2024年人教版高一數(shù)學(xué)講義：三角函數(shù)的概念（解析版）

第23講三角函數(shù)的概念

T模塊導(dǎo)航—素養(yǎng)目標(biāo)?

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義;

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.掌握任意角的三角函數(shù)值在各象限的符號；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三3.會利用任意角的三角函數(shù)的定義求值；

模塊四小試牛刀過關(guān)測4.掌握公式一并會應(yīng)用.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)

任意角的三角函數(shù)的定義

用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

三角函數(shù)的定義域和三角函數(shù)值的符號三角函數(shù)的定義域—

-----------------------------------------------------三角函數(shù)值在各象限的符號

三角函數(shù)的概念

終邊相同的角的三角函數(shù)值公式一

特殊角的三角函數(shù)值

已知終邊上一點(diǎn)

三角函數(shù)定義的應(yīng)用已知三角函數(shù)值與終邊上一點(diǎn)隨縱坐標(biāo)

終郵斤一線或點(diǎn)坐標(biāo)含四

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理一

知識點(diǎn)1任意角的三角函數(shù)的定義

1、利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)

設(shè)a是一個任意角，它的終邊0P與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）.

三角函數(shù)定義記作符號表示

正弦函數(shù)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)sin。y=sina

余弦函數(shù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)cosax=cosa

點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)

正切函數(shù)tana—=tana(xw0)

與橫坐標(biāo)的比值X

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為:

正弦函數(shù)y=sinx,xG7?

余弦函數(shù)y=cosx,x￡R

正切函數(shù)y=tanx,x手力+k兀｛keZ、

2、用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)若。是一個任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)尸（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為（X/）,點(diǎn)尸到原點(diǎn)的

是巨離為尸位二J%?+J?),貝!|sina=2,cosa=—,tancr=—.

“rrx

【注意】三角函數(shù)值的大小只與角的大小有關(guān)，與終邊上點(diǎn)尸的位置無關(guān).

知識點(diǎn)2三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號

1、三角函數(shù)的定義域

三角函數(shù)定義域

sinaa\a

cosaa\a

711

tana<aa半k7i+—,keZ\

I2J

【說明】單位圓上兀y的取值范圍是[-1,1],根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，我們可以得到正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)的值域.

2、三角函數(shù)值在各象限的符號

根據(jù)三角函數(shù)的定義以及單位圓上點(diǎn)的位置（在哪個象限），可以得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的

值在各個象限的符號，如下圖.

九y八y

++++

-OX

++0

sinctcosatana

由于原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，值

（1）正弦函數(shù)值的符號取決于縱坐標(biāo)y的符號；

（2）余弦函數(shù)值的符號取決于橫坐標(biāo)x的符號；

（3）正切函數(shù)值的符號取決于由的符號共同決定，即同號為正，異號為負(fù).

【三角函數(shù)值的符號記憶】

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

其含義是：第一象限中各三角函數(shù)值全是正數(shù)，第二象限中只有正弦值為正數(shù)，第三象限中只有正切值為

正，第四象限中只有余弦值為正.

知識點(diǎn)3終邊相同的角的三角函數(shù)值

1、公式一：由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一:

sin（a+2左左）=sina

cos（a+2k兀）=cosa

tan（a+2%］）=tana其中左eZ

注意：（1）利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0?2兀（或0。?360。）范圍內(nèi)角的三

角函數(shù)值.

（2公式一統(tǒng)一概括為八左2兀+a）=/（a）aez）,或人上36（F+a）=Aa）伏GZ）.其特征是：等號兩邊是同名函

數(shù)，且符號相同，即同名同號.

2、特殊角的三角函數(shù)值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

717171713萬5萬37r

071

6432346

sinaV2V3V3V22

010-1

2~2"T~2~2

cosaV31V3

10-10

~T~T2-2FF

tan。V3

01V3-V3-10

T/一百X

知識點(diǎn)4三角函數(shù)定義的應(yīng)用

1、已知角a的終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)，求角a的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解；

2、已知角a的一個三角函數(shù)值和終邊上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角戊有關(guān)的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未

知數(shù)，從而求解問題；

3、已知角a的終邊所在的直線方程（y=kx,左片0）,求角a的三角函數(shù)值

方法：先設(shè)出終邊上的一點(diǎn)P（a,而）（aw0）,求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解（注

意a的符號，對a分類討論）

?模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一由終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值考點(diǎn)四由符號確定角所在的象限

考點(diǎn)二由三角函數(shù)值求終邊上點(diǎn)的參數(shù)考點(diǎn)四圓上的動點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)

考點(diǎn)三判斷三角函數(shù)值的符號考點(diǎn)五誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用

考點(diǎn)一：由終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值

例1.（23-24高一下?河南洛陽?期末）已知角&的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)

尸（-6,-8）為角a終邊上一點(diǎn)，貝ijcosa=（）

433

A.B.C.D.

