2024年中考數(shù)學考前訓練：二次根式

2024年中考數(shù)學二輪探究性專題考前訓練

二次根式

一、選擇題

1.某校研究性學習小組在學習二次根式笳=1a|之后，研究了如下四個問題，

其中錯誤的是()

A.在a>l的條件下化簡代數(shù)式a+Va2-2a+1的結果為2a-1

B.當a+加—2a+1的值恒為定值時，字母a的取值范圍是aWl

C.a+Va2-2a+l的值隨a變化而變化，當a取某個數(shù)值時，上述代數(shù)式的

值可以為!

2=

D.若Vd—2CL+1(y/ci—1)：則字母a必須滿足a三1

2.觀察式子：V4X9=V36=6,V4xV9=2x3=6;1-^-X-=但^—衛(wèi)，

^義口?；■V0.25X0.04=0,1,<25xV^4=0.5x

0.2=0.1.由此猜想我二傷-傷口之0,b>0).上述探究過程蘊含的思想方法

是()

A.特殊與一般B.整體C.轉化D.分類討論

3.已知三角形的三邊長分別為a,b,c,求其面積問題，中外數(shù)學家曾經進行過

深入研究，古希臘的幾何學家海倫(Heron,約公元50年)給出求其面積的海倫

公式S—Jp(p—a)(p—b)(p—c),其中p—&+；+。；我國南宋時期數(shù)學家秦九韶

(約1202-1261)曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=

[a2b2_(絲手若一個三角形的三邊長分別為2,3,4,則其面積是

()

AB3VI^CDVis

8422

二、填空題

4.為了簡潔、明確的表示一個正數(shù)的算術平方根，許多數(shù)學家進行了探索，期間

經歷了400余年，直至1637年法國數(shù)學家笛卡兒在他的《幾何學》中開始使用

“”表示算數(shù)平方根.我國使用根號是由李善蘭（18H-1882年）譯西方數(shù)學書

時引用的，她在《代數(shù)備旨》中把圖1所示題目翻譯為：而+7^互=?

則圖2所示題目（字母代表正數(shù)）翻譯為，計算結果為.

圖1圖2

5.斐波那契（約1170-1250）是意大利數(shù)學家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇

妙，被稱為斐波那契數(shù)列（按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）.后來人們在

研究它的過程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結果，在實際生活中，很多花朵（如梅

花，飛燕草，萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列還有很

多有趣的性質，在實際生活中也有廣泛的應用.斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以

用專［（學）二（三匹）口表示.

通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)為，第2個數(shù)

為.

三、綜合題

6.探究:

（1）計算下列各式，并判斷結果大小;

②[3:--------,3上----，則白:---------3耳

（2）根據你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，再寫出一個類似的式子；

（3）用字母表示這一規(guī)律，并給出證明.

7.問題探究：因為（企一1）2=3-2近，所以寸3-2魚=應—1,

因為（a+1）2=3+2/，所以53+24=9+1,因為（2-遙）2=7-

4百，所以-7—4g=2—遮,請你根據以上規(guī)律，結合你的經驗化簡下列各

式：

（］）V5—2V6；

8.在數(shù)學小組探究學習中，張兵與他的小組成員遇到這樣一道題:

已知。=隔，求2a2—8a+1的值.他們是這樣解答的：

??12-V3Q萬

?---F=------F-------k=2—V3

2+V3（2+V3）（2-V3）

「?a_2=_V3

，（a—2）2=3即a?—4a+4=3

二?@2—4a=-1

??2a2—8a+1=2（。？—4a）+1=2x（—1）+1=-1.

請你根據張兵小組的解題方法和過程，解決以下問題:

⑴夫二

(2)化簡看+短+高+…+V169+V168；

9.小麗根據學習“數(shù)與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下

面二次根式的運算規(guī)律.

下面是小麗的探究過程，請補充完整：

(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，

特例1：[1+^=匡=?=2口

73yj37373

特例3：,3+注44

特例4：.(填寫一個符合上述運算特征的例子);

(2)觀察、歸納，得出猜想.

如果ri為正整數(shù)，用含"的式子表示上述的運算規(guī)律

為：;

(3)證明你的猜想；

(4)應用運算規(guī)律化簡：(2022+—XV4048=

72024----------

10.探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

122-2~~|2(22-1)2_I2

<22—1+22-1

13(22—3)

q32-l十32-l

(1)按照上面兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想:

(2)通過上述探究你能猜測出：n

(n>0),并驗證你的結論.

11.探索規(guī)律：

先觀察下列等式，再回答問題:

11111

1+—+—=1+--1—；

I22211+12

11111

1~|-------1-----=1H------------------

22T32十22+1

11111

1-I--------1------=1-1-------------------=1-----

32十4233+1121

(1)根據上面三個等式提供的信息，請你猜想，+二+二=

q4252-------------

(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第n個等式：

(3)計算：/1+4+4+/1+4+4+/1+4+4+-+

q1222y2232q§42

J+白+工.

