2025年冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)月考試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁(yè)，總=sectionpages22頁(yè)第=page11頁(yè)，總=sectionpages11頁(yè)2025年冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、如圖，在△ABC中，∠A=50°，點(diǎn)O是它的內(nèi)心，則∠BOC等于（）A.125°B.115°C.105°D.95°2、下列四個(gè)命題中真命題是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C.若Rt△ABC中，∠C=90°，則sinA=cosBD.三角形的內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等3、如圖；已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交于點(diǎn)D，∠C=110°，則∠EAB為（）

A.30°

B.35°

C.40°

D.45°

4、以下幾何圖形中，一定是中心對(duì)稱圖形的是（）A.三角形B.平行四邊形C.等腰梯形D.拋物線5、已知點(diǎn)P（x，y）滿足，則經(jīng)過點(diǎn)P的反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D(zhuǎn).第二、四象限6、10名學(xué)生的體重分別是41，48，50，53，49，50，53，67，51，53（單位：kg）．這組數(shù)據(jù)的極差是（）A.12B.24C.25D.267、下列性質(zhì)正方形具有而矩形不具有的是（）A.對(duì)角線互相垂直平分；B.對(duì)角線相等；C.對(duì)角線互相平分；D.對(duì)角線平分對(duì)角。評(píng)卷人得分二、填空題(共6題，共12分)8、⊙O的半徑為5cm，兩條弦AB∥CD，AB=8cm、CD=6cm，則兩條弦之間的距離為____．9、（2013?安徽模擬）如圖；平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B；C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，連接DE、DF．有下面三個(gè)結(jié)論：

（1）△BEF∽△CEG；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)；△BEF和△CEG的周長(zhǎng)之和為24；

（3）當(dāng)BE=時(shí)，△DEF的面積為；

其中正確結(jié)論的序號(hào)是____．10、（2009秋?安岳縣期末）如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a、b、c是在△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個(gè)頂點(diǎn)在AB上，一組對(duì)邊分別在AC上或與AC平行，另一組對(duì)邊分別在BC上或與BC平行．若各矩形在AC上的邊長(zhǎng)相等，矩形a的一邊長(zhǎng)是72cm，則這樣的矩形a、b、c的個(gè)數(shù)是____．11、請(qǐng)你寫出函數(shù)y=（x+1）2與y=x2+1具有的三個(gè)公共性質(zhì)：

（1）____；

（2）____；

（3）____．12、圖1中的圓與正方形各邊都相切，設(shè)這個(gè)圓的面積為S1；圖2中的四個(gè)圓的半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設(shè)這四個(gè)圓的面積之和為S2；圖3中的九個(gè)圓半徑相等，并依次外切，且與正方形的各邊相切，設(shè)這九個(gè)圓的面積之和為S3，依此規(guī)律，當(dāng)正方形邊長(zhǎng)為2時(shí)，第n個(gè)圖中所有圓的面積之和Sn=____．

13、如圖；將△ABC沿BC折疊得到△BCD，再將△BCD沿BD折疊得到△BDE，設(shè)折疊后所得多邊形的邊數(shù)為n．

（1）填空：

①在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，則n=____

②在△ABC中，∠A=90°，∠ABC＜60°，則n=____

③在△ABC為銳角三角形，且∠ABC=60°，則n=____

（2）若折疊后所得圖形為四邊形；解答下列問題：

①當(dāng)四邊形邊長(zhǎng)分別為3；4，5，6時(shí)，求此四邊形的面積；

②當(dāng)四邊形邊長(zhǎng)分別為5，5，5，8時(shí)，直按寫出△ABC的周長(zhǎng)．評(píng)卷人得分三、判斷題(共8題，共16分)14、．____（判斷對(duì)錯(cuò)）15、x＞y是代數(shù)式（____）16、了解一批汽車的剎車性能，采用普查的方式____（判斷對(duì)錯(cuò)）17、如果=，那么=，=．____（判斷對(duì)錯(cuò)）18、有命題“若x=y，則x2=y2”的逆命題是個(gè)假命題．____．19、鈍角三角形的外心在三角形的外部．()20、非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0．____（判斷對(duì)錯(cuò)）21、了解某型號(hào)聯(lián)想電腦的使用壽命，采用普查的方式____（判斷對(duì)錯(cuò)）評(píng)卷人得分四、證明題(共4題，共36分)22、如圖BC是半圓⊙O的直徑；D是弧AC的中點(diǎn)，四邊形ABCD的對(duì)角線AC；BD交于點(diǎn)E．

