2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：破解相似三角形與旋轉(zhuǎn)

破解相似三角形與旋轉(zhuǎn)

解題秘籍

解決相似三角形與旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵就是掌握其基本圖形的特征：(1)由一點(diǎn)引出的比例線段；(2)有兩對(duì)相

似三角形同時(shí)出現(xiàn)，并能從圖中分解或構(gòu)造出旋轉(zhuǎn)型相似三角形.

典型例題

在小ABC中,/CAB=9(F,AD，BC,垂足為D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上.

(D如圖4-1AC:AB=1:2,EF±CB,^<ilE：EF=CD;

(2)如圖4-2所示,AC:AB=1:V3,EFI2CE,,求EF:EG的值.

圖4-1

思路分析

(1)通過(guò)證明.△ACD=A8EF來(lái)證明.EF=CD.

⑵題中要求的是一點(diǎn)引出的兩條線段的比值，故而可以考慮構(gòu)造“旋轉(zhuǎn)相似型三角形”.可以有如下三種解題思

路.

c

圖4-3

嘗試解答

解后反思

本題考查了相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，矩形的判定定理和性質(zhì)

定理，解直角三角形等知識(shí).解答第⑵問(wèn)的關(guān)鍵是作輔助線，考慮到求解的是一點(diǎn)引出的兩條線段的比值，故而想

到了將線段放入三個(gè)不同的三角形中，借助旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造相似三角形，由此得到了三種解答思路.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖所示，△力BC內(nèi)接于。O,AD1BC,,垂足為D,AE是。O的直徑.CD=3,AD=6,BD=8,,求。0的面積.

（第1題）

2.如圖所示,在矩形ABCD中,48=1,BC=2,4E1BD,,垂足為E,連接CE,過(guò)點(diǎn)E作PE1EC交AD于點(diǎn)P,求

AP的長(zhǎng).

B

（第2題）

3.在等腰三角形ABC中,AC=BC點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，連接PA,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，

將線段PA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角與NC相等，得到線段PD,連接DB.

(1)當(dāng)NC=90。時(shí)，請(qǐng)你在圖1中補(bǔ)全圖形，并求NDB4的度數(shù)；

⑵如圖2所示若ZC=a,求的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)連接AD,若ZC=30°,23=2/APC=135。,,求AD的長(zhǎng).

圖1圖2

（第30

4.在△ABC中，CA=CB,在A4ED中，DA=DE”點(diǎn)D,E分別在CA,AB上.

⑴如圖1所示若乙4cB=^ADE=90。,則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是.

⑵若^ACB=AADE=120。,將△4ED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是.

⑶若^ACB=AADE=2a（0。<a<90。）,將△4ED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置,探究線段CD與BE的

數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含a的式子表示）.

（第4題）

5.如圖所示，矩形ABCD中，乙4cB=30。,，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)

處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB,BC所在的直線相交,交點(diǎn)分別為E,

(1)當(dāng)PE1AB,PF1BC時(shí),如圖1所示，則募的值為；

PF

(2)現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(以0。<a<60°),,如圖2所示，求ff的值；

rr

⑶在⑵的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，點(diǎn)P沿CA移動(dòng)，當(dāng)(60°<a<90。,且AP:PC=1:2時(shí)，如圖3所示,徐勺值是

否變化?證明你的結(jié)論.

★典型例題

(1)證明:在4ABC中,/CAB=9(F,AD_LBC,

ZCAD+ZACB=90°,ZB+ZACB=90°.AZCAD=ZB.

?/AC:AB=12點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),，AC=BE.

乙CAD=Z-B,

在^ACD與^BEF中.N4DC=乙BFE=90。，

AC=BE,

：.AACD^ABEF(AAS),

???EF=CD.

⑵解法一：如答圖4-1所示，過(guò)點(diǎn)E作EH±AB交BC于點(diǎn)H.

VEH±AB,EF±CE,

AZAEG+ZHEG=90°,ZHEF+ZHEG=90°..'.ZHEF=ZAEG.iSAABC中,NCAB4

答國(guó)4-1

0°,AD±BC,

ZCAD+ZACB=90o,ZCAD+ZBAD=ZCAB=90°..\ZACB=ZBAD.

VEH±AB,ZCAB=90°,AAC//HE.ZACB=ZEHF.ANEHF=/BAD.

???△HEFs△AEG.EF:EG=HE:AE.

VAE=BE,.\EF:EG=HE:BE.

VAC^HE,.\RtABEH^RtABAC.AEH:EB=AC:AB.AEF:EG=HE:BE=CA:BA.

???EHLAB,EF1CEt

：.ZHEF+ZHEG=90°,ZHEF+ZBEF=90°.AZBEF=ZHEG.

???ABEF^AHEG.EF:EG二BE:HE.

VAE=BE,AEF:EG=AE:HE.^AABC中,NC

AB=90°,AD±BC,

???ZCAD+ZACB=90o,ZCAD+ZBAD=ZCAB=90o..\ZBAH=ZACB.

[fOZAEH=ZCAB=90°.ARtAAEH^RtACAB.

???AE:HE=AC:AB.EF:EG=AE:HE=AC:AB.

即EF:EG二AC:AB=1:V3.

解法三:如答圖4-3所示，過(guò)點(diǎn)E作EHLAD,垂足為H,EQ，BC,垂足為Q.

EH±AD,EQ±BC,AD±BC,

四邊形EQDH是矩形.，ZQEH=90°.

，ZFEQ+ZQEG=90°,ZGEH+ZQEG=90°.A/FEQ=NGEH.又/EQF=/E

HG=90。,Z\EFQsAEGH.

；.EF:EG=EQ:EH.

VEQ±BC,AD±BC,.，.QEZ/AD./.AE:EB=DQ:QB=1,

在矢巨開2EQDH中,HE=DQ=BQ,，EF:EG=EQ:BQ.在RtABEQ和Rt

ABCA中,tanB=g=^|=1：V3,

EF-.EG=1:V3.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.解:連接BE.

VAD是。O的內(nèi)接△ABC的高,AE是。O的直徑,；.ZABE=ZADC=90°.

ARAF

???Z.E=乙C,???ABEADC..

ADAC

在RtAADB和RtAADC中,CD=3,AD=6,BD=8,

AB=y/BDt+AD2=10,AC=y/AD2+CDX=3V5.AE==5V5.

AD6

2

???。0的面積=(").兀=華兀

2.解:：AE_LBD,PE_LEC,；.ZAED=ZPEC=90°..\ZAEP=ZDEC.

：AE_LBD,矩形ABCD中/ADC=90°,；.ZEAD+ZADE=90°,ZADE-ZCDE=90°