高一數(shù)學講義（人教A版2019）543正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（十一大題型）

5．4．3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：正切函數(shù)的定義域問題 4題型二：正切函數(shù)的對稱性問題 6題型三：正切函數(shù)的周期性問題 8題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題 10題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題 13題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題 15題型七：正切函數(shù)的圖像問題 17題型八：解不等式問題 21題型九：比較大小問題 23題型十：正切函數(shù)的綜合問題 26題型十一：根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題 30

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：正切函數(shù)的圖象1、正切函數(shù)，且，圖象：知識點二：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當且無限接近于時，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當，無限減小，記作（趨向于負無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識點詮釋：1、觀察正切函數(shù)的圖象還可得到：點是函數(shù)，，且的對稱中心，正切函數(shù)圖象沒有對稱軸2、正切函數(shù)在開區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，不能說正切函數(shù)在整個定義域上是增函數(shù)．知識點三、正切函數(shù)型的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：【典型例題】題型一：正切函數(shù)的定義域問題【典例11】（2024·高一·陜西寶雞·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正切函數(shù)的定義域，令，即，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.【典例12】（2024·高一·湖南株洲·階段練習）函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)有意義，則滿足，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】求三角函數(shù)定義域時，常常歸納為解三角不等式組，這時可利用基本三角函數(shù)的圖象求得解集．【變式11】（2024·高一·全國·專題練習）函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，即，所以，，所以，，故B項正確.故選:B.【變式12】（2024·高一·遼寧沈陽·階段練習）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【解析】由已知可得且，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故選：C.【變式13】（2024·高一·內(nèi)蒙古包頭·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，解得，函數(shù)的定義域為.故選：A.題型二：正切函數(shù)的對稱性問題【典例21】（2024·高一·山東濰坊·期末）函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則常數(shù)的一個取值為.【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】因為的圖象關于點中心對稱，所以，解得，故答案為：（答案不唯一，滿足即可）【典例22】（2024·高一·山東威?！るA段練習）已知函數(shù)，的圖象的對稱中心是．【答案】【解析】由函數(shù)可得，，解得：，即的圖象的對稱中心是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】正切曲線與軸的交點及其漸近線與軸的交點都是正切曲線的對稱中心，正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．【變式21】（2024·高一·陜西·階段練習）已知函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則．【答案】2【解析】由題意可得，即，則.故答案為：2.【變式22】（2024·高一·全國·專題練習）已知函數(shù)圖象的一個對稱中心為，則的值為．【答案】或【解析】由，得．又，則或．故答案為：或．【變式23】（2024·高一·廣東茂名·期末）已知函數(shù)，其最小正周期為，則的一個對稱中心的坐標為．【答案】，（答案不唯一，橫坐標只需符合）【解析】根據(jù)，得，則，令，即，所以．故答案為：（答案不唯一，橫坐標只需符合）【變式24】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，若函數(shù)為奇函數(shù)，則最小正數(shù)m的值為.【答案】【解析】因為，若函數(shù)為奇函數(shù)，且正數(shù)m取到最小值，即把位于y軸右側(cè)的第一個對稱中心平移至坐標原點，令，解得，當時，則，即位于y軸右側(cè)的第一個對稱中心為，所以正數(shù)m取到最小值.故答案為：.題型三：正切函數(shù)的周期性問題【典例31】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的最小正周期為.【答案】【解析】依題意可知，故函數(shù)的最小正周期.故答案為：【典例32】（2024·高一·全國·單元測試）已知函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則，．【答案】40【解析】的圖象的相鄰兩支截直線所得線段的長度即為的一個周期，∴，，，∴．故答案為：4；0.【方法技巧與總結(jié)】一般地，函數(shù)的最小正周期為，常常利用此公式來求周期．【變式31】（2024·高一·上海·隨堂練習）函數(shù)的最小正周期為．【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為：故答案為：.【變式32】（2024·高一·江西吉安·期末）函數(shù)的最小正周期為．【答案】4【解析】設的最小正周期為，而.故答案為：4【變式33】（2024·高一·遼寧大連·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則函數(shù)y=fx的解析式為.【答案】【解析】如圖所示.區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設函數(shù)的最小正周期為，則，由題意可得，解得，故，可得，即，又的圖象過點，即，因為，所以，解得.故.故答案為：.【變式34】（2024·高一·河南許昌·階段練習）已知函數(shù)，y=fx的部分圖象如圖，則.【答案】【解析】由題意可知：的最小正周期，且，可得，又因為，且，則，可得，即，且，即，可得，所以．