2024年中考數(shù)學壓軸專項突破訓練：三角形中的數(shù)量和位置關(guān)系（教師版含解析）

專練02三角形中的數(shù)量和位置關(guān)系

1.如圖1,ACLCH于點C,點B是射線CH上一動點，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AADE（點

D對應點C）.

三%

c—---

圖1圖2

(1)延長ED交CH于點F,求證：FA平分/CFE；

(2)如圖2,當/CAB>60。時，點M為AB的中點，連接DM請判斷DM與DA、DE的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【答案】⑴如圖1中，

cFS

圖1

AADE由4ABC旋轉(zhuǎn)得到，

/.AC=AD,ZACF=ZADE=ZADF=90°,AF=AF

/.△ACFSAADF(HL),

ZAFC=ZAFD,FA平分NCFE；

(2)結(jié)論：2DM+V3AD=DE,

理由如下：如圖2中，延長AD交BC于F,連接CD,

L二FB

圖2

VAC=AD,ZCAD=60°,

/.△ACD為等邊三角形,

???AD=CD=AC,

VZACF=90°,NCAF=60。，

JNAFC=30。，

???AD=AC=iAF,

2

；.AD=DF,

...D為AF的中點，

又：M為AB的中點，

；.DM=工FB,即FB=2DM

2

在RtAAFC中，F(xiàn)C=V3AC=V3AD,

???DE=CB=FB+FC,

FB+FC=2DM+冉AD

/.2DM+V3AD=DE.

2.在AABC中，ZACB=45°,D(與點B,C不重合)為BC邊上一動點，連接AD,以AD為直角

邊，在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，直線DE與AC相交于點F,連接CE.

(1)如圖1,如果AB=AC.

①直線CE與BD之間的位置關(guān)系是；

②線段AF,CF,DF,EF的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,如果AB4AC,(1)中的結(jié)論是否還成立，為什么？

⑶若AC=4,AD=3,2,求AF的長.

【答案】(1)解：①CE與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：

VAB=AC,ZACB=45°,

.\ZABC=45°.

由等腰直角三角形ADE得AD=AE,ZAED=45°

ZDAE=ZBAC=90°,

；./DAB=NEAC,

ADAB沿AEAC(SAS),

；./ACE=/ABC=45°.

ZBCE=ZACB+ZACE=90°.

即CE±BD.②線段AF,CF,DF,EF的數(shù)量關(guān)系是AF-FC=EF-DF

理由：VZAED=ZACB=45°,ZAFE=ZDFC

.".△AFE^ADFC

...AF=EF

DFFC

JAF-FC=EF-DF

(2)解：(1)中的結(jié)論還成立，

理由：過點A作AGLAC交BC于點G,

AAC=AG,ZAGC=45°,

即^ACG是等腰直角三角形，

ZGAD+ZDAC=90°=ZCAE+ZDAC,

???ZGAD=ZCAE,

又?.?DA=EA,

AAGAD^ACAE,

:.ZACE=ZAGD=45°,

ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

即CE±BD.

VZAED=ZACB=45°,ZAFE=ZDFC

AAAFE^ADFC

?AF_EF

?(———

DFFC

???AF-FC=EF-DF

(3)解：過A作AMLBC于M,

ZACB=45°,

???△AMC是等腰直角三角形，

JAM=CM=^AC=2V2

2

DM=VADZ—AM2=V(3A/2)2-(2,2)2=VTU

CM=VAQ-AM2=V42-(2A/2)2=2A/2

.\CD=CM-DM=VTU-V2

VAAFE^ADFC

?AE_AF

??-------

DCFC

???3y/2'——AF

V10-V24-AF

FA=12A/5-24；

3.回答下列問題.

(1)(問題提出)

如圖1,AABC與AADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC,DE分別是底邊，求證:BD=CE；

圖1

(2)(類比延伸)

如圖2,AACB與ADCE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接BE

填空：ZAEB的度數(shù)為,線段EB與AD之間的數(shù)量關(guān)系為.