55

【答案】D

3

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)尸（-6,-8）為角。終邊上,故cosa=故選：D.

5

【變式1-1］（23-24高一下?遼寧?月考）若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（L2）,則—s23cos>（）

6cosa—2sinacosa

【答案】D

【解析】因?yàn)榻?。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1,-2）,

-2

所以smc=

^12+(-2)2

匚匚2sina+3cos%='.故選：D

所以----3-----：-----廠

6cosa-2sindzcosa

【變式1-2］（23-24高一下?上海奉賢?期中）已知鈍角a的終邊上的一點(diǎn)（4人,-3左），則sina=.

3

【答案】-/0.6

【解析】因?yàn)殁g角a的終邊上的一點(diǎn)尸（4后,-3左），所以上＜0,

則Q尸|=—5^^sin?=—=-

-5k5

3

故答案為：—

【變式1-3］（23-24高一下?河北張家口?月考）已知角a的終邊落在直線y=-；x上，求sina,costz,tana

的值.

【答案】答案見解析

【解析】因?yàn)榻莂的終邊落在直線＞=x上，而直線即過第二象限也過第四象限，

當(dāng)角a的終邊在第二象限時(shí)，在直線上取一點(diǎn)（-2,1）,

1yj~5-22/511

■==----ccq"=-==-------tan"==——

65'V55'-22

當(dāng)角1的終邊在第四象限時(shí)，在直線上取一點(diǎn)（2,-1）,

-1V522X/3-11

5'V55'22,

考點(diǎn)二：由三角函數(shù)值求終邊上點(diǎn)的參數(shù)

|、,例2.（23-24高一上?廣東揭陽?月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/⑶刈在角a的終邊上，若sina=下,

則加=（）

A.-6或1B.-1或6C.6D.1

【答案】C

【解析】因點(diǎn)M（3,刈在角a的終邊上，則sina=/.=攣,故機(jī)＞0,解得，〃=6.故選：C.

一/21nS

3

【變式2-1］（23-24高一下?河南南陽?期中）已知角6的終邊經(jīng)過點(diǎn)P?！?-1）,且cose=-^，則加=（）

【答案】B

nm33

【解析】由題知—'解得八一“故選：B.

2

【變式2-2]（23-24高一下?江西撫州?期中）已知角0的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-3,機(jī)），若tane="貝ijsina=

入2V13口2而八3VT3n3V13

13131313

【答案】A

【解析】因?yàn)榻?。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-3,冽），且tana=葭

m2

所以tana=-----=—,解得m=-2,

33

【變式2-3]⑵-24高一上?廣東肇慶?期末）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（5,。，且sina=-耳，則tana二

12

【答案】-y

【解析】由角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（5,7）,可得」=卯=，25+產(chǎn),

12t121?

Hsina――――,可得~/==一?T，所以才=-12,所以tana=--—.

13V25+?2135

12

故答案為：

考點(diǎn)三：判斷三角函數(shù)值的符號

例3.（23-24高一下?云南保山?期中）（多選）下列選項(xiàng)中，符號為負(fù)的是（)

A.sin一B.cos一C.tan2D.cos2

22

【答案】ACD

兀

【解析】sin蘭3=-1,cos3三it=0,故A正確，B錯誤;

22

jr

因?yàn)橐?lt;2<兀，是第二象限角，所以tan2<0,cos2<0,故C、D正確.故選：ACD.

2

【變式3-1］（23-24高一下?遼寧大連?月考）已知尸（cos2,tanl）,則點(diǎn)尸所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】In歿wS??,故tanl>0；

71

1QQ°

2=2x——?114.6°,故cos2<0.

