2024年中考數(shù)學(xué) 以幾何為背景的代幾綜合題復(fù)習(xí)講義

第八章以幾何為背景的代幾綜合題復(fù)習(xí)講義

在幾何圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)、面運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致線(xiàn)段長(zhǎng)度、圖形面積發(fā)生變化，在圖形的變化過(guò)程中，求兩條線(xiàn)系或求面

積與線(xiàn)段之間的函數(shù)關(guān)系是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題.解決幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題的主要思想是"化動(dòng)為靜態(tài)問(wèn)題中圖形面積與函

數(shù)關(guān)系式問(wèn)題，通常需要兩條或兩條以上相關(guān)線(xiàn)段，如三角形或平行四邊形的底長(zhǎng)和寬等，首先根據(jù)題意，用題干

中的已知量設(shè)出自變量(時(shí)間或線(xiàn)段長(zhǎng)).

8.1和線(xiàn)段有關(guān)的函數(shù)關(guān)系題

解題策略

動(dòng)點(diǎn)在圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，產(chǎn)生兩條線(xiàn)段間的函數(shù)關(guān)系，常見(jiàn)的情況主要有以下幾種情況，①勾股定理關(guān)系；②

比例關(guān)系；③線(xiàn)段的和差關(guān)系，其中勾股定理關(guān)系和比例關(guān)系這兩類(lèi)題目比較常見(jiàn).

精選例題

例1.如圖，在等腰三角形ABC中,NBAC=12(T,AB=AC=2,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，在AC

上取一點(diǎn)E,使NADE=30°.

(1)求證:AABD-ADCE;

⑵設(shè)BD=x,AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)當(dāng)AADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng).

(1)由等腰三角形的性質(zhì)和NADE=30°,發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)一線(xiàn)三等角相似模型，不難證明：AABD-ADCE;

⑵如圖AE=AC-CE,即y=2-CE根據(jù)等腰三角形可求出BC的長(zhǎng)度,CD=BC-BD=BC-x,只要借助⑴中的相似

可以導(dǎo)出CE與x的關(guān)系式，代入y=2-CE即可；

(3)MDE是等腰三角形，但是沒(méi)有確定哪兩條邊相等，所以需要分類(lèi)討論.討論時(shí)可借助(2)中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行

解答.

解證明：(1)."ABC是等腰三角形，且NBAC=120°,

.?.zABD=zACB=30°.

.-.zABD=zADE=30°.

?.zADC=zADE+zEDC=zABD+zDAB,

.■.zEDC=zDAB.

.“ABDSADCE;

(2)如答圖L；AB=AC=2/BAC=120。,過(guò)A作AF^BC于點(diǎn)F.A

.-.zAFB=90o.

.AB=2,NABF=30°,

1

AF=-AB=1.

2答圖1

???BF=V3.

???BC=2BF=2V3.

貝！IDC=2V3-x,EC=2-y.

-.△ABD'-ADCE,

AB_DC2_2V3-X

''BD~CE"''x~2-y'

化簡(jiǎn)得：y=|x2-V3x+2(0<x<2V3);

(3)當(dāng)AD=DE時(shí)，(一線(xiàn)三等角全等模型)

如答圖2,由⑴可知:此時(shí)3BD當(dāng)DCE,

則AB=CD,即2=2V3—x,

%=2V3-2,代入y=1%2-V3x+2,

解得：y=4-2遮，即AE=4-2V3;

當(dāng)AE=ED時(shí),如答圖3,NEAD=NEDA=30°ZAED=120:

..NDEC=60°/EDC=90°,

則ED=|EC,即y=|(2-y),

解得：y=I，即AE=|;

當(dāng)AD=AE時(shí)，

zAED=zEDA=30°,zEAD=120°,

此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，此情況不存在，

，當(dāng)AADE是等腰三角形時(shí)，AE=4-2舊或|.

精選練習(xí)

1.如圖所示梯形ABCD中，=9014。=15,48=16,BC=12,點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)F是射

線(xiàn)CD上一點(diǎn)，射線(xiàn)ED和射線(xiàn)AF交于點(diǎn)G,且ZAGE=NDAB;

(1)求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)；

(2)如果3EG是以EG為腰的等腰三角形，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng);

⑶如果點(diǎn)F在邊CD上(不與點(diǎn)C、D重合)，設(shè).力E=居DF=%,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取

值范圍；

2.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E、M分別是線(xiàn)段BD、AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)F,過(guò)

點(diǎn)M作MN12F,垂足為點(diǎn)H,交邊AB于點(diǎn)N.

