2020-2022年北京市初三一模數(shù)學試題匯編：相似三角形

第1頁/共1頁2020-2022北京初三一模數(shù)學匯編相似三角形一、單選題1．（2022·北京西城·一模）△ABC和△DEF是兩個等邊三角形，AB=2，DE=4，則△ABC與△DEF的面積比是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京東城·一模）一個直角三角形木架的兩條直角邊的邊長分別是，．現(xiàn)要做一個與其相似的三角形木架，如果以長的木條為其中一邊，那么另兩邊中長度最大的一邊最多可達到（

）A． B． C． D．3．（2020·北京·一模）如圖，矩形ABCD中，BC＝2AB，點E在邊AD上，EF⊥BD于點F．若EF＝1，則DE的長為（

）A． B． C．2 D．34．（2020·北京西城·一模）如圖，在數(shù)學實踐活動課上，小明同學打算通過測量樹的影長計算樹的高度，陽光下他測得長1m的竹竿落在地面上的影長為0.9m，在同一時刻測量樹的影長時，他發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在墻面上，他測得這棵樹落在地面上的影長BD為2.7m，落在墻面上的影長CD為1.0m，則這棵樹的高度是（

）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m二、填空題5．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在中，，點D在上（不與點A，C重合），只需添加一個條件即可證明和相似，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．6．（2022·北京通州·一模）如圖，在△ABC中點D在AB上（不與點A，B重合），連接CD．只需添加一個條件即可證明△ACD與△ABC相似，這個條件可以是______（寫出一個即可）．7．（2021·北京朝陽·一模）如圖，中，，點D是邊上的一個動點（點D與點不重合），若再增加一個條件，就能使與相似，則這個條件可以是____（寫出一個即可）．8．（2020·北京·一模）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，則_____．9．（2020·北京平谷·一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點E、F是BC的三等分點，連接AF，DE，相交于點M，則線段ME的長為_____．10．（2020·北京海淀·一模）如圖，在?ABCD中，延長CD至點E，使DE=DC，連接BE與AC于點F，則的值是_____．11．（2020·北京石景山·一模）如圖，身高1.8米的小石從一盞路燈下B處向前走了8米到達點C處時，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高AB為_____米．12．（2020·北京·一模）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和1D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為_______.

13．（2020·北京延慶·一模）如圖，小明在A時測得某樹的影長為3米，B時又測得該樹的影長為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_________米.三、解答題14．（2021·北京海淀·一模）如圖，四邊形是矩形，點E是邊上一點，．（1）求證：；（2）F為延長線上一點，滿足，連接交于點G．若，求的長．15．（2020·北京大興·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，DM⊥AB于點M．連接BD并延長到E，使DE＝BD，作EF⊥AB，交BA的延長線于點F．（1）求MB的長；（2）求AF的長．16．（2020·北京順義·一模）已知，如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點E，連接CE．①求∠AED的度數(shù)；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）．（2）如圖2，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長線于點E，連接CE．①依題意補全圖2；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

