，任務4必須排在前三項執(zhí)行，分3種情況討論：

①，任務A排在第一位，則E排在第二位，將剩下的2項任務全排列，排好后有3個空

位，將B、C安排在3個空位中，有A22A3?=12種不同的執(zhí)行方案，

②，任務A排在第一位，則E排在第三位，5c的安排方法有4XA2?=8種，將剩下的2

項任務全排列安排在剩下位置，有A2?=2種安排方法，則有8X2=16種安排方法，

③，任務A排在第三位，則E排在第四位，8C的安排方法有4X/2=8種，將剩下的2

項任務全排列安排在剩下位置，有A2?=2種安排方法，則有8X2=16種安排方法，

則不同的執(zhí)行方案共有12+16+16=44種：

故選:B.

考點2.分組與分配問題

1.（2017?新課標H）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人

完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【解析】4項工作分成3組，可得：盤=6,

安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，

可得：6xAj=36種.

故選：D.

2.（2012?新課標）將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會

實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

【解析】第一步，為甲地選一名老師，有6=2種選法；

第二步，為甲地選兩個學生，有廢=6種選法；

第三步，為乙地選1名教師和2名學生，有1種選法

故不同的安排方案共有2x6x1=12種

故選：A.

3.將4位大學生分配到A,B,C三個工廠參加實習活動，其中4工廠只能安排1位大學生，

其余工廠至少安排1位大學生，且甲同學不能分配到C工廠，則不同的分配方案種數(shù)是

15.

【解析】甲同學不能分配到。工廠，則甲可以放在A,B工廠，

第一類，甲到A工廠，另外3人到3,。工廠，且只能是一個工廠2人，另外一個1人，

故有AJ2=6種，

第二類，甲到8工廠，再分兩類，一是，其余3人到4,C兩個工廠，而4工廠只能安

排1位大學生，一共有3種分配方法，二是另外3人分別分到4,B,C工廠，故有A3?

=6,

根據(jù)分類計數(shù)原理，故有6+3+6=15種，

故答案為：15.

考點3數(shù)字排列

1.（2018?浙江）從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6口任取2個數(shù)字，一共

可以組成1260個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）.

【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，從0,2,4,6中取出的2個數(shù)字中沒有0,有C3?=3種取法，

從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，有。52=10種取法，

再將選出的4個全排列，安排在4個數(shù)位，有4|4=24種情況，

一共可以組成3x10x24=720個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)；

②，從0,2,4,6中取出的2個數(shù)字中含有0,有C31=3種取法，

從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，有02=10種取法，

0不能在千位位置，其它3個數(shù)字任意排列，有3、加3=18種情況

一共可以組成3x10x18=540個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)：

故一共可得組成720+540=1260個沒有重復數(shù)字的四位數(shù);

故答案為：1260.

2.在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有

192個.

【解析】六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共A64

由于。不能排第一位，要去掉用3

不5整除可以看做總數(shù)減去能被5整除的數(shù)當個位是0或5時，這四位數(shù)就能被5整除.當

個位是。時有As?

當個位是5時有A53-Ar

???共有A64-3XA53+A42=192,

故答案為：192.

3.用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，

5與6相鄰，而798不相鄰，這樣的八位數(shù)共有576個.（用數(shù)字作答）

【解析】首先把1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰當做三個元素進行排列有433種結

果，

這三個元素形成四個空，把7和8在這四個位置排列有A42種結果，

三對相鄰的元素內部各還有一個排列A22,

根據(jù)分步計數(shù)原理得到這種數(shù)字的總數(shù)有加342422A22A2?=576,

故答案為：576.

考點4涂色問題

1.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色.現(xiàn)

有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有72種.（以數(shù)字作答）

【解析】由題意，選用3種顏色時：涂色方法C43?A33=24種

4色全用時涂色方法：C2L/k4=48種

所以不同的著色方法共有72種.

