2024-2025學年高中數學第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數乘運算教學用書教案新人教A版選修2-1

PAGE3.1空間向量及其運算3.3.學習目標核心素養(yǎng)1．理解空間向量的概念．(難點)2．駕馭空間向量的線性運算．(重點)3．駕馭共線向量定理、共面對量定理及推論的應用．(重點、難點)1．通過空間向量有關概念的學習，培育學生的數學抽象核心素養(yǎng)．2．借助向量的線性運算、共線向量及共面對量的學習，提升學生的直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up7(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|．2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量隨意00單位向量隨意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up7(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up7(→))相等向量相同相等a＝b3．向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b加法運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思索1：(1)空間中，a，b，c為不共面對量，則a＋b＋c的幾何意義是什么？(2)平面對量的加減運算和空間向量的加減運算有什么聯(lián)系？[提示](1)以a，b，c為相鄰棱的平行六面體的體對角線．(2)隨意兩個向量都可平移到同一平面，故空間向量的加減運算與平面對量的加減運算類似．4．空間向量的數乘運算(1)定義：實數λ與空間向量a的乘積λa仍舊是一個向量，稱為向量的數乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．(2)運算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．5．共線向量和共面對量(1)共線向量①定義：表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．②共線向量定理：對于空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ使a＝λb．③點P在直線AB上的充要條件：存在實數t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))．(2)共面對量①定義：平行于同一個平面的向量叫做共面對量．②共面對量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb．③空間一點P位于平面ABC內的充要條件：存在有序實數對(x，y),使eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或對空間隨意一點O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))．思索2：(1)空間中隨意兩個向量肯定是共面對量嗎？(2)若空間隨意一點O和不共線的三點A，B，C，滿意eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，則點P與點A，B，C是否共面？[提示](1)空間中隨意兩個向量都可以平移到同一個平面內，成為同一個平面的兩個向量，因此肯定是共面對量．(2)由eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))得eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))即eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，因此點P與點A，B，C共面．1．如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1全部的棱中，可作為直線A1B1A．1個 B．2個C．3個 D．4個D[共四條：AB，A1B1，CD，C1D1．]2．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A．a＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－cC[eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋c．]3．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))化簡的結果為________．0[延長DE交邊BC于點F，則有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，故eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝0．]4．在三棱錐A-BCD中，E，F分別是BC，CD的中點，則eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))的化簡結果為________．eq\o(EF,\s\up7(→))[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(EF,\s\up7(→))．]空間向量的有關概念【例1】(1)給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))；④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p．其中正確命題的序號是________．(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點連接的向量中，與向量eq\o(AA′,\s\up7(→))相等的向量有________；與向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有________．(要求寫出全部適合條件的向量)(1)②③④(2)eq\o(BB′,\s\up7(→))，eq\o(CC′,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))eq\o(B′A′,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(C′D′,\s\up7(→))[(1)對于①，向量a與b的方向不肯定相同或相反，故①錯；對于②，依據相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確；對于③，依據相等向量的定義知，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))，故③正確；對于④，依據相等向量的定義知正確．](2)依據相等向量的定義知，與向量eq\o(AA′,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up7(→))，eq\o(CC′,\s\up7(→))，eq\o(DD′,\s\up7(→))．與向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(C′D′,\s\up7(→))．]解答空間向量有關概念問題的關鍵點及留意點1關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向.2留意點：留意一些特別向量的特性.①零向量不是沒有方向，而是它的方向是隨意的，且與任何向量都共線，這一點說明白共線向量不具備傳遞性.②單位向量方向雖然不肯定相同，但它們的長度都是1.③兩個向量模相等，不肯定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?eq\O([跟進訓練])1．如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up7(→))相等的全部向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的模．[解](1)與向量eq\o(AB,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，，eq\o(D1C1,\s\up7(→))，共3個；(2)向量eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))，共4個；(3)|eq\o(AC1,\s\up7(→))|2＝22＋22＋12＝9，所以|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝3．空間向量的線性運算【例2】(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))；②(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))；④(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))．A．1個 B．2個C．3個 D．4個(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：①eq\o(AP,\s\up7(→))；②eq\o(A1N,\s\up7(→))；③eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))．思路探究：(1)依據向量的三角形法則和平行四邊形法則求解．(2)依據數乘向量及三角形法則，平行四邊形法則求解．(1)D[對于①，(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，對于②，(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，對于③，(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))，對于④，(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．](2)解：①∵點P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b，②∵點N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c，③∵點M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))＝eq\o(MA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＋eq\o(NC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋c＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＋a＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c．1．空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，敏捷運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必留意和向量、差向量的方向，必要時可采納空間向量的自由平移獲得運算結果．2．利用數乘運算進行向量表示的技巧(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合詳細圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，奇妙運用中點性質．eq\O([跟進訓練])2．已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外的一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中點O，Q是CD的中點，求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋xeq\o(PC,\s\up7(→))＋yeq\o(PA,\s\up7(→))；(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o(PO,\s\up7(→))＋yeq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))．