（1）求證：AC?BC=2?BD?CD；

（2）P是BD的中點(diǎn)，過P作PQ∥AB交OA于點(diǎn)Q，若AE=3，CD=，求PQ的長(zhǎng)．23、銳角△ABC中，AB＞AC，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，過D作BC的垂線交BE于F，交CA的延長(zhǎng)線于P，過E作BC的垂線，交CD于G，交BA的延長(zhǎng)線于Q，證明：BC、DE、FG三條直線相交于一點(diǎn)．24、如圖，點(diǎn)B是線段AC上的一點(diǎn)，分別以AB、BC、CA為直徑作半圓，求證：半圓AB的長(zhǎng)與半圓BC的長(zhǎng)之和等于半圓AC的長(zhǎng)．25、已知，如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，，∠A=30°，求∠ABC的度數(shù)．評(píng)卷人得分五、作圖題(共4題，共16分)26、畫出函數(shù)y=2x與函數(shù)y=-在同一坐標(biāo)系中的大致圖象．27、如圖；在網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形OABC圖案．

（1）請(qǐng)你在網(wǎng)格中畫出此四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°；180°，270°后的圖案，你會(huì)得到一個(gè)美麗的圖形．千萬不要將陰影位置涂錯(cuò)；

（2）若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次為A1，A2，A3，求四邊形AA1A2A3的面積．28、（2011秋?西城區(qū)期末）如圖；網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，且點(diǎn)A，B，C，P均為格點(diǎn)．

（1）在網(wǎng)格中作圖：以點(diǎn)P為位似中心，將△ABC的各邊長(zhǎng)放大為原來的兩倍，A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1；

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），則（1）中點(diǎn)C1的坐標(biāo)為____．29、如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開，若拼成下列四邊形：①平行四邊形；②梯形；③矩形；④菱形；⑤正方形，則可以拼成的四邊形序號(hào)是____．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、B【分析】【分析】利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)得出∠ABO+∠ACO=∠OBC+∠OCB=65°，進(jìn)而得出答案．【解析】【解答】解：∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心；

∴∠ABO=∠OBC；∠ACO=∠OCB；

∵∠A=50°；

∴∠ABC+∠ACB=130°；

∴∠ABO+∠ACO=∠OBC+∠OCB=65°；

則∠BOC=180°-65°=115°．

故選B．2、C【分析】【分析】根據(jù)確定圓的條件對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)正余弦的定義對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷．【解析】【解答】解：A；不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B；對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形；所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C；若Rt△ABC中；∠C=90°，則sinA=cosB，所以C選項(xiàng)正確；

D；三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選C．3、B【分析】

∵AB∥CD；

∴∠C+∠CAB=180°；

∵∠C=110°；

∴∠CAB=70°；

∵AE平分∠CAB；

∴∠EAB=∠CAB=35°．

故選B．

【解析】【答案】由AB∥CD；根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠CAB的度數(shù)，又由AE平分∠CAB，即可求得答案．

4、B【分析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念結(jié)合各圖形的特點(diǎn)求解．【解析】【解答】解：A；此圖形不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B；此圖形是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)正確；

C；此圖形不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D；此圖形不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選B．5、C【分析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，x-2011≥0，2011-x≥0，則x=2011，從而得出y，再代入y=求得m即可判斷反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過的象限．【解析】【解答】解：∵x-2011≥0；2011-x≥0；

∴x=2011；

∴y=；

將x=2011，y=代入y=得；m=1；

所以反比例函數(shù)y=的圖象位于第一；三象限．

故選C．6、D【分析】【解析】試題分析：極差的求法：極差=最大值-最小值.由題意得，這組數(shù)據(jù)的極差是故選D.考點(diǎn)：極差【解析】【答案】D7、D【分析】根據(jù)正方形、矩形的性質(zhì)，正方形的對(duì)角線互相垂直平分，相等且平分對(duì)角；矩形對(duì)角線互相平分且相等，但不一定平分對(duì)角．故選D．【解析】【答案】D二、填空題(共6題，共12分)8、略

【分析】【分析】此題分為兩種情況：兩條平行弦在圓心的同側(cè)或兩條平行弦在圓心的兩側(cè)．根據(jù)垂徑定理分別求得兩條弦的弦心距，進(jìn)一步求得兩條平行弦間的距離．【解析】【解答】解：如圖所示；連接OA，OC．作直線EF⊥AB于E，交CD于F，則EF⊥CD．