(1)如圖L若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，求證：.4F=MN;

(2)如圖2,若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)以1CM/S的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以asi/s的

速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

①設(shè)BF=ycni,,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)BN=24N時(shí)，連接FN,求FN的長(zhǎng).

圖1圖2

8.2與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系題

解題策略

一、計(jì)算策略

1.規(guī)則圖形的面積常用公式；

2.不規(guī)則圖形的面積通過(guò)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算；

3.同高（或同底）的三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊（或高）的邊；

4.相似三角形的面積比等于相似比的平方；

5才艮據(jù)所求的面積函數(shù)關(guān)系式結(jié)合已知條件和函數(shù)圖象性質(zhì)求出面積最大值及自變量的值.

二、三角形面積思維策略

對(duì)于點(diǎn)動(dòng)和線(xiàn)動(dòng)中的三角形面積問(wèn)題，主要是適當(dāng)選取三角形的底邊及對(duì)應(yīng)的高：

1.若三角形的底邊在固定的或平行于題中固定的線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，直接用三角形面積公式得到自變量（時(shí)間或線(xiàn)段長(zhǎng)）

關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式（注意自變量的取值范圍），若運(yùn)動(dòng)方向沒(méi)有明確給出，則需要考慮分類(lèi)討論；

2.若所給三角形三邊均沒(méi)有在固定的或平行于題中固定的線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)（常常問(wèn)題中已經(jīng)給出），將三角形分成兩

個(gè)小三角形，再進(jìn)行計(jì)算；若所求三角形正好可以填補(bǔ)成一個(gè)特殊四邊形，可運(yùn)用這個(gè)四邊形的面積減去其他各部

分的面積來(lái)計(jì)算；

三、重合面積思維策略

對(duì)于兩個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)（平移或旋轉(zhuǎn)）中重合部分的面積計(jì)算，需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況分段討論，并根據(jù)運(yùn)動(dòng)的情況選擇

是直接用面積（三角形或四邊形）公式求解還是利用面積的和差來(lái)求解；

精選例題

例1在矩形ABCD中，連結(jié)AC,點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著B(niǎo)-A-C的路徑運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t（秒）.過(guò)點(diǎn)E作EF1.BC于點(diǎn)F,在矩形ABCD的內(nèi)部作正方形EF-GH.

（1）如圖，當(dāng)AB=BC=8時(shí),

①若點(diǎn)H在"ABC的內(nèi)部，連結(jié)AH、CH,求證：AH=CH-,

②當(dāng)0<G8時(shí)，設(shè)正方形EFGH與△ABC的重疊部分面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)AB=6,BC=8時(shí),若直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分，求t的值

Q）①如圖1中，證明△AEH=△CGH（S4S））即可解決問(wèn)題；

②分兩種情形分別求解：如答圖1中，當(dāng)（0<tW4時(shí)，重疊部分是正方形EFGH.如答圖2中，當(dāng)4<tW8

時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN;

⑵分三種情形分別求解：①如答圖3中，延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)M,當(dāng)BM=CM=4時(shí)，直線(xiàn)AH將矩形A

BCD的面積分成1:3兩部分.②如答圖4中，延長(zhǎng)AH交CD于點(diǎn)M交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)1<,當(dāng)（CM=DM=3時(shí),

直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分.③如答圖5中，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，延長(zhǎng)AH交CD于M,

交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于1\1.當(dāng)（CM=DM時(shí)直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分.

解(1)①如答圖1中，

..四邊形EFGH是正方形,AB=BC,

..BE=BG,AE=CG/BEH=NBGH=90°.

.-.zAEH=zCGH=90o.

?.EH=HG,

."AE也ACGH(SAS).

.-.AH=CH；

②如答圖1中，當(dāng)0<t<4時(shí)，重疊部分是正方形EFGH,S=t2.

如答圖2中，當(dāng)4<t<8時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN,

S=SABC~SAEN—Sa”=|x8x8—2x|(8—t)2=—t2+16t—32.

t2(0<t<4),

綜上所述S=

-t2+16t-32(4<t<8);

(2)如答圖3中，延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)M,當(dāng)BM=CM=4時(shí)直線(xiàn)AH將矩形ABCD的面

積分成1:3兩部分.