參考答案1．B【分析】所有的等邊三角形都相似，且相似比等于其邊長比，再利用兩個相似三角的面積之比等于其相似比的平方，即可求解．【詳解】∵△ABC和△DEF是兩個等邊三角形，∴，且有相似比為：，又∵兩個相似三角的面積比等于其相似比的平方，∴，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的基本性質(zhì)，利用兩個相似三角的面積比等于其相似比的平方是解答本題關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，以長的木條為直角邊，設(shè)相似的三角形中斜邊長為，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【詳解】∵直角三角形兩條直角邊分別是，，∴斜邊，∵要做一個與其相似的三角形木架，∴兩個三角形對應(yīng)邊成比例，∵直角三角形中斜邊最大，∴以長的木條為直角邊，設(shè)相似的三角形中斜邊長為，則有2種情況，①，解得：，②，解得：，∴另兩邊中長度最大的一邊最多可達到，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等進行計算是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】設(shè)AB＝x則BC＝2x，根據(jù)矩形ABCD中，，可得BD的長，證明，對應(yīng)邊成比例即可求出DE的長．【詳解】設(shè)AB＝x，則BC＝2x∵矩形ABCD中，∴∵∴∵∴∴，即∴故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)在同一時刻物高和影長比值相同，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似進而解答即可．【詳解】解：延長AC交BD延長線于點E，根據(jù)物高與影長成正比得：，∵CD=1，∴解得：DE=0.9，則BE=2.7+0.9=3.6米，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB=4，即樹AB的高度為4米，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線得到AB的影長．5．∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定定理：①兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；②兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵∠C=∠C∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．故答案為：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．【點睛】此題考查了補充條件使兩個三角形相似．解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理，特別注意用對應(yīng)邊成比例和一個角相等判定三角形相似的時候，其中相等的角一定要是這兩條邊的夾角．6．∠ACD=∠B（答案不唯一，或∠ADC=∠ACB或均可）【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件解答即可．【詳解】解：∵∠A=∠A∴添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．故答案是：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定．兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似；兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．7．答案不唯一，如：【分析】根據(jù)題目特點，結(jié)合三角形相似的判定定理，添加合適的條件即可．【詳解】∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，∴添加的條件是DB：BA=AB：BC；∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩組對應(yīng)角對應(yīng)相等相等的兩個三角形相似，∴添加的條件是；故答案為：DB：BA=AB：BC或．【點睛】本題考查了三角形相似的判定定理，熟練掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．【分析】證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．【分析】根據(jù)勾股定理即可得到DE的長，再根據(jù)△ADM∽△FEM，即可得到ME的長．【詳解】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點E、F是BC的三等分點，∴CE＝4，CD＝3，EF＝2，AD＝6，∴Rt△CDE中，DE＝＝5，∵AD∥EF，∴△ADM∽△FEM，∴＝，即＝，∴EM＝DE＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解決問題的關(guān)鍵．10．【分析】在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，根據(jù)DE=DC，可得AB=CD=DE=CE，再由AB∥CD，可得△ABF∽△CEF，對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論．【詳解】解：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∵DE=DC，∴AB=CD=DE=CE，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故答案為：．【點睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握并運用了相似三角形的判定與性質(zhì)．11．9【分析】根據(jù)CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，進而得出比例式求出即可．【詳解】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CDAB，則BE＝BC+CE＝10米，∵CDAB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝9（米），即路燈的高AB為9米；故答案為：9．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△ECD∽△EBA是解決問題的關(guān)鍵．12．【分析】先分別求出第一個正六角星形AFBDCE與第二個邊長之比，再根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，找到規(guī)律即可解答.【詳解】∵A1，F(xiàn)1，B1，D1，C1，E1，分別是△ABC和△DEF各邊中點，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2:1∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為同理可知，第二個六角星形的面積為第三個六角星形的面積為∴第n個六角星形的面積為【點睛】此題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形的面積比等于相似比的平方.13．6【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，進而可得；即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】根據(jù)題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=3，F(xiàn)D=12，易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，有，即DC2=ED×FD，代入數(shù)據(jù)可得DC2=36，DC=6，故答案為6．14．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和垂直的定義，得到，，即可得到結(jié)論成立；（2）由相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，求出，，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：∵由（1），∴．∵矩形中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，即．∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，以及垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的進行解題．15．（1）MB＝7；（2）AF＝4．【分析】（1）作CN⊥AB于點N，然后即可證明四邊形DMNC是矩形和△DMA≌△CNB，然后即可得到BM的長；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和三角形相似的知識，可以得到BF的長，然后根據(jù)AB=10，即可得到AF的長．【詳解】（1）作CN⊥AB于點N，∵AB∥CD，DM⊥AB，CN⊥AB，∴∠DMN＝∠MNC＝∠MDC＝90°，∴四邊形DMNC是矩形，∴DM＝CN，DC＝MN，在Rt△DMA和Rt△CNB中，，∴Rt△DMA≌Rt△CNB（HL），∴AM＝BN，∵AB＝10，CD＝4，∴AM＝BN＝3，MN＝4，∴MB＝MN+BN＝7；（2）∵DM⊥AB，EF⊥AB，∴DM∥EF，∴△BDM∽△BEF，∴，∵點D為BE的中點，∴BD＝BE，∴＝，∴＝，∵BM＝7，∴BF＝14，∵AB＝10，∴AF＝BF﹣AB＝14﹣10＝4．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．16．（1）①45°，②；（2）①見解析，②，證明見解析【分析】（1）①證明∠AED＝∠D＝15°，∠BAE＝30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．②結(jié)論：．作CK⊥BC交BD于K，連接CD．證明BE＝EK，DK＝AE即可解決問題．（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②結(jié)論：．過點A作AF⊥AE，交ED的延長線于點F（如圖3），利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】（1）解：①如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，由旋轉(zhuǎn)可知：AD＝AC，∠CAD＝90°．∴AB＝AD，∠BAD＝150°，∴∠ABD＝∠D＝15°，∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°．②結(jié)論：．理由：作CK⊥BC交BD于K，連接CD．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE＝EC，∠A