∵OE⊥AB；OF⊥CD；

∴AE=AB=4cm，CF=CD=3cm．

根據(jù)勾股定理；得。

OE==3cm；OF==4cm；

①當(dāng)AB和CD在圓心的同側(cè)時(shí)；如圖1，則EF=OF-OE=1cm；

②當(dāng)AB和CD在圓心的兩側(cè)時(shí)；如圖2，則EF=OE+OF=7cm；

則AB與CD間的距離為1cm或7cm．

故答案為1cm或7cm．9、略

【分析】【分析】（1）由AB∥DG；即可直接得到兩個(gè)三角形相似．

（2）利用勾股定理可求出BM=3，又因?yàn)镽t△BEF∽R(shí)t△BAM，令BE=x，那么根據(jù)相似比，可用含x的代數(shù)式分別表示EF，BF，同樣在△CEG中，令CE=y，可用含y的代數(shù)式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出兩三角形的周長(zhǎng)和是（x+y）=24．

（3）利用相似比、勾股定理可得EF=x，CG=（10-x），那么利用三角形的面積公式，可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)求最大值來求即可．【解析】【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形；∴AB∥DG；

∴∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，

∴△BEF∽△CEG；故此選項(xiàng)正確；

（2）過點(diǎn)C作FG的平行線交直線AB于H；

因?yàn)镚F⊥AB；所以四邊形FHCG為矩形．

所以FH=CG；FG=CH；

因此；△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和等于BC+CH+BH；

∵∠B=∠B；∠AMB=∠BHC=90°

∴△ABM∽△CBH；

∴=

由BC=10；AB=5，AM=4；

可得CH=8；

∴BH=6；

所以BC+CH+BH=24；故此選項(xiàng)正確；

（3）設(shè)BE=x，則EF=x，GC=（10-x）；

所以y=EF?DG=?x[（10-x）+5]=-x2+x；

配方得：y=-（x-）2+．

所以，當(dāng)x=時(shí)；y有最大值．

最大值為；故此選項(xiàng)正確．

故答案為：（1）（2）（3）．10、略

【分析】【分析】根據(jù)勾股定理可以求出每階臺(tái)階的寬，依據(jù)BC的長(zhǎng)，即可解答．【解析】【解答】解：如圖；

易證△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HLM；

可得BD=EF=GK=HL=BC-DC=-72=8cm．

根據(jù)此規(guī)律；共有80÷8-1=9個(gè)這樣的矩形．

故答案為：9．11、略

【分析】【分析】可以從函數(shù)的圖象，開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)位置，最大（?。┲?，增減性等方面說二次函數(shù)的性質(zhì)．【解析】【解答】解：（1）圖象都是拋物線；

（2）開口都向上；

（3）圖象都不在x軸下方．12、略

【分析】

根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)：

第一個(gè)圖中，圓的半徑平方是正方形邊長(zhǎng)平方的

第二個(gè)圖中，所有圓的半徑平方之和是正方形邊長(zhǎng)平方的

依此類推，則第n個(gè)圖中所有圓的面積之和Sn和第一個(gè)圖中的圓的面積都是相等的；

即為π．

故答案為：π．

【解析】【答案】先從圖中找出每個(gè)圖中圓的面積；從中找出規(guī)律，再計(jì)算面積和．

13、344【分析】【分析】（1）利用折疊后對(duì)應(yīng)的邊及對(duì)應(yīng)的角都相等可以得出結(jié)果①由∠A=90°；∠ABC=60°可得到C；D、E三點(diǎn)及A、B、E三點(diǎn)在同一直線上，形成的是三角形；②由∠A=90°可得到C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，形成的是四邊形；①由∠ABC=60°可A、B、E三點(diǎn)在同一直線上，形成的是四邊形；

（2）①若折疊后為四邊形；當(dāng)四邊為3，4，5，6時(shí)，可構(gòu)建出一個(gè)直角三角形，可利用勾股定理計(jì)算出相應(yīng)的邊計(jì)算面積；

②當(dāng)四邊形邊長(zhǎng)分別為5，5，5，8時(shí)，構(gòu)建出一個(gè)等邊三角形，利用對(duì)應(yīng)關(guān)系求出△ABC的周長(zhǎng)．【解析】【解答】解：（1）由題可知AB=BD=BE；AC=CD=DE，∠A=∠BDC=∠BDE，∠ABC=∠CBD=∠DBE