N9921002

12.閱讀理解下面內容，并解決問題：

善于思考的小明在學習《實數(shù)》一章后，自己探究出了下面的兩個結論:

①(回四)2=9x4,(V9xV4)2=(V9)2X(")2=9x4,V9V4和

V9xV4都是9X4的算術平方根，

而9X4的算術平方根只有一個，所以V9X4=V9xV4.

②"9義16)2=9X16,(V9xV16)2=(V9)2x(V16)2=9X16，

V9X16和gxV16都是9X16的算術平方根，

而9X16的算術平方根只有一個，所以—.

請解決以下問題：

(1)請仿照①幫助小明完成②的填空，并猜想：一般地，當a20,bNO時，

府與歷、逐之間的大小關系是怎樣的？

(2)再舉一個例子，檢驗你猜想的結果是否符合題意.

(3)運用以上結論，計算：V81X144的值.

13.閱讀材料:

小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，

如3+2V2=(1+V2)2.善于思考的小明進行了以下探索：

設a+=(m+小泛)2(其中a、b、m、n均為整數(shù))，則有a+bV^=zn2+

2nz+2mny/2.

a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+5魚的式子化為

平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+bg=(m+?、?2,用含m、n的式

子分別表示a、b,得：a=,b=；

(2)利用所探索的結論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+

V3=(+V3)2;

(3)若a+4g=(m+加8)2,且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？

(4)化簡：76+2V5-

14.閱讀材料：小敏在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個

式子的平方.

例如：3+2V2=(1+V2)之，善于思考的小敏進行了以下探索：

當a、b、m、n均為整數(shù)時，若a+b&=(m+nV2)?,則有a+b&=m2+2r?

+2mnV2.

a=m2+2n2,b=2mn.這樣小敏就找到了一種把類似a+b近的式子化為平方式

的方法.

請你仿照小敏的方法探索并解決下列問題：

(1)當a、b、m、n均為整數(shù)時，若a+人代=+rr店＞，用含mn的式子分

別表示a、b,則：a=,b=；

(2)若a+6?=(m+nV7))且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；

(3)直接寫出式子J49+20乃化簡的結果?

15.著名數(shù)學教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句

話啟發(fā)我們：要想學會數(shù)學，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，

要有一雙敏銳的眼睛.請先閱讀下列材料，再解決問題：

數(shù)學上有一種根號內又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性

質化去里面的一層根號.例如：73+2V2=Vl+2xlxV2+2=

Jl2+2xlxV2+(V2)2=J(1+V2)2=1+V2-

解決問題：

(1)在括號內填上適當?shù)臄?shù)：714+6V5=J9+2X3XV5+(Z)=

(3+勁2=③

①：,②：，③.

(2)根據上述思路，求出,28-10次+，7+4g的值?

16.小明在學習了“二次根式”后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的代數(shù)式可以寫成另一個根

號的代數(shù)式的平方，如3+2應=(1+魚尸.善于思考的小明進行了以下探索：

設a+b&=(m+九或/(其中a、b、m、n均為整數(shù))，則有a+5立=+

2mnV2+2n2.a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+

bV2的代數(shù)式化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當a、b、m、n均為整數(shù)時，若a+bg=(m+九8/，用含m、n的代

數(shù)式分別表示a、b,則：a=，b=

(2)利用所探索的結論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：_+=

(—+—V3)2.

(3)若a+4g=(m+)iV^)2,且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值.

17.【知識再現(xiàn)】乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).如：2x1=1,我們就說2和號互為

倒數(shù).

【主題探究】在學習二次根式的過程中，某數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)有一些特殊無理

數(shù)之間也具有互為倒數(shù)的關系.例如：(&+1)(a-1)=1,可得a+1與應一

1互為倒數(shù).

即看二或一1，溪二企+L

類似的，=V3-V2,=V3+V2,a=2-有，±=2+遮?

【啟發(fā)應用】請根據以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴春=---------,樂言而=---------；5為正整數(shù))

（2）若藥匕=2/一血，則租=---------；

（3）計算：高+；^+&+……+Vioolv99-

18.閱讀材料：

材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根

式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式.

例如：V3XV3=3,（V6-V2）（V6+V2）=6-2=4,我們稱舊的一個有理

化因式是g，逐-虎的一個有理化因式是述+企.

材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分

母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化.

8_8（逐+低）_8（逐+但）_2_|_2^2

V6—V2（V6—V2）（V6+V2）4

請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：

（1）vn的有理化因式為，近+逐的有理化因式為；（均

寫出一個即可）

（2）將下列各式分母有理化（要求寫出變形過程）：

②赤；

（3）計算：熹+短+短+…+嬴』布的結果?

19.若虎標是一個正整數(shù)，那么正整數(shù)m的最小值是多少？請?zhí)骄?

20.小麗根據學習“數(shù)與式”積累的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究

下面二次根式的運算規(guī)律.

下面是小麗的探究過程，請補充完整:

（1）具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，

特例1：fl+^=匡=

\3q3q3勺3

特：2：/=匡=g=3p

74747474

特:3：戶1=4/

特例4：.(填寫一個符合上述運算特征的例子)；

(2)觀察、歸納，得出猜想.