???EHBM,,

ABBM

.6-t_t

,,——■

64

,12

答圖3

如答圖4中，延長(zhǎng)AH交CD于點(diǎn)M交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)1<,當(dāng)(CM=DM=3時(shí)，直

線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分，易證AD=CK=8,

.EHllBK,

tAE_EH

"AB-BK

6—tt

,,—■

616

48

?"=五；

如答圖5中，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，延長(zhǎng)AH交CD于點(diǎn)M,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于聾火當(dāng)(CM=DM時(shí)，直

線(xiàn)AH將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分，易證AD=CN=8.

在RbABC中,.AC=V62+82=10,

?/EFllAB,

CE_EF

??CA-AB'

16-tEF

■■■-=T

■2

??.EF=|(16-t).

vEHllCNf

.EH_AE

??CN-AC

凱匯=解得t=

8107

綜上所述，滿(mǎn)足條件的t的值為3s或親或梟.

例2.在平面直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)B在y軸的正半軸上,

NABO=30°,矩形CODE的頂點(diǎn)D,E,C分別在OA,AB,OB±,0D=2.

(1)如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)將矩形CODE沿x軸向左平移，得到矩形CODE：,點(diǎn)C,O,D,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C',O',D',E'.設(shè)00'=t,矩形

CODE'與AABO重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)矩形晨。力'/與人人80重疊部分為五邊形時(shí)，CF；D,E分別與AB相交于點(diǎn)M,F,試用含有

t的式子表示S,并直接寫(xiě)出t的范圍；

⑴由點(diǎn)A(6,0),OD=2/ABO=30°,DE為RfADE的直角邊,結(jié)合銳角三角形函數(shù)，即可求出DE的長(zhǎng)，從而得

到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)①當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)(五邊形(。心午^0.5=$”,““”-&*,矩形CODE的面積固定，故只需求出△

ME'F的面積即可，所以關(guān)鍵是用t表示出ME：E,F的邊長(zhǎng)；

②由于重疊部分可能是五邊形、四邊形或三角形，要確定何時(shí)滿(mǎn)足S的取值范圍，需要在不同重疊圖形內(nèi)分

別驗(yàn)證S=b或S=5百是否滿(mǎn)足條件，進(jìn)而確定t的范圍.

解(D由點(diǎn)A(6,0),的0A=6,又OD=2,..AD=OA-OD=4.

在矢巨形CODE中，有DEllCO彳導(dǎo)NAED=NABO=30°,

二在RbAED中,AE=2AD=8.

，由勾股定理得：ED=AE-AD=4百,有C0=4V3.

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為((2,4v司；

(II)①由平移可知,O'D'=2,E'D'=4V3,ME'=OO'=t.

由E'DEB。,得NE'FM=NABO=30°,

在RtAMFE'中,MF=2ME'=2t,

，由勾股定理得FE'=JMF2-ME'=V3t.

S,=-ME-FE=-t-V3t=立華則Si-ciyD，?E'D'=&J3.

MFE222

S=—彳/+8v5,其中t的取值范圍是：0<t<2；

②當(dāng)04t42時(shí),S=-爭(zhēng)2+8次，

：t=0時(shí),Smax=8倔￡=2時(shí),Smin=6七.

.'6V3<S<8不在范圍內(nèi).

當(dāng)2<t<4時(shí)，S=-2V3t+10V3,

???2V3<S<6V3.

當(dāng)S=5百時(shí)，t=I，所以l<t<4,符合條件.

當(dāng)4<t<6時(shí)，S=yt2-6V3t+18V3,

0<S<2V3

.,.當(dāng)S=百時(shí)，ti=6+V2,t2=6-V2,???4<t<6-V2.

綜上所述：|<t<6-V2.

精選練習(xí)

1.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)K在AD上，連接BK,過(guò)點(diǎn)A,C作BK的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)M,N,點(diǎn)0

是正方形ABCD的中心，連接OMQN.

(1)求證:.AM=BN.

(2)請(qǐng)判定△OMN的形狀，并說(shuō)明理由.

