2024年中考數(shù)學(xué)暑假?gòu)?fù)習(xí)講義：二次函數(shù)面積問(wèn)題壓軸題專項(xiàng)練習(xí)

二次函數(shù)面積問(wèn)題

1二次函數(shù)三角形面積最大值鉛垂定理(初三)

如圖.已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-3,0),B(0,3),且其對(duì)稱軸為直線x=-1.

⑴求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)A,點(diǎn)B),求△P4B的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)

P的坐標(biāo).

2二次函數(shù)面積相等動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題胡不歸最小值問(wèn)題(初三)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=微工-2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋

物線y=af+版+c與x軸交于另一點(diǎn)C(-l-0).

⑴求拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使SPAB=S°4B?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△的面積最大時(shí)，求MN+號(hào)ON的最小

值

3二次函數(shù)面積最大值問(wèn)題胡不歸最小值問(wèn)題（初三）

在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=a/（a）O）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖

所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），。4=1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b（k

豐0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,△4BD的面積為5.

⑴求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在⑵的結(jié)論下，求PE+的最小值.

4二次函數(shù)面積最大值周長(zhǎng)最小值求點(diǎn)的坐標(biāo)（初三）

已知拋物線y=ax2+bx-4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,0）、B（一4,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求這條拋物線的解析式；

（2）如圖1,點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶如圖2，線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E,垂足為D,M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)

G,使△CMG的周長(zhǎng)最小?若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5二次函數(shù)三角形相似存在性問(wèn)題三角形面積最大值(初三)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a久2+bx+c與x軸交于點(diǎn).4(-2,0),點(diǎn)B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8)

,連接BC.又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線1,沿x軸正方向從0運(yùn)動(dòng)到B(不含0點(diǎn)和B點(diǎn))，且分別

交拋物線、線段BC以及x軸于點(diǎn)P,D,E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)連接AC,AP,當(dāng)直線1運(yùn)動(dòng)時(shí),求使得△PE力和△4。。相似的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)作PF1BC,垂足為F,當(dāng)直線1運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值.

1.

tv

6二次函數(shù)將軍飲馬周長(zhǎng)最小值面積相等問(wèn)題(初三)

如圖，拋物線yax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A(-l,0)、B(3,0)、C(0,3).

⑴求拋物線的解析式；

⑵在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△P4C的周長(zhǎng)最小，若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△P2C的周

長(zhǎng)；巖不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M(不與C點(diǎn)重合)，使得SPAM=Sp/c?若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

?

7二次函數(shù)面積倍分問(wèn)題平行四邊形存在性問(wèn)題(初三)

如圖，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D

的橫坐標(biāo)為機(jī)(1(根<4),連接AC、BC、DB、DC.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)當(dāng)△BCD的面積等于△40C的面積的前寸.求m的值

(3)當(dāng)爪=2時(shí)，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)

B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8二次函數(shù)三角形面積倍分問(wèn)題(初三)

如圖，拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)),與

y軸交于點(diǎn)C,(OB=0C=3.

⑴求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)連接BC,點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn),連接OD,CD,OD交BC于點(diǎn)F,當(dāng)SC0F-.SCDF=3:2時(shí)，求點(diǎn)D

9二次函數(shù)造橋選址周長(zhǎng)最小值面積倍分問(wèn)題（初三）

如圖拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（一1，0）,點(diǎn)C（0,3），且（OB=OC.

⑴求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；

⑵如圖1,點(diǎn)D、E是直線x=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=1,點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最

小值

⑶如圖2,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

，一vz?Jnw-1—*rw--

10線段相等求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)面積倍分問(wèn)題（初三）

如圖，已知二次函數(shù)的圖象與X軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,。），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,3）.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)E是線段BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F,且ED=EF,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

⑶試問(wèn)在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的|?若存在，求出點(diǎn)G的坐

11二次函數(shù)面積最小值動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(初三)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角4ABC的直角頂點(diǎn)C在y軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)A,B在x軸上,且.AB=4?