71

故點(diǎn)P在第二象限.故選：B

【變式3-2］（23-24高一下?江西南昌?月考）已知角42是三角形28c的兩個內(nèi)角，則點(diǎn)P（cos4cos8）（）

A.不可能在第一象限B.不可能在第二象限

C.不可能在第三象限D(zhuǎn).不可能在第四象限

【答案】C

【解析】對于A,當(dāng)角48是銳角時(shí)，cos/>0,cos8>0,點(diǎn)尸在第一象限，錯誤；

對于B,當(dāng)角A是鈍角，角B是銳角時(shí)，cos/<0,cosB>0，點(diǎn)尸在第二象限，錯誤；

對于C,因三角形最多有一個鈍角，故cos/與cosB不可能同時(shí)小于0,

即點(diǎn)尸不可能在第三象限，正確；

對于D,當(dāng)角A是銳角，角B是鈍角時(shí)，cos/>0,cos2<0,點(diǎn)尸在第四象限，錯誤.故選：C

.aa…a

sin—2cos—3tan—

【變式3-3］（23-24高一下?貴州遵義?月考）（多選）若角a的終邊在第三象限，則］~?—4--------看

sm—cos—tan—

的值可能為（）

A.0B.2C.4D.-4

【答案】BC

jrjr（7TT

【解析】由角a的終邊在第二象限，得—兀+2祈<a<----1-2^71,kGZ,則----\-kit<—<------卜eZ,

2224

因此1是第二象限角或第四象限角，

2

.aaa

sm—2cos—3tan—

當(dāng)今是第二象限角時(shí)，匚高+r一一^=1-（-3）=2,

sin—2cos—3tan—

當(dāng)?是第四象限角時(shí)，rA+I————4=-1+2-卜3)=4.故選：BC

考點(diǎn)四：由符號確定角所在的象限

例4（23-24高一上?寧夏吳忠?期末）若cos6tan6<0,則。是第象限角.

【答案】三或四

【解析】由于cos8tane<0,所以cosatan。一?正一負(fù)，

當(dāng)夕是第一象限角時(shí)，cos&tan。均為正數(shù)，不符合，

當(dāng)。是第二象限角時(shí)，cos&tan。均為負(fù)數(shù)，不符合，

當(dāng)。是第三，或者第四象限角時(shí)，cos。，tang一正一負(fù)，符合，

故答案為：三或四

【變式4-1］（23-24高一下?北京?期中）若6滿足sin"0,tan0>0,貝歷的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由sine<0可知e的終邊在第三象限或第四象限或y軸負(fù)半軸上，

由tane>0,可知e的終邊在第一象限或在第三象限，

則e的終邊在第三象限，故選：C.

【變式4-2］（22-23高一下?山西大同?月考）已知sinacosa<0,且costz>0,則角a的終邊位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閟inecosa<0,旦cosa>0,所以sina<0,即角a的終邊位于第四象限.故選:D.

【變式4-3］（23-24高一下?上海?月考）若6終邊不在坐標(biāo)軸上，且cose|cosM+sinMsine|=-l,貝!|。在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】因?yàn)閏os0|cos+sin。=一1=一卜in?。+cos?。),

所以卜in=-sin夕一cos6=|cos0\,

所以cos。W0,sin6V0,。終邊不在坐標(biāo)軸上

所以。在第三象限.故選：C.

考點(diǎn)五:圓上的動點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)

5.（23-24高一上?安徽六安?期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系工。中，動點(diǎn)P、。從點(diǎn)4（1,0）出

IT1IjT

發(fā)在單位圓上運(yùn)動，點(diǎn)尸按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)而弧度，點(diǎn)。按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)出弧度，則尸、。兩

()

C.1叵D.

/

兀11兀

【解析】相遇時(shí)間為，=4x2兀+------1-------=8秒,

1212

故尸轉(zhuǎn)過的角度為導(dǎo)8=弓

其對應(yīng)的坐標(biāo)為卜os2g兀,s.in2g兀）,即視.故選:

C

337

rr

【變式5-1］（23-24高一上?湖北荊州?期末）單位圓上一點(diǎn)P從（0,1）出發(fā)，逆時(shí)針方向運(yùn)動自弧長到達(dá)。點(diǎn),

0

則。點(diǎn)的坐標(biāo)為（

)、

(1心一］V3j_

A.B.C.D.

12句口'NT'2

\77

【答案】A

【解析】點(diǎn)尸從（0,1）出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動2弧長到達(dá)。點(diǎn)，

6

所以N0Ox=g+m=￥，所以°（cos￥，sin￥］，

263133）

其中cos仝=-Lsin型,即0點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.

3232{22J

【變式5-2］（23-24高一上?福建莆田?期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動點(diǎn)P、。從點(diǎn)么（1,0）

jr11冗

出發(fā)在單位圓上運(yùn)動，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)芻弧度，點(diǎn)。按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)管弧度，則P、Q

1212

兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

【解析】相遇時(shí)間為:=1804x2無+1］+巖J=3608秒,

JT9JT

故尸轉(zhuǎn)過的角度為二義3608=300兀+工，

123

故對應(yīng)坐標(biāo)為kos?,sin］。，即-；,孚.

故答案為：一［,W］

【變式5-3］（22-23高一下?山西忻州?開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系xQy中，若點(diǎn)尸從點(diǎn)（3,0）出發(fā)，沿圓心在

11兀

原點(diǎn)，半徑為3的圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

~6~

空之、335

A.B.