(3)(拓展研究)

如圖3,AACB與ADCE均為等腰直角三角形，zACB=ZDCE=90°，點A,D,E在同一直線上，CM1DE

于點M,連接BE.請求出ZAEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖3

【答案】(1)解：???ZBAC=ZDAE=40°,

???ZBAC-ZDAC=ZDAE-zDAC,

即/BAD=zCAE

在ABAD和ACAE中，

AB=AC

{ZBAD=ZCAE

AD=AE

???ABAD三ACAE(SAS),

?t?BD=CE.

(2)60°,EB=AD；

?-?AACB和ADCE均為等邊三角形，

AC=BC,CD=CE,

Z.ACB=ZDCE=60°,ZCDE=zCED=60°,

Z.ACB-Z.DCB=Z.DCE—Z.DCB

HPzACD=zBCE,

在AACD和ABCE中，

AC=BC

{zACD=zBCE,

CD=CE

??.AACD=ABCE(SAS),

BE=AD,Z.ADC=Z.BEC,

???點A,D,E在同一直線上，

??.ZADC=180-60=120°

??.ZBEC=120°,

ZAEB=ZBEC-ZCED=120-60=60°；

⑶解：vAACB和ADCE均為等腰直角三角形，

AC=BC,CD=CE,ZACB=zDCE=90°,zCDE=ZCED=45°,

Z.ACB—Z.DCB=Z.DCE-Z.DCB,

BPZACD=ZBCE,

在AACD和ABCE中，

AC=BC

{ZACD=ZBCE,

CD=CE

AACD=ABCE(SAS),

BE=AD,ZBEC=Z.ADC,

???點A,D,E在同一直線上，

??.zADC=180-45=135°

??.ZBEC=135°,

??.ZAEB=ZBEC-ZCED=135°-45°=90°

??.ZDCE=90°,CD=CE,CM1DE,

CM=DM=EM,

??.DE=DM+EM=2CM,

AE=AD+DE=BE+2CM,

即線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系為AE=BE+2CM.

4.八年級數(shù)學課上，老師出示了如圖框中的題目.

小明討論后，進行了如下解答

(1)特殊情況入手探索:

當點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論：AE

DB（填“>”，“<”或"="）

(2)一般情況進行論證：

對原題中的一般情形，二人討論后得出⑴中的結(jié)論仍然成立，并且可以通過構(gòu)造一個三角形與AEBD全

等來證明.以下是他們的部分證明過程：

證明：如圖2,過點E作EF//BC,交AC于點F.(請完成余下的證明過程)

(3)應用結(jié)論解決問題:

在邊長為3的等邊三角形ABC中，點E在直線AB±,且AE=1,點D在直線BC上，ED=

EC.則CD=(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)當點E為AB的中點時，如圖1,結(jié)論：AE=DB,

圖1

理由：:△ABC是等邊三角形，點E為AB的中點，

???ZBCE=30°,

VED=EC,

/.ZD=ZBCE=30°,

ZABC=60°,

.\ZD=ZBED=30°,

???BD二BE,

VAE=BE,

AAE=DB；

(2)解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB,

理由如下：如圖2,過點E作EF〃BC,交AC于點F.

圖2

.\ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,ZBCE=ZCEF,

ZABC=ZACB=60°,

???ZAEF=ZAFE=60°,

???△AEF是等邊三角形，

AAE=EF,

VDE=CE,

.*.ZD=ZBCE,

.\ZD=ZCEF,

ZABC=ZAFE=60°,

ZDBE=ZEFC=120°,

在ADBEEFC中，

ZD=ZCEF

{ZDBE=ZEFC,

DEKE

ADBE=△EFC(AAS),

.\EF=DB,

???AE=DB；

(3)???AE=1,AABC的邊長為3,

???E點可能在線段AB上，也可能在BA的延長線上，

當點E在AB時，由(2)可知BD=AE=1,則CD=BC+BD=1+3=4,

當點E在BA的延長線上時，如圖3,過點E作EF//BC,交CA的延長線于點F,

圖3

???AABC是等邊三角形,

???ZABC=ZACB=ZBAC=60°

???ED=EC,

???ZEDC=Z.ECD,

vEF//BC,

??.ZF=ZFCB=ZB=60°,ZFEC+zECD=ZEDC4-ZEDB=180°

ZEDB=ZFEC,

AAEF是等邊三角形，

???AE=EF.