拋物線經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)，如圖1所示

⑴求拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式.

(2)過(guò)原點(diǎn)任作直線1交拋物線于M,N兩點(diǎn)，如圖2所示.

①求△CMN面積的最小值.

②已知Q(1，-1)是拋物線上一定點(diǎn)，問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線1對(duì)稱，若存在，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線1的一次函數(shù)表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12二次函數(shù)鉛垂定理面積最大值線段旋轉(zhuǎn)90。(初三)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=收+版—3交x軸于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),過(guò)點(diǎn)B的直線y=|尤-2交拋物

線于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P不與點(diǎn)B,C重合)，求△PBC面積的最大值；

(3)若點(diǎn)M在拋物線上，將線段0M繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)990。,得到線段ON,是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)N恰好落在直線B

1解:(1)拋物線對(duì)稱軸是直線X=-1且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),由拋物線的對(duì)稱性可知：拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),設(shè)拋物

線的解析式為y=a(x-Xi)(x-x2)(a#0)

即:y=a(x-l)(x+3)

把B(0,3)代入得:3=-3a,.*.a=-1

拋物線的解析式為:y=f2一2%+3.

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,???A(-3,0),B(0,3),廣2甘=?.直線AB為y=x+3,如圖，作PM±x軸,交

Iu—3

直線AB于M,設(shè)P(x--x2-2x+3),則M(x,x+3),

PM——x2—2x+3—(x+3)=-x2—3x,

S=|xPMx0^=|(-x2-3x)x3

此時(shí)，k-(一|)-2x(-|)+3=^,

2解:⑴；直線y=1—2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,-2),?點(diǎn)C(-1,0),點(diǎn)A(4,0)

**?設(shè)拋物線解析式為:y=a(x+l)(x-4),

把點(diǎn)B(0,-2)代入得二—2=—4a,a=|,

.,?拋物線解析式為：y=|(x+l)(x-4)=jx2-jx-2；

⑵存在，分兩種情況討論：

①.當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí),過(guò)點(diǎn)O作OP〃AB,交拋物線于點(diǎn)P,如圖1中的P1和P2,

VOP^AB,.,.AABP^AABO是等底等高的兩個(gè)三角形,SPAB=SAB0>

；OP〃AB,.,.直線PO的解析式為y=jx,

y=-x

1J,

y=-xz——x—2

/22

解得:忙盆!警叱二仁堂

點(diǎn)P(2+2V2-1+&)或(2-2加，1-V2);

②.當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，在OB的延長(zhǎng)線上截取BE=OB=2,過(guò)點(diǎn)E作EP〃AB,交拋物線于點(diǎn)P,如圖1中的P

AB〃EP3〃OP,OB=BE,?.SAAP3B=SAABO,

：EP”〃AB,且過(guò)點(diǎn)E(0,-4),

V=—%-4(_n

，直線EP3解析式為y="-4,聯(lián)立方程組可得：1；3，解得；二，點(diǎn)P3(2,-3),綜上所述：點(diǎn)

2v=-x2--x-2(y—T

X：22

P坐標(biāo)為(2+2V2-1+&)或(2-2V2,1-a)或(2,-3);

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MF±AC,交AB于F,設(shè)點(diǎn)M(m,|m2-|m-2)廁點(diǎn)F(m,|m-2),:.MF=jm-2-

2222

(jm-jm-2)--|(m-2)+2,SMAB=jxMFxOX=jx4x[-j(m-2)+2]=-(m-2)+4,

當(dāng)m=2時(shí),△MAB的面積有最大值，

...點(diǎn)M(2,-3),

再過(guò)點(diǎn)O作/HOB=30。,過(guò)點(diǎn)N作GN_LOH于G點(diǎn)廁G/V=|ON,：.MN+：0N=MN+KN,

當(dāng)M、N、G三點(diǎn)共線,且垂直O(jiān)H時(shí),MN+1ON最小，作MHLOH于H點(diǎn),，MH即為所求的最小值，

設(shè)OH與MF交于點(diǎn)Q,則乙MQH=30°,MW=|QM又易得QM=QE+EM=2百+3,MW==V3+

jMN+1ON的最小值為V3+|.