【答案】c

【解析】根據(jù)題意可知，作出圖示如下:

根據(jù)題意可得。尸=3,=作尊J_X軸且垂足為Q；

利用三角函數(shù)定義可得OQi=3xcosZPOQ=乎，。屐=3xsinZPOQ=|；

又。點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為.故選：C

考點(diǎn)六：誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用

例6.（23-24高一下?江西吉安?月考）sin30（Tcos0。的值為（）

1]AT

A.0B.?C.--D.一號

【答案】D

自

【解析】sin300°cos0°=sin（300°-360°）=sin（-60°）=-sin60°=.M：D.

【變式6-1](23-24高一下?黑龍江綏化?月考)sin(-1050°)=()

A.|B.—C.--D.

2222

【答案】A

【解析】sin(-1050°)=—sinl050°=—sin(3x360°—30°)=sin30°=g.故選：A

【變式6-2]（22-23高一下?遼寧葫蘆島?期末）sm彳的值為（）

V2

A.B.C.D.旦

~T2

【答案】D

【解析】5嗎屋"4T卜嗚=?故選：D.

【變式6-3】（23-24高一下?河南南陽?月考）sin

D.

2

【答案】C

【解析】=sin]-l（kJ=sin5=程.故選：C

6模塊四小試牛刀過關(guān)測--------------------------

一、單選題

1.（23-24高一下?河南?月考）若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（T,也），貝!|sina=（）

AV3D.一逅

B.一見Vr/?-娓---

3333

【答案】c

.VV2V6

【解析】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-1,亞），所以sma=一一"+詆故選：C

r

2.（23-24高一下?貴州仁懷?月考）cos（-300。）的值（）

BC

A.4--T-fD-

【答案】D

【解析】cos(-300°)=cos(-360°+60°)=cos60°=1,故選：D

3.（23-24高一下?河南南陽?期末）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（4,加）（機(jī)/0）,且sina=￡,則爪=（）

A.3B.±3C.5D.±5

【答案】B

【解析】因?yàn)橐阎?。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（4,加乂加#0）,且siwz=￡,

.mm

所以sine=2=三，解得加=±3,故選：B.

+m25

4.（23-24高一下?廣西桂林?月考）若角夕的終邊經(jīng)過點(diǎn)/（T2sina）,且ae（O,7i）,則a=（）

【答案】D

.2sina

【解析】由三角函數(shù)定義可得sme=工..，

2W

因?yàn)閍e（0,7i）,sina>0,所以1=力，,？，解得sina=L,

Vl+4sina2

2兀

易知，點(diǎn)工在第二象限，所以故選：D

5.（23-24高一下?北京?月考）已知角&終邊上有一點(diǎn)尸（2sin3,-2cos3）,則a為（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

TT

【解析】依題意，一<3<兀，則sin3>0,cos3<0,gp2sin3>0,-2cos3>0,

2

所以點(diǎn)P在第一象限，即。為第一象限角.故選：A

6.（23-24高一上?浙江杭州?月考）點(diǎn)尸從（0,-1）出發(fā)，沿著單位圓的邊界順時(shí)針運(yùn)動與弧長到達(dá)點(diǎn)。，貝1J

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

（拒I〕n⑻,1⑻（拒一

（22）（2I22）[22）

【答案】D

【解析】由題意，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，斗

以。所在的射線。。為終邊的最小正角為費(fèi)，

由任意角的三角函數(shù)的定義可得，）―X

。的坐標(biāo)為（cos”,sin"），即故選：D.I

、多選題

7.（23-24高一下?江西吉安?月考）下列函數(shù)值中，符號為負(fù)的為（

A.sin—7iB.cosD.tan2

【答案】CD

【解析】...§兀=2兀+"|,，3兀是第一象限角，，5詒3兀>0,

?..一弓是第四象限角，二85[-弓）>0；

2冗27r2兀2冗2兀

???子是第二象限角，siny>0,COSy<0,/.SinyCOSy<0:

71

?；一<2<71,；.2是第二象限角，.?.tan2<0.故選：CD.

2

8.（23-24高一上?福建泉州?月考）若角"的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-31,由）（/>0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.。是第二象限角B.a是鈍角

C.tana=-yD.點(diǎn)（cosc,sina）在第二象限

【答案】ACD

【解析】由點(diǎn)尸（-3f,4f）（f>0）在第二象限，可得a是第二象限角，但不一定是鈍角，A正確，B錯誤;

4t4c

tana=----=—,C正確；

—3t3

由sina〉O,cosa<0,則點(diǎn)（cosa,sina）在第二象限，D正確.故選：ACD.

三、填空題

9.（23-24高一上?陜西咸陽?月考）已知角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在％軸的正半軸上，終邊與單位圓交

于第四象限的點(diǎn)尸，且