⑶若點(diǎn)K在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)(不包括端點(diǎn))，設(shè)4K=x,AOMN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(寫(xiě)出x

的范圍)；若點(diǎn)K在射線(xiàn)AD上運(yùn)動(dòng)，目—MN的面積為△OMN，請(qǐng)直接寫(xiě)出AKfe

2.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的邊OA在x軸正半軸上，點(diǎn)B,C在第一象限，zC=120°,邊長(zhǎng)OA

=8.點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正半軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從A出發(fā)沿邊AB-BC-CO以

每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)MP垂直于x軸并交折線(xiàn)OCB于點(diǎn)P,交對(duì)角線(xiàn)OB于點(diǎn)Q,

點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，分別沿各自路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)。時(shí)，M和N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

⑴當(dāng)t=2時(shí),求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)；

⑵求t為何值時(shí)，點(diǎn)P與N重合；

⑶設(shè)&APN的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.

3.如圖「ABC是等邊三角形,AB=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P

作PQ_LAB,交折線(xiàn)AC-CB于點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形PQD,使點(diǎn)A,D在PQ異側(cè).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)

(0<X<2),APQD與AABC重疊部分圖形的面積為

(DAP的長(zhǎng)為cm(用含x的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，求x的值

(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

A

備用圖

4.如圖，在RtAABC中，=9Q°,AC=BC=4m,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以lcm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng)，同

時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以acm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上？

(2)是否存在某一時(shí)刻t,使△4PQ是以PQ為腰的等腰三角形?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)以PC為邊彳主CB方向作正方形CPMN,設(shè)四邊形QNCP的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB在x軸上,AB、BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程%2-7%+12

=0的兩個(gè)根((BCMB),04=2。B,,邊CD交y軸于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)E出發(fā)沿折線(xiàn)

段ED-向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0<t<6)秒，設(shè)△80P與矩形AOED重疊部分的面積為S.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P,使△BEP為等腰三角形?若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

6已知:如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB\\CD,CD>4B,點(diǎn)C在EB上，NABC=NEBF=90°,AB=

BE-8cm,BC=BF=6czn,延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s;同

時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s.過(guò)點(diǎn)P作1于點(diǎn)H,交CD于點(diǎn)G.設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<5).

解答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線(xiàn)段CQ的垂直平分線(xiàn)上？

(2)連接PQ作QN1AF于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；

(3)連接QGQH,設(shè)四邊形QCGH的面積為5卜6)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(4)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P在.Z4FE的平分線(xiàn)上?若存在，求出t的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

精選練習(xí)

1.解：(1)過(guò)點(diǎn)D作DHLAB,垂足為點(diǎn)H;

在RtADAH中,NAHD=90°,AD=15,DH=12,

???AH=y/AD2-DH2=9.

又；AB=16,

；.CD=BH=AB-AH=7;

(2)VZAEG=ZDEA,

又/AGE=/DAE,，△AEGsADEA.

由4AEG是以EG為腰的等腰三角形，可得△DEA是以AE為腰的等腰三角形.

①若AE=AD,VAD=15,；.AE=15.

②若AE=DE,過(guò)點(diǎn)E作EQ,AD,垂足為點(diǎn)Q,

"""AQ=—AD=—.

"22

在RtADAH中,NAHD=90。，

cos^HAD=-=

AD5

在RtAAEQ中,NAQE=90。，

CALAQ34L25

cosZ-QAE=—=-,???AE=—.

yAE52

綜上所述：當(dāng)4AEG是以EG為腰的等腰三角形時(shí)，線(xiàn)段AE的長(zhǎng)為15或?qū)W

⑶在RtADHE中,/DHE=90。，

DE=y/DH2+EH2=7122+(x-9)2;

VAAEG^ADEA,

AEEGx2

???一=—.???EG=

DEAEV122+(X-9):

x2

???DG=J122+(%—9)2-「F

V''V122+(X-9)2

.??D”4瓦喘=瑞，”與*

??.y=堊普,3的取值范圍為9<%<多

2.解:(1)???四邊形ABCD是正方形，

???AD=AB,NBAD=90°.

VMN±AF,

ZAHM=90°.

???ZBAF+ZMAH=ZMAH+ZAMH=90°.

ZBAF=ZAMH.

在^AMN與^ABF中，

ZAMN=乙BAF,

AM=AB,

ZMZN=乙ABF,

AAAMN^AABF.

AAF=MN;

(2)①:AB=AD=6,

BD=6V2.

由題意得，DM=t,BE=<2tf

AM=6-t,DE=6五一V2t.

