2022北京通州高二(上)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京通州高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）橢圓上一點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離為3，則到另一個焦點(diǎn)的距離是A．47 B．7 C．5 D．22．（4分）已知雙曲線，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．3．（4分）已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．4．（4分）設(shè)，，則與的等比中項為A．4 B． C． D．5．（4分）等差數(shù)列的公差，且，，則數(shù)列的通項公式是A． B． C． D．6．（4分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則A．32 B．31 C．16 D．157．（4分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為A． B．3 C．16 D．158．（4分）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（4分）如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（結(jié)果精確到（參考數(shù)值：．A． B． C． D．10．（4分）已知數(shù)列滿足：，，則A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．（5分）已知等比數(shù)列，，，則公比．12．（5分）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的一個取值為．13．（5分）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則．14．（5分）設(shè)數(shù)列滿足，則，．15．（5分）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是上一個動點(diǎn)，為與線段的交點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)作軸的垂線，經(jīng)點(diǎn)作直線垂線，為垂足．則點(diǎn)的軌跡方程為．16．（5分）已知曲線．關(guān)于曲線有四個結(jié)論：①直線是曲線的一條對稱軸．②曲線是中心對稱圖形．③設(shè)曲線所圍成的區(qū)域面積，則．④曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是．則其中所有正確的結(jié)論序號是．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．18．（13分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）求拋物線的方程；（Ⅲ）設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（13分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，再從條件①：；②：；③：這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．20．（13分）已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時，求線段的長；（Ⅱ）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．21．（14分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線與交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍．22．（15分）設(shè)數(shù)列的前項和為，，且．（Ⅰ）若．（ⅰ）求；（ⅱ）求證數(shù)列成等差數(shù)列．（Ⅱ）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】先根據(jù)條件求出；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離的等式即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)所求距離為，由題得：．根據(jù)橢圓的定義橢圓上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離的和等于得：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的定義．在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．2．【分析】利用雙曲線方程，求解，，求解離心率．【解答】解：雙曲線，，，則，可得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．3．【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)即可求出．【解答】解：，，則與的等比中項為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比中項的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意列式求出公差，然后代入等差數(shù)列的通項公式求解．【解答】解：由，，且，解得，．所以．則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，如果給出了等差數(shù)列公差和第項，則，是基礎(chǔ)題．6．【分析】數(shù)列的前項和為，且，利用公式直接求解．【解答】解：數(shù)列的前項和為，且，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的第5項的求法，考查公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．【分析】設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義可知，進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為求取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)，，三點(diǎn)共線時最小，即可求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義可知，要求取得最小值，即求取得最小，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時最小，為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的定義、性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8．【分析】根據(jù)題意，假設(shè)數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，求出的取值范圍，由此結(jié)合充分必要條件的定義，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則有，且變形可得，又由且，則，故當(dāng)時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，反之不一定成立，故“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”充分而不必要條件，故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)代入拋物線方程求得，得到拋物線方程，再把代入拋物線方程求得，即可得到答案．【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，可得拋物線的方程為，代入，，得故水面寬度為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線解決實(shí)際問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】由，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項，推導(dǎo)出數(shù)列從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出．【解答】解：數(shù)列滿足：，，，，，，，，，，，，數(shù)列從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的第2022項的求法，考查遞推公式、遞推思想，周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求解．【解答】解：等比數(shù)列，，，則，即，解得．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．12．【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得且，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可得，即有，且，解得．故可取1．故答案為：1（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由已知直接利用等差中項的概念得答案．【解答】解：數(shù)列為等差數(shù)列，且，，得．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差中項的概念，是基礎(chǔ)題．14．【分析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，作差得：，由此能求出．【解答】解：數(shù)列滿足，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，②①②，得：，，，，當(dāng)時，成立，故．故答案為：1，．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的首項和第項的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．【分析】設(shè)，，，根據(jù)條件求得，進(jìn)而利用，在圓上，可得到的軌跡方程．【解答】解：設(shè)，，，過點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)交軸于，則，，因為點(diǎn)是上一個動點(diǎn)，為與線段的交點(diǎn)，顯然為的中點(diǎn)，所以，，因為軸，所以為中點(diǎn)，故，即，因為，在圓上，所以，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)軌跡方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】①設(shè)是曲線上的點(diǎn)，則此點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)為，將代入驗證是否一定等于1；②代入驗證和原表達(dá)式是否一致，即可判斷；作出圖象驗證③④．【解答】解：①設(shè)是曲線上的點(diǎn)，則此點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)為，因為，代入點(diǎn)則有，只有時，才可能值為1，故不正確；②代入得，故曲線關(guān)于中心對稱；當(dāng)則，曲線的方程可化為，兩邊平方化簡得：，同理當(dāng)時，曲線的方程化簡為：，作出圖象，如圖所示：③所圍成的區(qū)域面積大于四個直角三角形的面積之和，小于矩形面積，故，所以正確；④由圖象可得上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為，故錯誤．故答案為：②③．【點(diǎn)評】本題考查了推理能力、作圖能力、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，首項為，根據(jù)條件列出方程組求解，，代入通項公式可得結(jié)果；（Ⅱ）采用分組求和法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列公差為，首項為，則有，解得，所以，即數(shù)列的通項公式；（Ⅱ），所以．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列通項公式，分組求和的知識，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）由橢圓的方程可得，的值，進(jìn)而求出值，求出橢圓的離心率；（Ⅱ）由（1）可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值級拋物線的方程；（Ⅲ）設(shè)的坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)可得的值，由題意求出的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓的方程可得，，可得，所以，，可得橢圓的離心率；（Ⅱ）由（1）可得橢圓的右焦點(diǎn)為，由題意可得，即，所以，所以拋物線的方程為：；（Ⅲ）由（2）可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的性質(zhì)可得，而，所以，可得，代入拋物線的方程可得，可得，所以的坐標(biāo)為．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得公差和公比，進(jìn)而得到所求；（Ⅱ）求得，再由數(shù)列的裂項相消求和及不等式的性質(zhì)可得證明．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，選①：，又，，可得，，解得，，則；；選②：，又，，可得，，解得，，則；；選③：，又，，可得，，解得，，則；；（Ⅱ）證明：，則．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．20．【分析】由，消去得，，，由弦長公式可得線段的長；聯(lián)立直線和雙曲線的方程，化為關(guān)于的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出，兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)得到，代入后即可求得的值，最后驗證是否符合判別式大于0．【解答】解：當(dāng)時，由，消去得．設(shè)，，，．，，所心；聯(lián)立，消去得，．直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，，即．由△，得．，且．設(shè)，，，．則，．所以．因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以．即，解得．滿足，所以的值是．【點(diǎn)評】本題考查了直線與雙曲線的關(guān)系，考查了弦長公式，是中檔題．21．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得，解得，，，即可得出答案．（Ⅱ）設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)，，則，作差可得①，又線段的垂直平分線過點(diǎn)，則②，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，由△，得，結(jié)合韋達(dá)定理可得③，由①②③化簡即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，解得，，，所以橢圓的方程為，焦點(diǎn)為，．（Ⅱ）設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以，①因為線段的垂直平分線過點(diǎn)，所以，即，②聯(lián)立，得，△，即，所以，所以③，把③代入②，得，④把③④代入①得，①所以，所以，即，代入得，，所以，且，所以的取值范圍為，，．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．22．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出，，，由，利用遞推公式依次求出數(shù)列的前7項，由此能求出．（ⅱ）由，，，，猜想是首項，公差的等差數(shù)列，從而，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明．（Ⅱ）設(shè)，由，得，，，，由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，由此利用已知條