故答案為：72

2.如圖所示，用不同的五種顏色分別為4,B,C,D,E五部分著色，相鄰部分不能用同

一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，也可不使用，則復合這些要求的不同著色的方

法共有（）

AB

CD

E

A.500種B.520種C.540種D.560種

【解析】先涂4,則A有5種涂法，再涂8,因為8與A相鄰，所以8的顏色只要與4

不同即可，有4種涂法，

同理C有3種涂法，。有3種涂法，七有3種涂法，

由分步乘法計數(shù)原理可知，復合這些要求的不同著色的方法共有為5x4x3x3x3=540,

故選：C.

3.對一個各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種，

但是不允許相鄰的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有32種（用數(shù)字作答）.

【解析】由題意知本題是一個分步和分類計數(shù)問題，

最短邊選取一種顏色有3種情況.

如果最短功的兩個鄰邊顏色相同有2種情況：

這時最后兩個邊也有2種情況.

如果最短邊的兩個鄰邊顏色不同有2種情況；

這時最后兩個邊有3種顏色.

?,?方法共有3（2x2+2x3）=30種.

故答案為：30

留課后作業(yè)

I.某醫(yī)院傳染病科室有5名醫(yī)生、4名護士，現(xiàn)從這9名醫(yī)護人員中選取5名參加醫(yī)院組

織的運動會，要求其中至少有2名醫(yī)生、2名護士，則不同的選取方法有1中種.

【解析】符合題意的情況有兩種：2名醫(yī)生、3名護士和3名醫(yī)生、2名護士.選取2名

醫(yī)生、3名護士的方法有程=40（種），

選取3名醫(yī)生、2名護士的方法有廉?第=60（種），

所以滿足題意的選取方法共有40+60=100（種）.

故答案為：100

2.五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為：

宮、商、角、徵、羽，如果用上這五個音階，排成一.五音階音序，且宮、羽不相鄰，

且位于角音階的同側，可排成的不同音序有（）

A.20種B.24種C.32種D.48種

【解析】若角排在一或五，則有心房掰=24種，

若先排在二或四，則有2席星=8,

根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有24+8=32種，

故選：C.

3.某職校選出甲、乙、丙等6名學生參加職業(yè)技能比賽，并決出第1?6名的名次（無并列）.甲、

乙、丙3名學生一同去詢問成績，評委對甲說：很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍，對乙

說：你當然不是最后兩名，對丙說：你比甲和乙都好，但也不是冠軍，從這個人的回答

中分析，6人的名次情況共有（）

A.72種B.36種C.96種D.48種

【解析】由題意，知甲、乙、丙都不是第1名且乙不是最后兩名，丙比甲和乙都好，則

丙只能是第2名或第3名，

當丙是第2名時，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3個名次中

的一個，所以有屬種情況；

當丙是第3名時，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有廢鹿種情況.

故共有+CiAl=48種不同的情況.

故選D.

（多選）4.某工程隊有6輛不同的工程車，按下列方式分給工地進行作業(yè)，每個工地至少

分1輛工程車，則下列結論正確的有（）

A.分給甲、乙、丙三地每地各2輛，有120種分配方式

B.分給甲、乙兩地每地各2輛，分發(fā)丙、兩地每地各1輛，有180種分配方式

C.分給甲、乙、丙三地，其中一地分4輛，另兩地各分1輛，有60種分配方式

D.分給甲、乙、丙、丁四地，其中兩地各分2輛，另兩地各分1輛，有1080種分配方

式

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,在6輛不同的工程車中選出2輛，分給甲地，有以2種分組方法，

在剩下的4輛工程車中選出2輛，分給乙地，有C42種分法，

將最后的2輛工程車分給丙地，有C22種分法，

則有C62c42c22=90種分配方法，A錯誤；

對于5,在6輛不同的工程車中選出2輛，分給甲地，有^2種分組方法，

在剩下的4輛工程車中選出2輛，分給乙地，有C42種分法，

在剩下的2