在ABDE和AFEC中,

zF=zB

{ZFEC=ZEDB

EC=DE

???ABDE三AFEC(AAS)

???EF=BD

???BD=EF=AE=1

CD=BC-BD=3-1=2

5.如圖，在四邊形ABCD中，/BAD的角平分線與邊BC交于點E,ZADC的角平分線交直線AE于點

O.

⑴若點。在四邊形ABCD的內(nèi)部，

①如圖，若AD//BC,ZB=40°,ZC=70°,貝。ZDOE=()；

②如圖，試探索NB、NC、ZDOE之間的數(shù)量關(guān)系，并將你的探索過程寫下來.

(2)如圖，若點O是四邊形ABCD的外部，請你直接寫出NB、NC、ZDOE之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)①：AD〃BC,ZB=40°,ZC=70°,

.,.ZBAD=140°,ZADC=110°,

：AE、DO分別平分/BAD、ZCDA,

/.ZBAE=70°,ZODC=55°,

.,.ZAEC=110°,

ZDOE=360°-110o-70o-55o=125°；

故答案為125；

②?；AE平分ZBAD

?-?ZDAE=1ZBAD

2

???DO平分ZADC

???ZADO=1ADC

2

?-?ZDAE+ZADO="AD+工ADC

22

=1(ZBAD+ZADC)

2

???ZB+ZC+4BAD+4ADC=360°

Z.BAD+Z.ADC=360°—Z.B—Z.C

??.Z.DAE+匕ADO=1(360°-ZB-ZC)

2

=180°-IzB-IzC

22

??.ZAOD=180°-(ZDAE+乙ADO)

=1ZB+1ZC

22

???Z.DOE=180°-ZAOD

=180°-izB-IzC.

22

(2)zDOE=i^B+lzC

22

6.如圖1,在四邊形ABCD中，AB1AD,BC1CD,AB=BC,zABC=2ZEBF,它的兩邊分別交

AD、DC點E,F.且AE*CF.

(1)求證：EF=AE+CF.

(2)如圖2,當ZMBN的兩邊分別交AD,DC的延長線于點E,F,其余條件均不變時，(1)中的結(jié)論是否成

立？如果成立，請證明.如果不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

【答案】(D證明：延長FC到H,使CH=AE,連接BH,如圖所示：

圖1

??,AB1AD,BC1CD,

??.ZA=ZBCH=90°,

在ABCH和ABAE中

BC=BA

{ZBCH=ZA,

CH=AE

??.ABCH=ABAE(SAS),

BH=BE/ZCBH=ZABE,

???4ABC=2ZEBF,

???zABE+ZCBF=ZEBF,

ZHBC+ZCBF=ZEBF,

??.ZHBF=Z.EBF

在AHBF和AEBF中

BH=BE

{4HBF=ZEBF,

BF=BF

??.AHBF三AEBF(SAS)

???HF=EF,

???HF=HC+CF=AE+CF

??.EF=AE+CF；

(2)解：不成立，AE=CF+EF,理由如下：

在AE上截取AH=CF,連接BH,如圖所示:

???AB1AD,BC1CD,

ZA=ZBCF=90°,

VAB=CB,

AABH^ACBF(SAS),

ABH=BF,ZABH=ZCBF,

ZABC=2ZEBF,ZEBF=ZCBF+ZCBE,ZABC=ZCBE+ZEBH+ZABH,

AZEBF=ZEBH,

VEB=EB,

.,.△EBF^AEBH(SAS),

ACF=AH,EF=EH,

VAE=AH+HE,

/.AE=CF+EF.

7.如圖①，已知△ABC中，NBAC=90o,AB="AC,"AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè),BDLAE

于D,CE_LAE于E.

(1)求證:BD=DE+CE.