3解：(1)將二次函數(shù)y=a久2(a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線解析式為y=a(x-

1戶2,

；C)A=1,.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)，代入拋物線的解析式得，4a-2=0,；.a=l/2,

拋物線的解析式為：y=-1尸-2,

gPy=jx2-X-1

令y=0.解得.Xi=-1,X2=3,；.B(3,0),

.\AB=OA+OB=4,

,?,△ABD的面積為5,SABD=IxXBxyD=5,

2

???yD=I，把y=I代入拋物線解析式y(tǒng)=|x--|

得：2=2%2一%-解得：X1=~2'X2=/

D(4,(J,設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

把A(-l,0)、D(4,$代入得：./軌+°=I，

2k-k+b=O

解得：b，直線AD的解析式為y=梟+|.

⑵過(guò)點(diǎn)E作EM，x軸交AD于M,如圖1,設(shè)E(x,12-%-1),則M(”|X+O,

2

11Io31r3

■■-EM=2X+2-2X+X+2=-2X+2X+2'

^ACE=^AME—^CME=]XEMXAO

=lx(-lx2+lx+2)xl=-z(x-l)2

.?.當(dāng)x=|時(shí)，△ACE的面積有最大值，最大值是此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(|，-胡.

(3).作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF交x軸于點(diǎn)G,

■■-E^-^,OA=I,.：AG=1+1=1，

5

1KAd-4

EG—=^=-,-.乙AGE=乙AHP=90°

8EG—3

8

sinzFXG=翳=:sin^FAG=sinzFXC=|,過(guò)點(diǎn)P作PQ±AF于點(diǎn)Q,貝！|PQ=|P4

PE+|ap=PE+PQ,當(dāng)E、P、Q三點(diǎn)共線,且垂直AF時(shí),PE+14P有最小值.作EHLAF,則EH即為所求.

由三角形面積得：|xEFxXG=|xXFxFW

1525

???EF=2EG=—,AF=AE=—

48

.■.-x—x-=-x—xEH,解彳導(dǎo):EH=3

24228

PE+|P4的最小值是3.

4解:⑴\?拋物線y=ax+bx-4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(-4.0),.\+吃一，，解得fa=P

116a—4/?—4=。U=]

拋物線解析式為丫=之一+”一4;

⑵如圖1,連接0P,設(shè)點(diǎn)p(x<|x2+x-4),其中-4<x<0,四邊形ABPC的面積為S,

由題意得C(0,-4),/.S=SAAOC+SAOCP+SAOBP=jx2x4+|x4x(-%)+|x4x(-|x2-x+4)=4-

2%-Y—2%+8=—x2—4%+12=—(%+2尸+16.

V-l<0,開口向下,S有最大值，，當(dāng)x=-2時(shí)四邊形ABPC的面積最大,止匕時(shí),y=-4,即P(-2,-4).

因此當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-4).

二頂點(diǎn)》如圖2,連接AM交直線DE于點(diǎn)G,此時(shí)，△CMG的周長(zhǎng)最小.設(shè)直線AM的解析式為y=kx+

b,且過(guò)點(diǎn)A(2,0),M(—1，—J,+6=—?解得：|[2,.直線AM的解析式為y=|x-3.

在RtAAOC中,AC=y/OA2+OC2=2逐.

為AC的中點(diǎn),AD=|XC=V5,

AE.於_AE

vADE?AOC,—

AC'??2-2V5,

AAE=5,.*.OE=AE-AO=5-2=3,AE(-3,0),

由圖可知D(1,-2),設(shè)直線DE的函數(shù)解析式為y

=mx+n,把D(l,-2)、E(-3,0)代入得:｛鳥：；；]j，

771=-----

解得：：J直線DE的解析式為y=

n=——

I2

(13(3

V-X—|X—~

...聯(lián)立得：22,解得：之，

[y=32x-3[y=-T

???G?T?