[解](1)如圖所示，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))，由向量加法的平行四邊形法則可得eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→)))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)．(2)∵eq\o(PA,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2eq\o(QO,\s\up7(→))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2(eq\o(PO,\s\up7(→))－eq\o(PQ,\s\up7(→)))＝eq\o(PD,\s\up7(→))＋2eq\o(PO,\s\up7(→))－2eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴x＝2，y＝－2．共線問題【例3】(1)設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up7(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，實數k＝________．(2)如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且A1O＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD與AC交于點M．求證：C1，O，M三點共線．思路探究：(1)依據向量共線的充要條件求解．(2)用向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))分別表示eq\o(MO,\s\up7(→))和eq\o(MC1,\s\up7(→))．(1)1[eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2．設eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7,λk＝k＋6))，解得k＝1．](2)解：設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(MO,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(1,3)c，eq\o(MC1,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，∴eq\o(MC1,\s\up7(→))＝3eq\o(MO,\s\up7(→))，又直線MC1與直線MO有公共點M，∴C1，O，M三點共線．1．推斷向量共線的策略(1)熟記共線向量的充要條件：①若a∥b，b≠0，則存在唯一實數λ使a＝λb；②若存在唯一實數λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b．(2)推斷向量共線的關鍵：找到實數λ．2．證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P，A，B可通過證明下列結論來證明三點共線．(1)存在實數λ，使eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))成立．(2)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．eq\O([跟進訓練])3．(1)已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，DA[因為eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))．又直線AB，AD有公共點A，故A，B，D三點共線．](2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))．求證：E，F，B三點共線．[證明]設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，因為eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，所以eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up7(→))，所以eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(A1F,\s\up7(→))－eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c))．又eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up7(→))，所以E，F，B三點共線．向量共面問題[探究問題]1．能說明P，A，B，C四點共面的結論有哪些？[提示](1)存在有序實數對(x，y)，使得eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))．(2)空間一點P在平面ABC內的充要條件是存在有序實數組(x，y，z)使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x＋y＋z＝1)．(3)eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))．2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試推斷p，m，n[提示]設p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋cy(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c．因為a，b，c不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，))而此方程組無解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．【例4】如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE．求證：向量eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))共面．思路探究：可通過證明eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(CD,\s\up7(→))＋yeq\o(DE,\s\up7(→))求證．[證明]因為M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))．同理eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))．所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up7(→))))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up7(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up7(→))．又eq\o(CD,\s\up7(→))與eq\o(DE,\s\up7(→))不共線，依據向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))共面．1．利用四點共面求參數向量共面的充要條件的實質是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量肯定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數的值．2．證明空間向量共面或四點共面的方法(1)向量表示：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面．(2)若存在有序實數組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面．(3)用平面：找尋一個平面，設法證明這些向量與該平面平行．eq\O([跟進訓練])4．已知A，B，C三點不共線，平面ABC外的一點M滿意eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))．(1)推斷eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))三個向量是否共面；(2)推斷點M是否在平面ABC內．[解](1)因為eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以6eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，所以3eq\o(OA,\s\up7(→))－3eq\o(OM,\s\up7(→))＝(2eq\o(OM,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→)))＋(eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up7(→))＝2eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝－2eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))．故向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面，三個向量又有公共點M，故M，A，B，C共面，即點M在平面ABC內．1．一些特別向量的特性(1)零向量不是沒有方向，而是它的方向是隨意的．(2)單位向量方向雖然不肯定相同，但它們的長度都是1．(3)兩個向量模相等，不肯定是相等向量，反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?．四點P，A，B，C共面?對空間隨意一點O，都有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，且x＋y＋z＝1．3．eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))稱為空間平面ABC的向量表達式．由此可知空間中隨意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．4．證明(或推斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))(或eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→)))即可，也可用“對空間隨意一點O，有eq\o(OC,\s\up7(→))＝teq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up7(→))”來證明三點A，B，C共線．5．空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對(x，y)，使eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，滿意這個關系式的點都在平面MAB內；反之，平面MAB內的任一點都滿意這個關系式．這個充要條件常用于證明四點共面．1．下列說法正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．兩個向量相等，若它們的起點相同，則其終點不肯定相同D．若|a|>|b|，|b|>|c|，則a>cB[對于A，由|a|＝|b|可得a與b的長度相同，但方向不確定；對于B，a與b是相反向量，則它們的模相等，故B正確；對于C，兩向量相等，若它們的起點相同，則它們的終點肯定相同，故C錯；對于D，向量不能比較大小，故D錯．]2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運算結果為eq\o(BD1,\s\up7(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))；②eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DD1,\s\up7(→)