(2)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(BDvCE),其余條件不變，問BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何？請給

予證明；

⑶若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖③位置時(BD>CE),其余條件不變，問BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何？請直

接寫出結(jié)果，不需證明.

⑷根據(jù)以上的討論，請用簡潔的語言表達BD與DE,CE的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(D證明：VBDXAE,CEXAE

???ZADB=ZCEA=90°

???ZABD+ZBAD=90°

又???NBAC=90。

JZEAC+ZBAD=90°

???ZABD=ZCAE

ZADB=4CEA

在^ABD與^ACE{ZABD=ZCAE

AB=AC

A△ABDACE

???BD二AE,AD=EC

???BD=DE+CE

(2)解：VBD±AE,CE±AE

???ZADB=ZCEA=90°

???ZABD+ZBAD=90°

又,:ZBAC=90°

???ZEAC+ZBAD=90°

???ZABD=ZCAE

ZADB=ZCEA

在^ABD與XACE{ZABD=ZCAE

AB=AC

???△ABDACE

???BD二AE,AD=EC

ABD=DE-CE

⑶解：同理：BD=DE-CE

(4)解：歸納：由(1)(2)(3)可知：當B,C在AE的同側(cè)時，BD=DE-CE；當B,C在AE的異側(cè)時，

???BD=DE+CE

8.綜合與實踐

如圖1所示，已知A、B為直線1上兩點，點C為直線1上方一動點，連接AC、BC,分別以AC、BC為邊

向△ABC外部作等腰直角ACAD和等腰直角ACBE,ZCAD=ZCBE=90°,過點D作DF，1于點F,過

點E作EGL1于點G.

(1)如圖2,當點E恰好在直線1上時(此時G與E重合)，試證明：DF=AB；

(2)在圖1中，當D、E兩點都在直線1的上方時，試探求三條線段DF、EG、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由；

(3)如圖3,當點E在直線1的下方時，請直接寫出三條線段DF、EG、AB之間的數(shù)量關(guān)系.(不需要證明)

【答案】(1)證明：VZDAC=ZCBE=90°,

AZABC=180°-ZCBE=90°,

.\ZDAF+ZCAB=180°-ZDAC=90°,ZACB+ZCAB=90°,

.\ZDAF=ZACB,

VDF±AB,

.".ZDFA=ZABC=90°,

VAD=AC,

.".△DFA^AABC,

；.DF=AB；

(2)解：AB=DF+EG；

證明：過C作CMLAB于M,

VDF±AB,

/.ZDFA=ZAMC=90°,又/CAD=90°

.\ZADF+ZDAF=90o,ZCAM+ZDAF=90°,

AZADF=ZCAM,

VAD=AC,NDFA=NAMC=900,

.,.△DFA^AAMC,

???DF=AM,

同理：△CMBgZSBGE,可得BM=EG,

???AB=AM+BM=DF+EG；

(3)AB=DF-EG

理由為：

如圖3,過點C作CH,直線1于H,

NDFA=NAHC=90。，又NCAD=90。

.\ZADF+ZDAF=90°,ZCAH+ZDAF=90°,

???NADF=NCAH,

AAD=AC,NDFA=NAHC=90。，

AADFA^AAHC,

???DF=AH,

同理：BH=EG,

AAB=AH-BH=DF+EG.

9.請閱讀下列材料：

問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，且NAMD=90。

圖1圖2

⑴如圖1,若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系;

小雪同學的思路是：延長DM至E使DM=ME,連接AE,BE,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解

決請你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系：

(2)如圖2,若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分/BAD,(1)中結(jié)論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD與

AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴解：:AB與CD不平行

根據(jù)題意，延長DM使DM=EM,連接BE,AE,EC,BD

由于M是BC的中點，故BM=MC

二四邊形BECE是平行四邊形

；.CD=BE

又EM=DM,且NAMD=90。

AAED是等腰三角形

/.AD=AB

在AABE中，

AB+BE>AE

*'?AB+CD>AD

(2)解：若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分/BAD

則(1)的結(jié)論不成立

關(guān)系為：AB+CD=AD

證明：由于M是BC的中點，故BM=MC

四邊形BECE是平行四邊形

；.CD=BE

又EM=DM,且/AMD=90°

...AAED是等腰三角形

，AD=AE

又AM平分/BAD

...點A.B.E必然共線

/.AB+CD=AD

10.已知四邊形ABCD中，ABXAD,BCXCD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,

/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E,F.

