2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：相似三角形存在性問題復(fù)習(xí)講義

相似三角形存在性問題復(fù)習(xí)講義

解題策略

相似三角形存在性問題的重點(diǎn)是如何進(jìn)行分類討論，采用頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)法即可.例如A/IBC與△DEF相似，首先令

A與D對(duì)應(yīng)，則B與E或F對(duì)應(yīng)，C不必考慮，因?yàn)閮牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)，第三點(diǎn)就確定了（如下圖，其他情況圖略）；再令

A與E對(duì)應(yīng)，則B與F或D對(duì)應(yīng)；最后令A(yù)與F對(duì)應(yīng)，則B與D或E對(duì)應(yīng)，一共就這六種情況.但實(shí)際解題過

程中，通常一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是固定的，因此，只有兩種對(duì)應(yīng)情況.結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可能產(chǎn)生更多的情況（視題目再討論）.

NA=ND，NB=NE

分類討論的方法的判定角度：

1.討論角：兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)角相等時(shí)，討論一個(gè)三角形中的一個(gè)角分別與另一個(gè)三角形中其他兩個(gè)角

分別相等的情況,即"AA"判定；

2.討論邊:兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)角相等時(shí),討論這個(gè)角的兩邊分別交換成比例的兩種情況，即"SAS"判

定.

解答相似三角形存在性問題的一般步驟：

1.設(shè)定主動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)（橫、縱坐標(biāo)都用含同一個(gè)相同的字母參數(shù)的代數(shù)式表示），也類似用含同一個(gè)字母參

數(shù)的代數(shù)式表示出從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

2.分類討論不同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)情況，在討論的過程中排除一些不可能的情況.

3.每確定一次對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，利用相似比列出比例式，整理出方程求解，注意排除不符合條件的解.

常見相似模型見第二篇第三章.

模型一單對(duì)應(yīng)

已知二次函數(shù)y=x2—2X-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)）,與y軸交于C點(diǎn)如圖，

P為x軸上線段AB上一動(dòng)點(diǎn).若△4CPA4BC,,求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

思路分析：相似的兩個(gè)三角形的字母順序固定，一個(gè)三角形已知，另外一個(gè)三角形的兩點(diǎn)已知（固定），且對(duì)應(yīng)

點(diǎn)也已知（如兩個(gè)相似三角形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)B）,只需要確定第三個(gè)點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）為對(duì)應(yīng)

點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)），這種情況是最簡(jiǎn)單的，只有單一情況.

模型二多對(duì)應(yīng)1

已知二次函數(shù)y=乂2—2x-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)）,與y軸交于C點(diǎn)如圖,

對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，PM平行于x軸，交對(duì)稱軸右側(cè)拋物線于點(diǎn)乂若△40C與△PME

相似，求出滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

思路分析：兩個(gè)相似的三角形中的一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)已知，且其中一個(gè)三角形已知（三點(diǎn)固定），另外一個(gè)三角形的一

點(diǎn)已知（固定），另外兩點(diǎn)不固定，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)不確定.

需分類討論兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別與已知三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的情況（或在不同位置），然后利用相似比求解（此處

給出兩個(gè)圖，其余答案略）.

模型三多對(duì)應(yīng)2

如圖，已知二次函數(shù)y=%2-2%-3的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在左側(cè)，B在右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

M是y軸正半軸上一點(diǎn),坐標(biāo)為（O,m）,N是x軸上一點(diǎn),坐標(biāo)為（n,0）.若以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與以B,M,N為

頂點(diǎn)的三角形相似，求出m與n的關(guān)系或m,n的值.

思路分析：根據(jù)點(diǎn)N在x軸上的不同位置與相似三角形不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類討論.即首先對(duì)點(diǎn)N的位置

進(jìn)行分類討論，可分為點(diǎn)N在線段AB上、在線段AB的延長(zhǎng)線上、在線段AB的反向延長(zhǎng)線上三種情況，然后

針對(duì)每種情況進(jìn)行相應(yīng)的討論.

兩個(gè)相似的三角形中各有一個(gè)點(diǎn)固定，其余的兩點(diǎn)不固定，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)不確定.需分類討論各個(gè)頂點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)點(diǎn)

的情況（在實(shí)際問題中，通過判定能夠確定出至少一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)），然后利用相似比求解.