5解：(1)將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式

4a—+c=0(a=-1

得：16a+4b+c=0,解得：b=2,

c=8(c=8

故拋物線的表達(dá)式為：y=-/+2x+8;

⑵：點(diǎn)A(-2,0)、C(0,8),.,.OA=2,OC=8,Vl±x?.AZPEA=ZAOC=90°,

'：ZPAE#ZCAO,

只有當(dāng)NPAE=NACO時(shí)，△PEAs△AOC,此時(shí)笠=震，即:"=?,....=4PE,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為k,

C/Czjiiyo乙

貝!JPE=k,AE=4k,

.*.OE=4k-2,將點(diǎn)P坐標(biāo)(4k-2,k)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得:k=0(舍去)或則點(diǎn)P(FH)；

(3)在RtAPFD中2PFD=/COB=90。，

：l〃y軸，；./PDF=NOCB,；.R3PFDRtABCO,

.SQPFD_,PD2—PD.o

?,《------(T77)，??5PDF-(—)2eSdBOC，

ROC”CA4c

而SBOC=,。。=Ix4x8=16,

BC=VCO2+BO2=4V5,

??.SPDF=(疆)2X16=丁",即當(dāng)pD取得最大值時(shí)，SAPDF最大，

將B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為:y=-2x+8,

設(shè)點(diǎn)P(m<—m2+2m+8),則點(diǎn).D(m,-2m+8)廁PD——m2+2m+8+2m—8=—(m—2)2+4,當(dāng)m=2時(shí),P

D的最大值為4,故當(dāng)PD=4時(shí),.?.SPDF=|P"=￡.

6解:⑴：拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)；.可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+l)(x-3)

把點(diǎn)C(0,3)代入得:-3a=3,.,=/

.*.y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小.如圖1,連接PB、BC

,點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸直線x=l上，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，PA=PB,；.CAPAC=AC+PC+PA=AC+PC+PB

;當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí),PC+PB=CB最小，

VA(-l,0),B(3,0)、C(0,3)

/.由兩點(diǎn)距離公式可得：AC=V10,BC=3V2

CPAC—AC+CB=V10+3&'最小

設(shè)直線BC解析式為y=kx+3,把點(diǎn)B代入得:3k+3=0,解得:k=-l,.,.直線BC:y=-x+3,；.yp=-l+3=2.,.點(diǎn)P(1,2>^AP

AC的周長(zhǎng)最小，最小值為V10+3V2.

(3)存在)兩足條件的點(diǎn)M，使得SPAM=SPAC.

V當(dāng)以PA為底時(shí)，兩個(gè)三角形等高時(shí)，兩個(gè)三角形面積相等，

點(diǎn)M和點(diǎn)C到直線PA距離相等時(shí)，SPAM=Sp4c現(xiàn)在，分兩種情況討論：

①若點(diǎn)M在點(diǎn)P上方,過(guò)點(diǎn)C作CM〃PA,交拋物線于點(diǎn)M,如圖2中的Ml,VA(-1,0),P(l,2),設(shè)直線AP解析式為

y=px+d,{p+d=O

解得：化.??直線AP:y=x+l

..?直線CM解析式為:y=x+3,聯(lián)立得:|y+3

解得：C二;(即點(diǎn)(C),［二:二點(diǎn)M坐標(biāo)(1,4)

②若點(diǎn)M在點(diǎn)P下方,如圖3中的M2,

同理C'M2||PA,由題意可知,且直線C'M2到PA的距離等于直線y=x+3到PA的距離，

..?直線AP:y=x+l向下平移2個(gè)單位得y=x-l即為直線C'M2的解析式，聯(lián)立得：［y

1+V171-V17

X=------X=------

解得:2或

1+V17小1-V17

”---y=一--

???點(diǎn)M在x軸上方.刁＞0

..?點(diǎn)M坐標(biāo)為(手，鳥二)

綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,4)或(1+^^,”1)時(shí),SPAM=SPAC.