故答案為：．題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題【典例41】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．【答案】【解析】先求出函數(shù)的定義域，然后利用復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法求解即可由，得，令，則，因為在(0,+∞)上為減函數(shù)，而在上為增函數(shù)，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故答案為：．【典例42】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【解析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得，.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)（，，都是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間的方法若，由于在每一個單調(diào)區(qū)間上遞增，故可用“整體代換”的思想，令，，解得的范圍即可．若，可利用誘導公式先把的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可．【變式41】（2024·高一·上海·專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】．【解析】令，，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是:．故答案為:．【變式42】（2024·高一·上?！て谥校┖瘮?shù)包含的一個嚴格增區(qū)間是．【答案】【解析】令，解得，可知函數(shù)嚴格增區(qū)間是，又因為包含，可知，所以函數(shù)包含的一個嚴格增區(qū)間是.故答案為：.【變式43】（2024·高一·全國·課堂例題）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【解析】．由，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：【變式44】（2024·高一·江西南昌·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】,解得，,當時，是增函數(shù)，是減函數(shù)，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題【典例51】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的最小值為.【答案】2【解析】因為，由于，所以當時，函數(shù)取最小值2.故答案為：2【典例52】（2024·高一·上海·期中）函數(shù)，的最大值為.【答案】【解析】當時，所以在上單調(diào)遞增，所以當時取得最大值，即.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．【變式51】（2024·高一·上海浦東新·期中）函數(shù)，的最大值與最小值之和為.【答案】【解析】令，，，則，因為對稱軸為，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，，當時，，函數(shù)的最大值與最小值之和為.故答案為：.【變式52】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）函數(shù)在上的最大值為4，則實數(shù)的值為.【答案】【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，，因此，解得，所以實數(shù)為.故答案為：.【變式53】（2024·高一·上海·課堂例題）求函數(shù)的最大值、最小值，并求函數(shù)取得最大值或最小值時自變量x的集合.【解析】令（，），則.當時，；當時，，當且僅當，即時，取等號，所以，所以，時取到等號；當時，所以，，當且僅當，即時，所以，所以，時取到等號.所以，y的最小值為，此時，；y的最大值為3，此時，.所以當時，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)；當時，函數(shù)取得最小值，自變量的集合為，當時，函數(shù)取得最大值，自變量的集合為.【變式54】（2024·高一·上海·專題練習）求函數(shù)的最大值，并求當函數(shù)取得最大值時，自變量的集合.【解析】因為，令，則，，因為，所以，即時，即，，即當時函數(shù)取得最大值題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題【典例61】（2024·高一·甘肅蘭州·階段練習）函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】B【解析】函數(shù)，定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，其最小正周期.故選：B.【典例62】（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若0在定義域內(nèi)，由時，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時，無意義，得．綜上，．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】奇函數(shù)，即．【變式61】（2024·高一·湖北武漢·期中）已知函數(shù)與x軸交于A，B兩點，且線段AB長度的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后恰好為奇函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因為函數(shù)與x軸交于A，B兩點，且線段AB長度的最小值為，可得函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，又因為為奇函數(shù)，可得，即，因為，當時，可得；當時，可得，所以的值為或.故選：D.【變式62】（2024·高一·全國·專題練習）把函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得因為為奇函數(shù)，所以，；因此，，結(jié)合，取得的最小值為2.故選：A.【變式63】（2024·浙江·模擬預測）已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關于原點對稱，則，，所以，，又，所以當時，取得最大值，最大值為．故選：A【變式64】（2024·高一·河南鄭州·階段練習）已知，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】，則.故.故選：A題型七：正切函數(shù)的圖像問題【典例71】（2024·高一·北京昌平·期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【解析】由圖知，得到，又由圖知，由，得到，又，所以，由，得到，所以，得到，故選：C.【典例72】（2024·高二·寧夏石嘴山·期末）有一個函數(shù)的圖象如圖，其對應的函數(shù)解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象知，函數(shù)定義域為，，對于A選項，定義域為，故A錯誤；對于B選項，，當時，，故B錯誤；對于C選項，，當時，無意義，故C錯誤；對于D，的定義域為，，且，則的圖象關于軸對稱，所以符合題意.