精選例題

例1.如圖1,A力。B的三個(gè)頂點(diǎn)A,O,B分別落在拋物線=12+梟的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,點(diǎn)

B的縱坐標(biāo)為-2.（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）

（1）求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

2

⑵將△AOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AMOB；拋物線F2-.y^ax+bx+4^A兩點(diǎn).已知點(diǎn)M為

拋物線磚的對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，且點(diǎn)4恰好在以O(shè)M為直徑的圓上，連接OM,A'M,求△。4正的面積；

（3）如圖2,延長(zhǎng)OB'交拋物線Fz于點(diǎn)C,連接42,在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D,使得以A,O,D為頂點(diǎn)的三

角形與△。/1C相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

M解析

(1)把x=-4代入拋物線.心的解析式求得v，即得到點(diǎn)A坐標(biāo)；把丫=-2代入拋物線巳的解析式，解方程并

判斷大于-4的解為點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)90。的性質(zhì)(”一線三等角"全等模型)特點(diǎn)可求點(diǎn)A',B，的坐標(biāo)及(。4的長(zhǎng)，用待定系數(shù)法求拋

物發(fā)展的解析式，進(jìn)而求得對(duì)稱軸.設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m,則能用m表示AW,OM的長(zhǎng)度.因?yàn)辄c(diǎn).A恰好在

以O(shè)M為直徑的圓上，即/。4位為圓周角，等于90°,故能根據(jù)勾股定理列得關(guān)于m的方程，解方程求得m的

值，即求得A'M的長(zhǎng)，^OA-A'M即求得△OA血的面積；

(3)求直線OB，的解析式，與拋物線Fz的解析式聯(lián)立方程組，求解即求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)A'與C縱坐標(biāo)相

同，即A'Cllx軸，故NOA'C=135。.以A,O,D為頂點(diǎn)的三角形要與^OA'C相似，則^AOD必須有一角為135。.因?yàn)辄c(diǎn)A

(-4,-4)得直線OA與x軸夾角為45。,所以點(diǎn)D不能在x軸或y軸的負(fù)半軸，在x軸或y軸的正半軸時(shí)，剛好有NA

OD=135°.由于NAOD的兩夾邊對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確,故需分兩種情況進(jìn)行討論即AAOD-AOA'C或ADOASAOA'C.每

種情況下由對(duì)應(yīng)邊成比例求得OD的長(zhǎng)，即得到點(diǎn)D的坐標(biāo).

解(1)當(dāng)x=-4時(shí)，y=|x(-4)2+|x(-4)=-4.

.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,-4).

當(dāng)y=-2時(shí)，|x2+,=-2.

解得Xi=-l,x2=-6.

??點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-2);

(2)如答圖1,過點(diǎn)B作BE±x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B，作B1G±x軸于點(diǎn)G.

.?.zBEO=zOGB'=90°,OE=l,BE=2.

?.?將AAOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AAQB：

.■.OB=OB',zBOB'=90°.

.?.zBOE+zB'OG=zBOE+zOBE=90°.

.'.zB'OG=zOBE.

在AB'OG與AOBE中,

NOGB'=NBEO,

NB,OG=NOBE,

{BO=OB,

.?.△B'OG學(xué)OBE(AAS).

.-.OG=BE=2,B'G=OE=1.

■:點(diǎn)B在第四象限,

.?點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-1).

同理，可求得點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(4,-4).

OA=OA=V42+42=4V2.

2

..拋物線F2:y=ax+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A',B',

(16a+4b+4=-4,解得k3.

I4。+2b+4=-1,

，拋物線Fz的解析式為y=^x2-3x+4.

二對(duì)稱軸為直線X=-月=6.

2叼

?.點(diǎn)M在直線x=6上，設(shè)M(6,m),

0M2—62+m2,AM2—(6—4)2+(m+4)2=m2+8m+2(.

?.點(diǎn)A在以O(shè)M為直徑的圓上，

ZOAM=90°0A，2+AM2=OM2.

2

???(4A/2)+m2+8m+20=36+m2.

解得m=-2,

AM=Vm2+8m+20=-4—16+20=2A/2.

??.S,=-0A-AM=-x4V2x2V2=8;

axM22

(3)在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)D,使得以A,O,D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似.

???點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(2,-1).

，直線OB的解析式為y=~lx.

(_1

■二一產(chǎn)解得2;或｛2二8

y=l2-3x+4.(為一一1(月一一

V4x

:?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,-4).

???點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(4,-4),.ACIIx軸，AC=4.

NOAC=135ZAOC<45°N4CO<45°

?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,-4),即直線0A與x軸夾角為45°,

二當(dāng)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸時(shí),NAOD=45。,此時(shí)SOD

，如答圖3、4,點(diǎn)D在x軸正半軸或y軸正半軸時(shí)/AOD=4MC=13

①若AAODSAOA'C，則—=—=1.

ACOA

.?.OD=AC=4.

.?點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,0)或(0,4)

②若ADOASAOA'C,則—=—=—=V2.

OAAC4

OD=迎OA'=8.

.?點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8,0)或(0,8)

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,0),(8,0),(0,4)或(0,8)時(shí)，以A,O,D為頂點(diǎn)的三角形與△OA,C相似.

例2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=—；/+.+c經(jīng)過點(diǎn).4(—2,0),B(8,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，連接BC.設(shè)點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),PD^BC,垂足為點(diǎn)D.