①∵∠A=90°，∠ABC=60°，如圖1，

∴∠CDE=180°；∠CBE=120°，∠BCD=∠BED=30°

∴n=3；

故答案為3

②∵∠A=90°，∠ABC＜60°，如圖2，

∴∠CDE=180°；∠CBE＜120°，∠BCD=∠BED＞30°

∴n=4；

故答案為4

③∵△ABC為銳角三角形，∠ABC=60°，如圖3，

∴∠CDE＜180°；∠CBE=120°，∠ABE=180°

∴n=4

故答案為4

（2）①當(dāng)四邊形邊長(zhǎng)分別為3；4，5，6時(shí)，則形如圖2

根據(jù)題意有CE=2AC；則得AC=3，CE=6，AB=BD=4，BE=5

∴S=×3×4+×6×4=6+12=18；

②當(dāng)四邊形邊長(zhǎng)分別為5；5，5，8時(shí)，則形如圖3

根據(jù)題意有AC=CD=DE；則可知AC=CD=DE=5，AE=8

∵AB=BDCB=BE；

∴AB+BC=AE=8；

∴C△ABC=5+8=13．三、判斷題(共8題，共16分)14、×【分析】【分析】根據(jù)二次根式的除法，可化簡(jiǎn)二次根式．【解析】【解答】解：==2；故錯(cuò)誤；

故答案為：×．15、×【分析】【分析】本題雖為判斷題，但實(shí)質(zhì)上仍是代數(shù)式的判定問題，根據(jù)代數(shù)式的定義進(jìn)行判定即可．【解析】【解答】解：x＞y為不等式；不是代數(shù)式，故錯(cuò)誤．

故答案為：×．16、√【分析】【分析】根據(jù)實(shí)際情況和普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確解答即可．【解析】【解答】解：了解一批汽車的剎車性能；采用普查的方式是正確的；

故答案為：√．17、√【分析】【分析】運(yùn)用等式性質(zhì)求解即可．【解析】【解答】解：∵=；

∴+1=+1，即=；

-1=-1，即=．

∴這兩個(gè)式子是正確的．

故答案為：√．18、√【分析】【分析】逆命題就是題設(shè)和結(jié)論互換，本題的逆命題是若“x2=y2，則x=y”舉反例判斷真假．【解析】【解答】解：逆命題是“若x2=y2；則x=y”

（-1）2=12但-1≠1

故逆命題是假命題．

故答案為：√．19、√【分析】【解析】試題分析：根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)即可判斷.鈍角三角形的外心在三角形的外部，本題正確.考點(diǎn)：三角形的外心【解析】【答案】對(duì)20、√【分析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，可得有理數(shù)可以分為正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解析】【解答】解：因?yàn)橛欣頂?shù)可以分為正有理數(shù)；0和負(fù)有理數(shù)；

所以非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0．

故答案為：√．21、×【分析】【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似解答．【解析】【解答】解：了解某型號(hào)聯(lián)想電腦的使用壽命；采用抽樣調(diào)查方式；

故答案為：×．四、證明題(共4題，共36分)22、略

【分析】【分析】（1）連接OD交AC于H；根據(jù)垂徑定理求出OD⊥AC，AC=2AH=2CH，證△CDB∽△DHC，推出BD?CD=HC?BC即可；

（2）設(shè)EH=x，AD2=DH2+AH2，證△DHE∽△CHD，推出DH2=EH?AH；得到方程，求出方程的解，求出DH；AH、AC、AB，連接OP，延長(zhǎng)OP交AB于M，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到