如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律

為：;

(3)證明你的猜想；

(4)應用運算規(guī)律化簡：/2022+—X74048=

21.在數(shù)學小組探究學習中，小華與他的小組成員遇到這樣一道題：已知a=

戰(zhàn)，求2a2-8a+1的值.他們是這樣解答的：

.??^=Z__=2-g

2+V3(2+V3)(2-V3)

CL-2——V3

(a-2)2=3即a?—4a+4=3

：,a2—4a=—1

2a2—8a+1—2(ci2—4a)+1—2x(—1)+1——1.

請你根據小華小組的解題方法和過程，解決以下問題：

(2)化'^簡1JV2-+-1-~FV~3~+FV2~~FV4~+V3~…H—/V169+V168T--71=70-+71=69,

1

(3)若a=店與，求a“一4a3-4a+7的值.

22.閱讀理解：學習了二次根式后，你會發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以寫成另一

個式子的平方，如3+2加=1+2+2或=M+2或+（V2）2=（1+V2）2.繼續(xù)

進行以下的探索：設a+b&=（7H+小口）2（其中a,b,m,n都是正整數(shù)），則

有a+bV2=m2+2n2+2mnV2..*.a=m2+2n2,b=2mn,這樣就得出了把類

似a+b企的式子化為平方式的方法.

請仿照上述方法探索并解決下列問題：

（1）當a,b,m,ri都是正整數(shù)時，若a-=（m-m療＞，用含九的式

子分別表示a,b,得a—,b=；

（2）利用上述方法，填空：21-4芯=（-V5）2;

（3）如果a—=（TH—九遍）2,且a,m,九都是正整數(shù)，求a的值.

23.【閱讀材料】小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個

式子的平方，如3+2企=（1+企/.善于思考的小明進行了以下探索：若設a+

bV2=（m+nV2）2=m2+2n2+2mn42（其中a、b、九均為整數(shù)），則有a=

m2+2n2,b=2mn-這樣小明就找到了一種把類似a+b或的式子化為平方式的

方法.請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

【問題解決】

（1）若a+=（m+遮/，當a、b、m、n均為整數(shù)時，則a

=，b=.（均用含m、n的式子表示）

（2）若％+4百=（m+小巧）？，且％、my九均為正整數(shù)，分別求出％、九的

值.

（3）【拓展延伸】

化簡J5+2e=?

24.閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個

式子的平方，如3+2/=（1+應/，善于思考的小明進行了以下探索：

設a+=(m+a九)2(其中a、b、m、n均為正整數(shù))，則有a+&b=

m2+2迎mn+2n2,

a=m2+2n2,b=2mn.

這樣小明就找到了一種把部分a+魚b的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+=(m+&九產，用含m、n的式

子分別表示a、b,得：a=,b=；

(2)若a+4g=(租+舊?1)2,且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；

(3)化簡：J一,21

25.先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學在研究化簡,7+4百中發(fā)現(xiàn):

首先把〃+4g化為J7+2位，由于4+3=7,4x3=12,即：(V4)2+

(V3)2=7,V4xV3=V12?所以，7++2、12=

J(的2+2V43?3+(V3)2=(J(V4+V3)2=2+后

問題：

(1)填仝：,4+，V5-2A/6—；

(2)進一步研究發(fā)現(xiàn)：形如倔的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)&，b

(a>b),使a+b=m,ab=n,BP(Va)2+(Vb)2=m,仿x逐=遮，那么

便有：Jm+2y/n=?

(3)化簡：74-715(請寫出化簡過程)

26.探究逼近V7的有理近似值.

方法介紹：

經過k步操作(k為正整數(shù))不斷尋找有理數(shù)ak,為，使得ak<47<

bk,并且讓bk-ak的值越來越小，同時利用數(shù)軸工具將任務幾何化，直觀理解通

過等分線段的方法不斷縮小V7對應的點P所在線段的長度（二分法）

思路分析：

在數(shù)軸上記ak,bk對應的點分別為Ak,Bk,ak和bk的平均數(shù)ck=

警對應線段AkBk的中點（記為Q）.通過判斷近〈以還是近〉以，

得到點P是在二等分后的“左線段AkCk"上還是“右線段CkBk”上，重復上

述步驟，不斷得到ck,從而得到V7更精確的近似值.

具體操作步驟及填寫“閱讀活動任務單”：

（1）當々=1時，

①尋找左右界值：先尋找兩個連續(xù)正整數(shù)的,瓦，使得a1<V7<b1.

因為V27<V7<V37,所以2〈近V3,那么的=2,九=3,線段

久邑的中點Q對應的數(shù)q=J*=*=2.5.

V7>

Ck=Ck還點P在“左線段得出更精確的V7

Qk+bk

k是AC"上還是“右線與以，,c

以bk2kkk

的值V7<段CkBk”上的大小關系

Ck

V7

1232.5點P在線段C1B1上2.5<V7<3