7解:(1)由拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式得:y=a(x+2)

(%-4)=a(x2—2x-8)=ax2—2ax—8a

即一8a=6,解得:a=-*

故拋物線的表達(dá)式為：y=-|x2+|x+6;

(2)由拋物線的表達(dá)式知.點(diǎn)C(0,6),由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，得直線BC的表達(dá)式為：y=-|久+6,如圖1,過(guò)點(diǎn)D作

2

DHLx軸.交直線BC于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)D(m--|m+jm+6)則點(diǎn)+6),則SBDC=^HDxOB

1/3.3.z..3

=-x44x——mz7+-m+6+-m—6

2V422)

—2(_1*_|_3772),

ACO=-X-X6X2=-,

???~4SALU422'

???2(_(m2+3M)=2

解得:m=l或3(舍去1),故m=3;

⑶當(dāng)m=2時(shí)點(diǎn)D(2,6),設(shè)點(diǎn)M(x,0),點(diǎn)N(t,n),則九=一1/+1七+6circlel,

第一種情況：當(dāng)BD是邊時(shí)，則N的縱坐標(biāo)為6或者-6，點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)D,同樣

點(diǎn)M(N)向左平移2個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N(M),故'或^-^=n'

解得:x=2或1±舊(不合題意的值已舍去)；

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1+E0)或(-1-V17-0)或(2,0);

第二種情況：當(dāng)BD是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：j(2+4)=i(x+t),j(6+0)=1(n+0)circ/e3,聯(lián)立①③并解

得x=6,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,0),綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1+V17-0)或(-1-V17-0)或(2,0)或(6,0).

8解:⑴：OB=OC=3.；.c=3,點(diǎn)B(3,0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y=ax2+2x+3并解得：a=-1,故拋物

線的表達(dá)式為：y=-%2+2%+3;

⑵如圖,過(guò)點(diǎn)D作DH±x軸于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)M,

S^COF：S?DF=3：2,則OF：FD=3:2,

：DH〃CO,故CO:DM=3:2,貝1].DM=|C0=2,由B、C的坐標(biāo)得:直線BC的表達(dá)式為:y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)￡)(x--%2+2x+3),則點(diǎn)M(x,-x+3),DM=-%2+2%+3-(-x+3)=2

解得:x=l或2,故點(diǎn)D(1,4)或(2,3).

464.解:(1)VOB=OC,.?.點(diǎn)B(3,0),則拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+l)(x-3)=a(x?-2x-3)=ax2-2ax-3a,故-3a=3,

解得:a=-l,故拋物線的表達(dá)式為：y=-/+2久+3…circ/el,函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=l；

⑵四邊形ACDE的周長(zhǎng)=AC+DE+CD+AE,其中.AC=V10.DE=1是定值，故CD+AE最小時(shí)，周長(zhǎng)最小.取點(diǎn)C

關(guān)于直線x=l對(duì)稱點(diǎn)。(2,3),則CD=C'D,取點(diǎn)A,(-1,1),則A'D=AE,

故:CD+AE=A'D+DC',,則當(dāng)A\D、。三點(diǎn)共線時(shí),CD+AE=A'D+DC，最小，周長(zhǎng)也最小，

四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值=AC+DE+CD+AE=V10+1++￡>C,=V10+1+A'C=V10+1+V13;(3)設(shè)

直線CP交x軸于點(diǎn)E,

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又:SPCB：SPSx(yc-yP)，4Ex(%-yp)=BE:AE,則B

E:AE=3:5或5:3,貝AE=］或

即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為(|,0)或(呆),將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式:y=kx+3,解得:k=-6或-2,

故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8(不合題意值已舍去),故點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(4,-5)或(8,-45).