①是否存在點(diǎn)P,使線段PD的長(zhǎng)度最大?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)&PDC與/OA相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析

(1)把點(diǎn)A,B點(diǎn)代入y=—；久2+6%+C,應(yīng)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

4

(2)求PD的最大值，由于P,D點(diǎn)的坐標(biāo)都不確定，可以考慮“斜化直"，即過點(diǎn)P作x軸的垂線，利用相

似得到.“為定角，利用三角函數(shù)，求直角邊的最大值就轉(zhuǎn)化為求斜邊的最大值.或者利用.△BPC的面積兩種求法

建立一個(gè)二次函數(shù)來解答；

(3)按角((NPCD=NCB?；騈PCD=NBCO)討論相似的情況進(jìn)行解答.

解⑴把A(-2,0),B(8,0)代入拋物線y=-0得

4+bx+

-l-2b+c=0,解得b=l-

-16+8b+c=0用牛1守

c=4.

1,3,.

，拋物線的解析式為y=--xz7+-%+4;

42

(2)由(1)知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).

■:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0),

易得直線BC的解析式為y=-|%+4.

①解法一:如答圖L過P作PG±x軸于點(diǎn)G,PG交BC于點(diǎn)E,易得4ED=N。①在RbBOC中,0C=4,0B

=8,

???BC=V42+82=4V5.

在RbPDE中，PD=PE-sinZPED=PE-sin^OCB=gpE,

，當(dāng)線段PE最長(zhǎng)時(shí),PD的長(zhǎng)最大.答圖1

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(力_#+|t+4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(/?-1+4),

PG=--1tr2+-3t+4,EG=-1-t+4.

422

***PE=PG-EG=(——+—t+4)—(——t+4)

答圖2

2

=一?2+2t=-i(t-4)+1(0<t<8).

當(dāng)t=4時(shí),PE有最大值是4,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,6).

「「2V5875

PD=—X44=—.

55

即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,6)時(shí)，PD的長(zhǎng)度最大，最大值是卓.

解法二:如答圖2,過P作PGLX軸于點(diǎn)G,PG交BC點(diǎn)E,RbBOC中,(0C=4,0B=8.BC=V42+82=4V5.

易得直線BC的解析式為y=-|%+4.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?，-)2+11+4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t，一?+4),

???PE=PG-EG=(一/+|t+4)-+

=--t2+2t.

4

11

SBPC=：CB-PD=：0B?PE.

???PD=--t2+-t.

105

當(dāng)t=4時(shí),PD最大值=W.

即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,6)時(shí)，PD的長(zhǎng)度最大，最大值是

@-.A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

.QA=2,OB=8,OC=4.

AC2=22+42=20.

AB2=(2+8尸=I。。，

BC2=42+82=80.

AC2+BC2=AB2.

.?.zACB=90°.

ACOA*"△BOC.

當(dāng)WDC與ACOA相似時(shí),就有鐘口(：與3(2＜相似.

1?相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，

..NPCD=NCBO或NPCD=NBCO.

(工)若NPCD=NCBO時(shí)，即RtAPDORbCOB,此時(shí)CPIIOB.

.C(0,4),

???yP=4.

13

—o-|—t+4=4.

42

解得=6,x2=0(舍去).

即RtAPDCACOB時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4).

(n)若NPCD=NBCO時(shí)，即RtAPDCAPtABOC.

如答圖3,過P作x軸的垂線PG,交直線BC于點(diǎn)F.

.'.PFIIOC,

.-.zPFC=zBCO.

.?.zPCD=zPFC.

.■.PC=PF.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，-川+京+4),則PF=-渾+24如圖，過P作PN_Ly軸于點(diǎn)N.

在RtWNC中，PC2=PN2+CN2=PF2,n2+(-Jn2+jn+4-4)2=(~；n2+2n^.

解得n=3.

即RtAPDCAPtABOC時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,與)

綜上所述，當(dāng)”DC與AC。力相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4)或(3,字).

精選練習(xí)

1.如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，AB=4,交y軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸是直線.久=1.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接BC,E是線段OC上一點(diǎn),E關(guān)于直線.x=1的對(duì)稱點(diǎn)F正好落在BC上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N,交

線段BC于點(diǎn)Q設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t⑴0)秒.若AAOC與△BMN相似，請(qǐng)直接寫出t的值.

備用圖1備用圖2

2.如圖拋物線y=口運(yùn)+版+2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，且(。4=20B,,與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,拋物

線對(duì)稱軸為直線%=j,D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作DE1。4于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)D的

橫坐標(biāo)為m.

Q)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)線段DF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)0,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在，求出m的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

備用圖

精選練習(xí)

1.解:⑴：點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=l對(duì)稱,AB=4,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

將A(-l,0),B(3,0)代入y=——++c中，得尸+3^c=：，解得(b=2,

；?拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

；?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3);

⑵設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n.

則有f幾=3解得=T

；?直線BC的解析式為y=-x+3.

?..點(diǎn)E,F關(guān)于直線x=l對(duì)稱，又點(diǎn)E到對(duì)稱軸的距離為1,