⑴當/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖D，試猜想線段AE、CF、EF之間存在的數(shù)量關(guān)系為

.（不需要證明）；

（2）當NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE^CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予

證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】（1）如圖1,AE+CF=EF,理由如下：

（因1）

VABXAD,BC_LCD,

.".ZA=ZC=90°,

VAB=BC,AE=CF,

」.△ABE絲△CBF（SAS）,

.\ZABE=ZCBF,BE=BF,

VZABC=120°,ZMBN=60°,

JZABE=ZCBF=30°,

???AE=」BE,CF=LBF,

22

VZMBN=60°,BE=BF,

???△BEF是等邊三角形，

AE+CF=iBE+1BF=BE=EF,

22

故答案為AE+CF=EF；

(2)解：如圖2,(1)中結(jié)論成立；理由如下:

延長FC到H,使CH=AE,連接BH,

(圖2)

VAB±AD,BC±CD,

???ZA=ZBCH=90°,

???△BCH絲△BAE(SAS),

ABH=BE,ZCBH=ZABE,

VZABC=120°,ZMBN=60°,

JZABE+ZCBF=120°-60°=60°,

JZHBC+ZCBF=60°,

/.ZHBF=ZMBN=60°,

.?.ZHBF=ZEBF,

???△HBF絲△EBF(SAS),

/.HF=EF,

HF=HC+CF=AE+CF,

.?.EF=AE+CF,

如圖3,(1)中的結(jié)論不成立，為AE=EF+CF,理由如下:

在在AE上截取AQ=CF,連接BQ,

JZA=ZBCF=90°,

VAB=BC,

ABCF^ABAQ(SAS),

ABF=BQ,ZCBF=ZABQ,

???ZMBN=60°=ZCBF+ZCBE,

???ZCBE+ZABQ=60°,

VZABC=120°,

/.ZQBE=120°-60°=60°=ZMBN,

.\ZFBE=ZQBE,

??.△FBE名△QBE(SAS),

???EF=QE,

AE=QE+AQ=EF+CE,

Z.AE=EF+CF.

11.在△ABC中，AB=AC,點D是射線CB上的一動點(不與點B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作

AADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

⑴如圖1,當點D在線段CB上，且NBAC=90。時，那么NDCE二度;

(2)設(shè)/BAC=n,ZDCE=p.

①如圖2,當點D在線段CB上，/BACMO。時，請你探究a與B之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②如圖3,當點D在線段CB的延長線上，/BAC#90。時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時a與B之

間的數(shù)量關(guān)系(不需證明).

【答案】(1)解：VZBAC=ZDAE,AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即/BAD=NCAE,

又AB=AC,AD=AE,AABAD^ACAE,AZABD=ZACE,

ZDCE=ZDCA+ZACE=ZDCA+ZABD=18O°-ZBAC=180°-90°=90°,

故答案為90；

(2)解：①a與p之間的數(shù)量關(guān)系是p=18(F-a,證明如下：

與⑴類似有△BAD^ACAE,ZABD=ZACE,

②Ap=ZDCE=ZDCA+ZACE=ZDCA+ZABD=18O°-ZBAC=180°-a；

由已知，可把圖3補充如下：

則此時有P=a.

②由已知，可把圖3補充如下:

A

則此時有0=a,理由如下：

與⑴類似仍有△BAD^ACAE,?.ZABD=ZACE,

ZDCE=ZACE-ZDCA=ZABD-ZDCA=ZBAC,即p=a.

12.如圖1所示，在R3ABC中，ZC=90°,D是線段CA延長線上一點，且AD=AB,F是線段AB上一

點，連結(jié)DF,以DF為斜邊作等腰直角三角形DFE,連結(jié)EA,EA滿足條件EALAB.

F