9解:(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x—l)2+3將點(diǎn)B代入得0=a(5-l)2+3彳導(dǎo)a=—2

lo

..?二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-高(％—1)2+3

±D

_3

(2)依題意，點(diǎn)B(5,0)，點(diǎn)D(l,3),設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,代入得以：心廣匕解得：一；上線段B

—K-rub=__

\4

D所在的直線為y=-：x+半

44

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：卜一［%+廁F(x,0)

???EF=—

442

ED2=(久-1)2+(—|x+?—3),

315

EF2=(一一x+一)2,,:ED=EF,：.ED2=EF-

44

(x-l)2+(-|%+^-3)2=(-^x+^)2,

整理得2/+5x—25=0,解得=j,x2=—5(舍去).

故點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為y=—卜|+竽=蔡

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(俱吟)

(3)存在滿足條件的點(diǎn)G,分兩種情況討論：

①.當(dāng)點(diǎn)G在x軸的上方時(shí)，如圖1,設(shè)直線DG交x軸于P,設(shè)P(t,0)，作AE±DG于E,BFXDG于F.

由題意:AE:BF=3:5,

：BF〃AE,；.AP:BP=AE:BF=3:5,

(-3-t):(5-t)=3:5,解得t=-15,

???P(-15,0)，由點(diǎn)P(-15,0),點(diǎn)D(l,3)可

得：直線DG的解析式為y=白光+普，

lo16

3.45

y=—xH——

聯(lián)立方程組得：(y=一51(%6—11)62+3,

x—工&G(咱.

解得

y=

②當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí),如圖2,令y=0,

y=-20-1尸+3=0,解得:xi=-3,x2=5,

1O

???A(-3,0)、B(5,0),AAO:OB=3:5

當(dāng)點(diǎn)G在DO的延長(zhǎng)線上與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)G使得SADG'BDG=3：5,此時(shí)，DG的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線

y=3x

DG的解析式為y=kx,將點(diǎn)D(l,3)代入得:k=3,故y=3x,則有

y=-1)2+3

-lo

整理得,(x-1)(x+15)=0,

得Xi=1(舍去),X2=-15,當(dāng)x=-15時(shí),y=-45,故點(diǎn)G為(g-45).

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為0,黃或(-15,-45).

466.解：⑴設(shè)拋物線的解析式為yax2+bx+c(a力0),在等腰RtAABC中,OC垂直平分AB,且AB=4,.\OA=OB

=OC=2,

???A(-2,0),B(2,0),C(0,-2),

(4a+2b+c=0(a=-

代入彳導(dǎo)：.q4a—2b+c=0,解彳導(dǎo)，(°j

(c=-2Vc=-2

拋物線的解析式為y=*-2；

⑵①設(shè)直線1的解析式為y=kx,M(xj,yi),N(x2,y2)，由-2"可得梟2一左久-2=0,

Iy=kx

?'?Xi+x2=2k,Xi-x2=-4,

???（%1—%2）2=（X1+%2）2—4%1%2=4k2+16,

\x1-x2\=27k2+4,

SCMN=5。。x|%i—型1=24k2+4,

??.當(dāng)k=0時(shí)2VF”取最小值為4.此時(shí)直線1與x軸重合，,ACMN面積的最小值為4.

②假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P2）,使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線1對(duì)稱，

222

.,.OQ=OP,即J1+值）=Jm+Qm-2），解得，=43,m2--V3,m3=l,m4=-l/.'m3=1,m4=-1

不合題意，舍去，

當(dāng)碼=8時(shí).點(diǎn)P（V3--J,線段PQ的中點(diǎn)為（粵，-1）代入y=kx得:等k=1,

fc=1-舊,；.］直線1的表達(dá)式為：y=（1-百）/當(dāng)m2=-百時(shí)，點(diǎn)P（-四線段PQ的中點(diǎn)為

（與AT）代入y=kx得:k=-1,k=1+百,.?.直線1的解析式為y=（1+V3）x.

綜上,點(diǎn)P（V3>-￡）,直線1解析式為y=（l-V3）x

點(diǎn)P（-遮，-］直線1解析式為y=（1+V3）x.

10解:⑴將點(diǎn)A（/，°），B（3，。