BM=OD=5，OP=PM，根據(jù)三角形的中位線定理求出即可．【解析】【解答】（1）證明：連接OD交AC于H；

∵D是弧AC的中點(diǎn)；

∴=；

∴∠ACD=∠DBC；

∵BC是圓O的直徑；

∴∠BDC=90°；

∵弧AD=弧CD；OD是半徑；

∴OD⊥AC；AC=2AH=2CH；

∴∠DHC=∠BDC=90°；

∵∠ACD=∠DBC；

∴△CDB∽△DHC；

∴=；

BD?CD=HC?BC；

∴2BD?CD=2HC?BC；

即AC?BC=2?BD?CD．

（2）解：∵弧AD=弧CD；

∴OD⊥AC；AC=2AH=2CH；

∴∠DHC=∠DHE=90°；∠DEH+∠EDH=90°；

∵∠EDH+∠CDH=90°；

∴∠DEH=∠CDH；

∴△DHE∽△CHD；

∴DH2=EH?AH；

設(shè)EH=x，AD2=DH2+AH2；

∴；

解得：x=1；DH=2；

設(shè)圓O的半徑是R；

在△OAH中，由勾股定理得：R2=（R-2）2+（3+1）2；

解得：R=5；BC=10，OD=5，AC=2×4=8；

由勾股定理得：AB==6；

連接OP；延長(zhǎng)OP交AB于M；

∵BC是圓O的直徑；

∴∠B=90°；

∵OD⊥AC；

∴OD∥AB；

∴==；

∵P為BD的中點(diǎn)；

∴BP=PD；

∴BM=OD=5；OP=PM；

∴PQ=AM=（AB-OD）=×（6-5）=；

答：PQ的長(zhǎng)是．23、略

【分析】【分析】此題由4種證法：證法1：設(shè)過D、E的垂線分別交BC于M、N，在Rt△BEC與Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN?CB，BD2=BM?BC又Rt△CNG∽R(shí)t△DCB；Rt△BMF∽R(shí)t△BEC，在Rt△BEC與Rt△BDC中，由面積關(guān)系得：BE?CE=EN?BC，BD?CD=DM?BC．由（1）（2）得

證法2：設(shè)CD；BE相交于點(diǎn)H；則H為△ABC的垂心，記DF、EG、AH與BC的交點(diǎn)分別為M、N、R∵DM∥AR∥EN，由合比定理得三點(diǎn)共線；

證法3：在△ABC中，直線DET分別交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅勞斯定理得：

設(shè)CD；BE相交于點(diǎn)H；則H為△ABC的垂心，AH⊥BC，由梅涅勞斯定理的逆定理得：F、G、T三點(diǎn)共線．

證法4：連接FT交EN于G’，易知為了證明F、G、T三點(diǎn)共線，只需證明即可．【解析】【解答】解：證法1：設(shè)過D、E的垂線分別交BC于M、N，在Rt△BEC與Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN?CB，BD2=BM?BC

∴又Rt△CNG∽R(shí)t△CDB；Rt△BMF∽R(shí)t△BEC；

∴

∴

在Rt△BEC與Rt△BDC中；由面積關(guān)系得：BE?CE=EN?BC，BD?CD=DM?BC

∴

由（1）（2）得：；∴F；G、T三點(diǎn)共線．

證法2：設(shè)CD；BE相交于點(diǎn)H；則H為△ABC的垂心，記DF、EG、AH與BC的交點(diǎn)分別為M、N、R∵DM∥AR∥EN

∴

由合比定理得：，∴．

證法3：在△ABC中，直線DET分別交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅勞斯定理得：

設(shè)CD；BE相交于點(diǎn)H；則H為△ABC的垂心，AH⊥BC

∵DF⊥BC；EG⊥BC∴AH∥DF∥EG

∴

由梅涅勞斯定理的逆定理得：F；G、T三點(diǎn)共線．

證法4：連接FT交EN于G’，易知

為了證明F、G、T三點(diǎn)共線，只需證明即可

∵

又

∴，

∵CD⊥AB；BE⊥CA；∴B、D、E、C四點(diǎn)共圓

∴∠ABE=∠ACD（2）

又；∴BDsin∠CBE=CEsin∠BCD（3）

將（2）（3）代入（1）得：，故F、G、T三點(diǎn)共線．24、略

【分析】【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式可計(jì)算出半圓AB的長(zhǎng)=πAB，半圓BC的長(zhǎng)=πBC，半圓AC的長(zhǎng)=πAC，則半圓AB的長(zhǎng)+半圓BC的長(zhǎng)=π?（AB+BC）=π?AC，即半圓AB的長(zhǎng)與半圓BC的長(zhǎng)之和等于半圓AC的長(zhǎng)．【解析】【解答】證明：∵半圓AB的長(zhǎng)=?2π?=πAB，半圓BC的長(zhǎng)=?2π?=πBC，半圓AC的長(zhǎng)=?2π?=πAC；

∴半圓AB的長(zhǎng)+半圓BC的長(zhǎng)=πAB+πBC=π?（AB+BC）；

∵AB+BC=AC；

∴半圓AB的長(zhǎng)+半圓BC的長(zhǎng)=π?AC；

∴半圓AB的長(zhǎng)與半圓BC的長(zhǎng)之和等于半圓AC的長(zhǎng)．25、略

【分析】【分析】連接AC．利用圓周角定理、等弧所對(duì)的圓周角相等、直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角求得∠A