VAD//BC,

,,.△ADE^AFBE.

—=—.即-=

BF-BE'y-y[2t

②；BN=2AN,

；.AN=2,BN=4.

由(1)證得ZBAF=ZAMN,

ZABF=ZMAN=90°,

/.AABF^AAMN.

t=2.

???BF=3.

FN=7BF2+BN2—5cm.

8.2與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系題

精選練習(xí)

1.解:⑴證明:,?.四邊形ABCD是正方形，

???AB=BC,NABC=90。，

???ZABM+ZCBM=90°.

?.?AM_LBM,CN_LBN,/.ZAMB=ZBNC=90°.

ZMAB+ZMBA=90°,/.NMAB=NCBM.

JAABM^ABCN(AAS),AM=BN;

(2)AOMN是等腰直角三角形.

理由如下：如圖，連接OB,

???點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，

.*.OA=OB,ZOBA=ZOAB=45°=ZOBC,AO±BO,

ZMAB=ZCBM,

???ZMAB-ZOAB=ZCBM-ZOBC.

???ZMAO=ZNBO.

又AM=BN,OA=OB,-------------力

/.△AOM^ABON(SAS).0/\

：.MO=NO,ZAOM=ZBON./

ZAON+ZBON=90°,

：.ZAON+ZAOM=90°.

ZMON=90°.

AMON是等腰直角三角形；

(3)在RtAABK中，

BK=y/AK2+AB2=Vx2+1.

???SABK=3xAKxAB=|xBKxAM,

Ac”BM_AB

???cos乙ABK=—

AB~BK1

ABAB1

???BM=

BK-Vx2+1'

.：MN=BM-BN=^.

(1)2

SOMN=:MN2

44/+4'

xz-2x+l

???y=(0<%<1);

4X2+4

1X2-2X+1

當(dāng)點(diǎn)K在線(xiàn)段AD上時(shí)則

104X2+4J

解得：X1=3（不合題意舍去）,%2=：.

當(dāng)點(diǎn)K在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，同理可求y=\舒（久〉1）,

.1_X2-2X+1

??10-4X2+4'

解得：=3,X2=：（不合題意舍去）.

綜上所述：AK的值為3或|時(shí),△OMN的面積為2

2.解:⑴當(dāng)t=2時(shí),OM=2.

在RtAOPM中,NPOM=60。，

PM=OM-tan60°=2V3.

在RtAOMQ中,/QOM=30。，

QM=OM-tan30°=竽.

：.PQ=PM-QM=2陋-卓=當(dāng);

⑵由題意：8+(t-4)+2t=24,解得t=y；

⑶①當(dāng)0<t<4時(shí)，

S=|-2t-4V3=4V3t;

②當(dāng)4<t<g時(shí)，

S=|x[8-(t-4)-(2t-8)]X4V3

=40V3-6V3t.

③當(dāng)y<t<8時(shí)，

S=|x[(t-4)+(2t-8)-8]x4V3=6V3t-40V3.

④當(dāng)8<t<12時(shí)，

S=Ss-SWN-SABP=32V3-1-(24-2t)4V3-1-[8-(t-4)]-4V3=6V3t-40V3.

3.解:⑴??,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),

?e?AP的長(zhǎng)為2xcm.故答案為2x;

⑵當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí),如答圖1,

BP二AB-AP=4-2x.

VPQ±AB,.\ZQPA=90°,

VAPQD等邊三角形,△ABC是等邊三角形，

JZA=ZB=ZDPQ=60°.

ZBPD=30°.

JZPDB=90°.

???PD_LBC,

JAAPQ^ABDP(AAS).答圖1

ABD=AP=2x.

.?.BP=2BD,"2x=4x,解得久=|;

(3)①如答圖2,當(dāng)0<xW器寸.

?.?在RtAAPQ中,AP=2x,NA=60。，

PQ=AP-tan60°=2百久.

???△PQD等邊三角形，

SRQD=|x2百比-3x=3V3x2cm2,

y=3-\/3x2;

②如答圖3,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)CPXAB,

???AP=即2x-2.

解得x=l.

QD與BC分別相交于點(diǎn)G、H,

VAP=2x,BP=4-2x,AQ=2AP=4x.

1

.?.BG=-BP=2-X.

2

???PG=V3^G=V3(2-x).

??.SpBG=1xBG.PG=f(2—％)2.