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】作正切型函數(shù)圖象應注意的問題作的圖象一般是先作出其在一個周期內(nèi)的圖象，由于在一個周期內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，不需要使用五點法，直接利用單調(diào)性作圖即可．【變式71】（2024·安徽·模擬預測）如圖，函數(shù)的部分圖象與軸相交于兩點，與軸相交于點，且的面積為，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意，當時，，又的面積為，函數(shù)的周期為，可得周期，故選：B.【變式72】（2024·湖北武漢·模擬預測）函數(shù)的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設函數(shù)的最小正周期為，則，由題意得，解得，故，得，即，的圖象過點，即，∵，則，∴，解得．∴∴.故選：A【變式73】（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期末）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的周期為，排除A、C，當時，，排除D.故選：B.題型八：解不等式問題【典例81】（2024·高一·廣西欽州·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，得，解得，所以不等式的解集為.故選：A【典例82】（2024·高一·貴州遵義·期中）不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，，得.故選：C【方法技巧與總結(jié)】整體法，再利用圖像解決．【變式81】（2024·高一·四川成都·期中）已知角為斜三角形的內(nèi)角，，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角為斜三角形的內(nèi)角，則，，即，故.故選：D.【變式82】（2024·高一·安徽阜陽·階段練習）滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】由，，故選：D【變式83】（2024·高三·北京豐臺·期末）如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，令，且，解得，，令，則，則hx在上單調(diào)遞增，，則，則當時，，，則滿足，即，當時，，且單調(diào)遞減，，且hx單調(diào)遞增，則x∈0,1時，，即；時，，即；綜上所述：的解集為，故選；C.【變式84】（2024·高一·陜西渭南·期末）已知且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，當時，則即，解得，所以，當時，則即，解得，所以，當時，此時無意義，故舍去，綜上可得.故選：B題型九：比較大小問題【典例91】（2024·高一·北京延慶·期中）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是鈍角，所以，，，因為，在0,π上是減函數(shù)，所以，而在上是增函數(shù)，可得，所以，所以，故選：A.【典例92】（2024·高一·山東東營·期末）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，由知，故A錯誤；對于B，顯然有，故B錯誤；對于C，由有，故C錯誤；對于D，由有，故D正確.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．【變式91】（2024·高一·遼寧大連·期中）設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由函數(shù)在上單調(diào)遞增得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減得，所以.即.故選：D【變式92】（2024·高一·北京門頭溝·期中）比較、、的大小關系（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即.故選：D【變式93】（2024·高一·河南商丘·階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，又，且所以，故選：D.【變式94】（2024·高一·安徽·階段練習）已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，其在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因為在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，令在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，可得且，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，，，根據(jù)單位圓圖形易知，則，所以.故選：A.題型十：正切函數(shù)的綜合問題【典例101】（2024·高一·河南·階段練習）函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關于點對稱．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由題意知，函數(shù)的最小正周期為，因為，所以，所以因為函數(shù)y=fx的圖象關于點對稱，所以，，即，，因為，所以，故．令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由（1）知，．由，得，，即，

所以不等式的解集為：.【典例102】（2024·高一·安徽銅陵·期中）已知函數(shù)（）的最小正周期為．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求．【解析】（1）由題可知，解得，所以，令，，可得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），即，因為，所以，所以，所以．【變式101】（2024·高一·重慶銅梁·階段練習）已知函數(shù)，，其中．(1)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時的取值范圍．【解析】（1）當時，函數(shù)，而，則當時，，當時，，所以函數(shù)的最大值和最小值分別為和.（2）函數(shù)圖象的對稱軸為，依題意，或，解得或，又，解得或，所以的取值范圍是.【變式102】（2024·高一·廣東潮州·階段練習）已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為4.(1)求的定義域（用區(qū)間表示）；(2)若是定義在上的函數(shù)，求關于的不等式的解集.【解析】（1）根據(jù)題意可得，解得，則.由，得，即的定義域為.（2）由（1）得，其定義域為.關于的不等式即，即.當時，，則，因為，所以成立.當時，因為函數(shù)在0,2上單調(diào)遞增，函數(shù)在0,2上單調(diào)遞增，所以hx在0,2上單調(diào)遞增，因為，所以.綜上，關于的不等式的解集為.【變式103】（2024·高一·河南南陽·階