?,AQ=2AP=4x,

???CQ=AC-AQ=4-4x.

QH=y[3CQ=V3(4-4x).

???SacH=：CQ-QH=孚(4—4支)2.

SABC=1x4x2V3=4A/^,

$四邊布儂(2=SABC-SPMG-SaH-SAPQ

2

=4V3-y(2-%)-y(4-4x)2_|X2xx2V3x

=-211/+18V3x—6A/3.

y=—^-x2+18A/3X—6V3;

③如答圖5,當(dāng)l<x<2時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到BC邊上.

設(shè)PD與BC相交于點(diǎn)G,

此時(shí)PG=BP-sin60°=(4-2x)xy

=V3(2—%).

VPB=4-2x,

???BQ=2BP=2(4-2x)=4(2-x).

-1

:.BG=：BP=2-x,：.QG=BQ-BG=3(2-x).

..?重疊部分的面積為：

SROO=|PG-QG=1XV3(2-%)-3(2-x)=子(2—久產(chǎn)

3A/3SN7

??-y=—(2-%)2.

綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：

當(dāng)0<%W|時(shí),y=3V3x2;

當(dāng)|<xW1時(shí)，y=_￡^IX2+lgVSx—6V3;

當(dāng)l<x<2時(shí)，y=手(2-x)2.

4.解:⑴如答圖1中.連接BP.

在RtAACB中.：AC=BC=4,NC=90。，

AB=4V2.

...點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上，

/.BP=BQ.

AQ=V2t,CP=t,

BQ=4立一V2t,PS2=42+t2.

2

(4V2-V2t)=16+t2.

解得t=8-4魂或8+4遍(舍棄).

t=8-475s時(shí)，點(diǎn)B在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上；

(2)①如答圖2中，當(dāng)PQ=QA時(shí)易知△APQ是等腰直角三角形,/AQP=90。.

則有PA=理AQ,

■-4—t=V2,V21.

解得t=1.

②如答圖3中，當(dāng)AP=PQ時(shí)，易知△APQ是等腰直角三角形,/APQ=90。.

則有AQ=42AP,

V2t=V2(4-t),解得t=2.

綜上所述t=乏或2s時(shí),△APQ是以PQ為腰的等腰三角形.

⑶如答圖4中，連接QC作QE±AC于點(diǎn)E作QF_LBC于點(diǎn)F.則QE=AE,QF=EC,可得QE+QF=AE+EC=A

C=4.

■■■S^Sawc+SKQ=1-CN-QF+l-PC.QE=1t{QE+QF)=2t(0<t<4).

5.解:((1)/―7%+12=0,

X]—31%2=4.

VBOAB,

.??BC=4,AB=3.

：OA=2OB,即

/.0A=2,0B=l.4

,/四邊形ABCD是矩形，AJI；

???點(diǎn)口的坐標(biāo)為(-2,4);答副

⑵設(shè)BP交y軸于點(diǎn)F,如答圖1,當(dāng)0WW2時(shí).PE=t.

VCD/7AB,

/.△OBF^AEPF.

...竺=”即與二1

EFEP4-0Ft

4

??.OF=—.

t+i

4八2t

s=-0F-PE=------t=----

22t+1t+1

如答圖2,當(dāng)2<t<6時(shí),AP=6-t,

VOE//AD,

AAOBF^AABP.

...OF="即竺=2

APAB6-t3

??.OF=—.

3

答圖2

S=--OF-071=-x—x2=--t+2.

2233

^(0<t<2),

綜上所述s=

——t+2(2<t<6);

⑶由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，顯然不能構(gòu)成等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)P在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P(-2,m).

VB(l,0),E(0,4),

BP?=9+m2,BE2=1+16=17,

PE2—4+(jn—4)2=m2—8m+20.

①當(dāng)BP=BE時(shí)，9+m2=17,解得m=+242.

則P{-2>2V2)；

②當(dāng)BP=PE時(shí)，9+m2=m2-8m+20,解得m=—.

8

則P(-2用；

③當(dāng)BE=PE時(shí)，17=m2-8m+20,解得m=4±V13.

貝?。軵(-2-4-V13).

綜上，0(一2,2/)或(一2，昔)或(—2,4-舊).

6.解：⑴?."BCD,.

又TAB=BE=8cm,BC=BF=6cm,

.CM_